【正文】 334 3 3( 2 1 ) ( 2 2 )( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 )( 2 1 ) ( 2 2 )N x N xN x N x N xxx? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? （ 524） 對上式進(jìn)行 Fourier 變換有： 23311? ?? ( ) ( ) ( )2 2 2 2jw jw N e N e? ???? = 231 ? ( )( )22 jw jwwN e e??? （ 525） 令 2jwze?? ，代入尺度變換公式（ 521）可推出： 3 2 31( ) ( 1 ) 0 . 1 2 5 0 . 3 7 5 0 . 3 7 5 0 . 1 2 58H z z z z z? ? ? ? ? ? （ 526） 又令 2 2 21( ) ( )2jw jw jw jwL e e e e? ? ? ???，用 2jwze?? 代換即為： 2( ) z z z?? 。 由基數(shù)樣條的定義由： 1 1 1 1 1 1( ) : ( ) ( ) ( . . . . ) ( )mm mN x N N x N N N N x?? ? ? ? ? ?個 （ 519） 時域卷積則在頻率相乘，所以對 ? ?3 1 1 1( ) ( )N x N N N x? ? ?進(jìn)行 Fourier 變換有： ? ? 3331 1? ?()jweN w Njw?????? ???? （ 520） 再由 （ 518）的兩 尺度 關(guān)系可知： 28 233? ?( ) ( ) ( )2jw wN w P e N?? （ 521） 所以可以求得： 32 1() jwjw ePejw?? ???? ???? （ 522） 因?yàn)?39。()x? ，即 39。由之前的討論可知 3()Nx的支撐區(qū)間是 [0,3] ，并且可以取小波 ()x? 的中心點(diǎn)為 3()Nx的中心，即 處。 5． 3 構(gòu)造小波用于邊緣檢測 由平滑函數(shù) ()x? 來構(gòu)造小波 ()x? 【 20】 的方法很多，而樣條函數(shù)具有很好的平滑和邊緣提取能力，所以本文采用四階 B樣條作為光滑函數(shù) ()x? ，那么可知相應(yīng)的小波()x? 即為三階樣條函數(shù)。同理可知 三階 B樣條 3()Nt在支撐區(qū)間 [0,3] 上的表達(dá)式 為： 0 2 t? 3()Nt= 3214263t t t? ? ? ? 12t?? 321223tt?? 1t? （ 515） 下面，討論一下基數(shù) B樣條的兩尺度關(guān)系。由基數(shù) B樣條的定義可知： ? ? ? ?11101() tm m mtN t N t u du N u du?? ?? ? ??? （ 513） 這樣，便很容易求出 2()Nt、 3()Nt和 4()Nt的分段表達(dá)式。 現(xiàn)在，討論一下 B樣條的定義及一些性質(zhì)。 5． 2 基數(shù)樣條空間和 B樣條 基數(shù)樣條空間 【 19】 指的是具有等距節(jié)點(diǎn)的多項(xiàng)式樣條函數(shù)空間。因此，對不同大小的 S值，可以得到不同尺度下的劇變點(diǎn)，這就是多尺度邊緣檢測，相當(dāng)于小波分解后對不同頻率的信號進(jìn)行檢測。由于 ? ?,xy?? 是平滑函數(shù) ( , )xy? 的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以二維二進(jìn)小波變換的兩個分量等價于信號 ( , )f xy 被平滑后的梯度矢量的兩個分量，即為： 26 ( ) ( , )( 2 , , )2 2 ( ) ( , )( 2 , , )( ) ( , )jxjjjjyjjf x yW f x y xf x yW f x yf x yy??????????? ?? ? ? ??? ??? ?????? （ 57） 在上式中有尺度 2jS? ，稱為二進(jìn)尺度。我們令： ( , ) 2 (2 , 2 )x j x j jj x y x y??? ? ?? ( , ) 2 (2 , 2 )y j y j jj x y x y??? ? ?? （ 53） 并定義小波變換的兩個分量： (2 , , ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , )x j x xjjW f x y f u v u x v y f x y??? ? ? ? ? ? ? (2 , , ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , )y j y yW f x y f u v u x v y f x y? ? ? ? ? ? ? （ 54） 任意的 22()f L R? 的二進(jìn)制小波變換定義為如下函數(shù)族： ? ?( 2 , , ) ( 2 , , ) , ( 2 , , )j x j y jjZW f x y W f x y W f x y ?? （ 55） 為了保證小波變換的完備性和穩(wěn)定性，還必須滿足下面的條件：存在兩個正常數(shù)A和 B，對 ? ?2( , ) (0 , 0 )xyw w R? ? ?，使得 22( 2 , 2 ) ( 2 , 2 )xyj j j jx y x yjA w w w w B???? ? ?? ? ?? （ 56） 上式中， x? 和 y? 分別表示 x? 和 y? 的傅里葉變換。梯度矢量的方向指出了圖像灰度值變化最快的方向。此外，因物體大小有差別，它們的邊緣也就有不同的尺度。本章也是全文的核心，通過研究小波多尺度變換，提出了用改進(jìn)的 B樣條函數(shù)作為小波函數(shù)，對圖像進(jìn)行多尺度的邊緣檢測 【 18】 。小波變換能夠?qū)D像分解成多種尺度成分，并對大小不同的尺度采用相應(yīng)的時域或空域取樣步長，因此能夠捕捉到任何微小的細(xì)節(jié)。而這個梯度又可以利用二元函數(shù) ( , ) ( , )G x y I x y? 