【正文】 的方法作為 Fourier 變換 的一種簡(jiǎn)單局部化。設(shè)2( ) ( )g t L R? 是窗函數(shù)，離散的 Gabor 函數(shù)定義 為： 00, 0 0 2( ) e x p (2 ) ( ) ( )m n m w n tg t m w t g t n t M T g t??? ? ? （ 26） 式中： 00,tw分別為時(shí)間參數(shù)和頻率參數(shù)。 3． 1 小波的簡(jiǎn)介 我們?cè)谛〔ǚ治龅难?究和應(yīng)用中，會(huì)經(jīng)常提到“信號(hào)”一詞。 （ 1） Haar 小波的定義： 1, 0 ≤ t＜ f(t)= 1, ≤ t＜ 1 0, 其它 （ 33） 它的傅里葉變換為： 1 1210222? ( ) ( )e x p ( 2 ) ( 2 )si n ( / 4 )e x p ( )2 / 4iw t iw t iw tiw iwf w e f t d t e d t e d tiw eeiwiw wiw? ? ? ????? ? ??? ? ???? ? ? （ 34） （ 2） Shannon 小波的定義： 10 1， ? w 2? ( ,2 )?( ) ( )f w x w??? = 0, 其它 （ 35） 這時(shí)，取 ?()fw的逆變換得： 1 2 3( ) ( s in 2 s in ) s in ( ) c o s ( )22ttf t t ttt ??????? ? ? （ 36） （ 3） Gauss 小波的定義： Gauss 小波是 Gauss 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即為： 2() tt Cte ?? ?? （ 37） 它的傅里葉變換為： 2?() ww iCwe ?? ??? （ 38） 基于小波族是作為由一個(gè)單個(gè)小波函數(shù) ()t? 的平移和伸縮構(gòu)成的函數(shù)族的概念，我們引入： 12, ( ) ( ) , , 。 我 們知道，在 Fourier 變換中有時(shí)域中的 Fourier 變換和頻率中的逆 Fourier 變換。這里限制 a,b取離散值。 在式（ 319）中，兩邊關(guān)于 , ()lmt? 取內(nèi)積，得基數(shù)的系數(shù) ,knd 為： ,knd = , knf ? （ 320） 則稱式（ 317）為小波級(jí)數(shù)，而（ 318）為小波系數(shù)。現(xiàn)階段已有許多較為成熟的算法，如EZW編碼、 SPIHT 編碼等，而 Shapiro 利用零樹處理圖像小波系數(shù)，有效地利用了帶間相關(guān)性和帶內(nèi)相關(guān)性，獲得了較高的編碼效率。實(shí)際中，基于小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法、小波域紋理模型方法、小波變換零樹壓縮、小波變換向量量化壓縮等等。小波系數(shù)的稀疏分布，使圖像變換后的熵降低。小波隱馬爾可夫樹去噪法就是一種典型的基于相關(guān)性的去噪法。 軟閾值化表示式為： sg n ( )( ),W W W???? W?? 0,W ?? （ 322） 硬閾值化表示式為： W ,W ?? W?? 0,W ?? （ 323） 閾值化處理的關(guān)鍵是閾值的選擇，如果閾值太小，去噪效果不佳，如果閾值太大，則重要的信號(hào)又會(huì)被濾掉，引起偏差?，F(xiàn)在，它已經(jīng)在 科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。 4． 1 基于邊緣的分割 在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，最早的邊緣檢測(cè)方法是基于分割 【 13】 的邊緣檢測(cè)法，而且在現(xiàn)在仍然是非常重要的。 經(jīng)典的邊緣檢測(cè)方法是對(duì)原始圖像中像素的某小鄰域來構(gòu)造邊緣檢測(cè)的算子。 差分檢測(cè)方法一般分為垂直邊緣、水平邊緣和對(duì)角線邊緣檢測(cè)，如下圖： 0 1 00 1 0000??????? 0 0 01 1 00 0 0??????? 1 0 00 1 00 0 0??????? 差分邊緣檢測(cè)法是一種最原始、最基本的方法。 Sobel 算子的優(yōu)點(diǎn)是在空間上很容易實(shí)現(xiàn)，它不但能產(chǎn)生較好的邊緣檢測(cè)效果，而且受噪聲的影響也比較小。 定義 Prewitt 邊緣檢測(cè)算子模板如下： 1111 2 1111?????????? 1 1 11 2 1111????????? 1 1 11 2 11 1 1?????????? 1 1 11 2 11 1 1????????? 1111 2 1111?????????? 1 1 11 2 11 1 1?????????? 1111 2 1111?????????? 1 1 11 2 11 1 1?????????? 選擇適當(dāng)?shù)拈T限 TH，如果 (, )Pi j TH，則 (, )ij 為階躍狀邊緣點(diǎn)， ? ?(, )Pi j 即為邊緣圖像。 以下是用 MATLAB 實(shí)現(xiàn)各種邊緣算子以及效果比較： 圖 41 原始圖像 21 圖 42 sobel算子檢測(cè) 圖 43 roberts算子檢測(cè) 圖 44 prewitt算子檢測(cè) 22 圖 45 log算子檢測(cè) 4． 3 Canny連續(xù)準(zhǔn)則及算法 4． 3． 1 邊緣檢測(cè)的 Canny 準(zhǔn)則 通過對(duì)以往的邊緣檢測(cè)算子和邊緣檢測(cè) 應(yīng)用的研究考察， Canny 發(fā)現(xiàn)，盡管這些應(yīng)用都出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，但它們都有一些共同的要求： （ 1） 好的檢測(cè)結(jié)果。