在此點(diǎn)處兩個正交方向上的方向?qū)?shù)來求，即為： 122212()G I G I G Inn??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???邊 緣 強(qiáng) 度 （ 417） 而邊緣的方向可以由下式計(jì)算： 1212()GI G I n G I nG I n n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?n （ 418） 然后，用閾值操作檢測其局部最大值就可得出檢測結(jié)果。由于求導(dǎo)和求卷積是可以結(jié)合的，所以可以先用高斯函數(shù)濾波，然后再求導(dǎo)，即 ? ?( , ) ( ( , ) ) ( , ) ( , ) ( , )H x y G x y I x y G x y I x y? ? ? ? ? ? （ 416） 顯然，上式可以看成是先用高斯濾波器進(jìn)行平滑，再求梯度。 總而言之，有了這三個準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式，尋找最優(yōu)濾波器的問題就轉(zhuǎn)化為泛函24 約束優(yōu)化問題 ,為計(jì)算帶來了很大的方便。39。 2(0 ) ( )R g x dx???? ? 所以噪聲在 ()fx濾波后的兩個相鄰極大值點(diǎn)的距離為： 239。39。39。200( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ()()WWwwwwG x f x d x G x f x d xJ f S N R f Lo c f n f x d xn f x d x??????? ? ? ?????????? （ 412） （ 3）在理想情況下，用濾波器對噪聲響應(yīng)的兩個最大值之間的距離來近似濾波器對一個邊緣點(diǎn)的長度。12 39。 39。20( ) ( )()()WWwwG x f x d xLoc fn f x d x???? ?? （ 411） 我們要找到函數(shù) ()fx，使得下式達(dá)到最大值： 39。39。() ()() ( 0 )( ) ( )wn wWG WE H x n f x d xEx HG x f x d x?????????? ????????? （ 410） 在這里， ()Ex表示的是 x 的數(shù)學(xué)期望。39。 20 020 2239。0 0 0 0( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 )G G G GH x H H x o x H x? ? ? ? 從而有： ? ?? ?239。 2 39。 39。 (0) 0GH ? 根據(jù)泰勒公式可知： 39。39。經(jīng)過 ()fx濾波后，邊緣點(diǎn)處的信號響應(yīng)為： ( ) ( )WG WH G x f x dx???? （ 47） 而噪聲響應(yīng)的平方根為： 1220 ()Wn WH n f x dx???? ????? （ 48） 于是， Canny 第一個準(zhǔn)則的數(shù) 學(xué)表達(dá)式為： 1220( ) ( )()()WWGWnWG x f x d xHS NR f Hn f x d x????? ???????? （ 49） 23 （ 2） 定位準(zhǔn)則。三準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： （ 1）好的檢測結(jié)果。 最為重要的是， Canny 給出了 這 3 個準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式 【 17】 ，使得尋找給定條件下最優(yōu)算子轉(zhuǎn)化為泛函優(yōu)化問題，從而為最優(yōu)濾波器的選擇開辟了更有效的道路。即標(biāo)示出的邊緣位置要和圖像上真正的邊緣位置充分接近。即為對邊緣的檢測錯誤率要盡量低，表現(xiàn)在：一方面在圖像上有邊緣的地方不應(yīng)該沒有；另一方面也不要出現(xiàn)本來圖像上沒有的虛假邊緣。由于上面的原因， Laplace 算子很少直接用于檢測邊緣，而主要應(yīng)用于已知邊緣的像素后，確定 該像素是在圖像的暗區(qū)或明區(qū)一邊。實(shí)現(xiàn)Laplace 運(yùn)算的幾種模板如下： 0 1 01 4 10 1 0?????????? 1 0 10 4 01 0 1????????? 1111 8 1111?????????????? 由于 Laplace 算子是一種二階導(dǎo)數(shù)算子，因此對噪聲特別敏感。因?yàn)樗挥靡粋€模板，并且不必綜合 各模板的值。 4． 2． 5 Robinson 邊緣檢測算子 Robinson 邊緣檢測算子也是一種邊緣樣板算子，其算法和 Prewitt 邊緣檢測算子相似，不同的是 8個樣板，如下： 1 2 10001 2 1????? ? ??? 2 1 00 0 00 1 2???????? 1 0 12 0 21 0 1????????? 0 1 21 0 12 1 0????????? 20 1 2 10001 2 1? ? ??????? 2 1 01 0 10 1 2????????? 1 0 12 0 21 0 1????????? 1 0 12 0 21 0 1????????? 選擇適當(dāng)?shù)拈T限 TH，如果 (, )Pi j TH，則 (, )ij 為階躍狀邊緣點(diǎn)， ? ?(, )Pi j 即為邊緣圖像。依次用邊緣樣板去檢測圖像，與被檢測區(qū)域最為相似的樣板給出最大值，然后用這個最大值作為算子的輸出值 (, )Pi j ， 這樣可以將邊緣檢測出來。 4． 2． 4 Prewitt 邊緣檢測算子 Prewitt 邊緣檢測算子是一種邊緣樣板算子。 它 對噪聲具有平 滑作用，能夠得到較為準(zhǔn)確的邊緣信息。特別是使用大的鄰域時，抗噪性能會更好，但缺點(diǎn)是這樣會相應(yīng)的增加計(jì)算量，而且得出的邊緣會比較粗。因此， Sobel 算子的