第一個(gè)準(zhǔn)則等價(jià)于求 ()fx使得檢測(cè)后的圖像在邊緣點(diǎn)的信噪比最大化。39。39。 39。 39。 邊緣強(qiáng)度是圖像在這個(gè)像素處的跳躍幅度，可以用平滑后的圖像在該像素處的梯度的大小來估計(jì)。 在二維的情況下，邊緣檢測(cè)算法通過計(jì)算圖像信號(hào) ( , )f xy 的梯度矢量 ,fffxy???????????? （ 51） 模的局部極大值來尋找圖像邊緣的空間位置。 由上可知梯度矢量 ( )( , )jf x y??? 的模正比于 22( 2 , , ) ( 2 , , ) ( 2 , , )j x j y jM f x y W f x y W f x y?? （ 58） 梯度矢量與水平方向的夾角為： (2 , , )jAf x y = (, )axy ， (2 , , ) 0xjW f x y ? ( , )a x y?? ， (2 , , ) 0yjW f x y ? （ 59） 在上式中，有 1 ( 2 , , )( , ) ta n( 2 , , )yjxjW f x ya x y W f x y???? ???? (510) 用二進(jìn)小波變換實(shí)現(xiàn)多尺度邊緣檢測(cè)就是要求式（ 58）的局部最大值，而式（ 59）則指明了邊緣的方向。首先對(duì) 1()Nt求 Fourier 變換，可得： 1 211 0 11? ( ) ( ) s i n 22jw t jw t jw jw wwN w N t e d t e d t e ej w j w? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?????? （ 516） 而又1 1 1 1( ) ( . . . . ) ( )m mN t N N N N t? ? ? ?個(gè)，所以就得到： ? ? 21? ?( ) ( ) s i n 22mm jm wm wwN w N w e ? ???? ???? （ 517） 最終我們可以得到不同的尺度下，即 ? ()mNw和 ? ( 2)mNw 的關(guān)系，如下： ? ?( ) ( ) ( 2 )mmN w P z N w? （ 518） 其中011() 2 2m m kmkmzP z zk???????? ?????? ???，且 2jwze?? 。 334 3 3( ) ( 1 )( ) ( ) ( 1 )( 1 )N x N xN x N x N xxx??? ? ? ??? （ 523） 則有小波 ()x? = 39。鑒于上述，選擇平滑函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 39。一階基數(shù) B樣條 1()Nt是單位區(qū)間 [0,1)上的特征函數(shù)，即： 1, [0,1)t? 1 [0,1)()Nt ??? 0，其他 （ 511） 而當(dāng) 2m? 時(shí)， ()mNt用卷積遞推定義為： ? ?1 1 1 1( ) : ( ) ( ) ( )m m mN t N N t N t u N u du??? ??? ? ? ?? ? ?110 mN t u du???? （ 512） 由式（ 511）可知一階 B樣條 1()Nt為分段常數(shù)。我們將滿足上式的 ? ?,xy?? 稱為二進(jìn)小波。也正因?yàn)樾〔ㄗ儞Q能夠在各個(gè)尺度上提供圖像的邊緣信息，所以稱為 小波多尺度變換。 2()2()a v ef x d xx k wf x d x??????????? ? ????? （ 414） 顯然 ，在 2w 長(zhǎng)的區(qū)域里出現(xiàn)最大值的個(gè)數(shù)的期望為： m ax2 2 2n wwN x kw k? ? ? （ 415） 所以 ，只要固定了 k ，即固定了 2w 長(zhǎng)的區(qū)域里出現(xiàn)最大值的個(gè)數(shù)，這便是第三個(gè)準(zhǔn)則。 Rice 給出了高斯噪聲在函數(shù) g 濾波后輸出信號(hào)中相鄰兩個(gè)零交叉點(diǎn)的距離，即 1239。39。 2 39。( ) ( ) 0GnH x H x?? ()GHx在 x =0取得最大值，所以： 39。 （ 3） 在實(shí)際中還發(fā)現(xiàn)，僅滿足上面兩條的算子有時(shí)會(huì)對(duì)一個(gè)邊緣產(chǎn)生多個(gè)響應(yīng)，即圖像上本來只有一個(gè)邊緣點(diǎn)，但檢測(cè)的結(jié)果中卻有多個(gè)，所以還要求對(duì)同一邊緣要有低的響應(yīng)次數(shù)。計(jì)算數(shù)字圖像的 Laplace 值也是借助各種模板卷積實(shí)現(xiàn)的。但同時(shí)也會(huì)檢測(cè)出許多虛假邊緣，邊緣定位不夠精準(zhǔn)，是一種適用于對(duì)精度要求不高的邊緣檢測(cè)方法。 Roberts 算子采用對(duì)角線方向相鄰兩像素差近似梯度幅值檢測(cè)邊緣。總而言之，這些算子的成功運(yùn)用，幫助人們能夠很好的得到圖像邊緣，使得圖像分析大大簡(jiǎn)化，也使圖像識(shí)別變得容易很多。 由于存在模糊和噪聲，檢測(cè)到的邊界可能在某些地方發(fā)生間斷或變寬。小波分析在圖像處理方面，主要是用來進(jìn)行圖像壓縮、圖像去噪、圖像增強(qiáng)、圖像融合和分解等等，有著巨大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。 下面是一個(gè)對(duì)圖像做 小波 去噪的例子： 原始圖像100 200 30050100150200250含噪聲圖像100 200 30050