【導讀】視覺，是人類取得信息的最主要來源。統(tǒng)計數據顯示，在人類大腦獲取的信息之。圖像無疑是最主要的方式。我們每天都是在報紙、雜志、書籍、電視等大量的圖像信?？梢哉f，圖像是用各種觀測系統(tǒng)以不同的形式和手段觀測客觀世界而。獲得的，可以直接或者間接作用于人眼并進而產生視知覺的實體。那些像素的集合。Poggio在參考文獻中提到“物體（的邊界）或許并沒有對應著圖。息但是又保留了圖像中物體的形狀信息。灰度變化的度量、檢測和定位”。最后一種是線性邊緣，它的灰度值是從一個級別跳到另一個級別之。緣全部看成是階梯型邊緣，求得檢測這種邊緣的最優(yōu)濾波器，然后用于實踐中。提取這些紋理性質與邊緣檢測有著密切的聯(lián)系。因為邊緣通常發(fā)生在灰度值變化較大的地方，對應的就。作為研究非平穩(wěn)信號的利器，小波在邊緣檢測方面具有得天獨厚的優(yōu)勢。邊緣檢測方法的同時，著重探討小波變換在邊緣檢測的應用。隨著信息技術和網絡技術的高速發(fā)展，信息安全顯示出前所未有的重要性。

　　

【正文】 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?n （ 418） 然后，用閾值操作檢測其局部最大值就可得出檢測結果。下面是用 Canny 多尺度檢測方法得到的檢測結果： 圖 46 canny算子檢測 25 第五章 小波多尺度邊緣檢測 我們已經知道 ，通過檢測二維小波變換的 模 極大值點可以確定圖像的邊緣點。小波變換能夠將圖像分解成多種尺度成分，并對大小不同的尺度采用相應的時域或空域取樣步長，因此能夠捕捉到任何微小的細節(jié)。也正因為小波變換能夠在各個尺度上提供圖像的邊緣信息，所以稱為 小波多尺度變換。本章也是全文的核心，通過研究小波多尺度變換，提出了用改進的 B樣條函數作為小波函數，對圖像進行多尺度的邊緣檢測 【 18】 。 5． 1 多尺度邊緣檢測 一般情況下，沿邊緣走向的幅度變化緩慢，垂直于邊緣的幅度變化較大。此外，因物體大小有差別，它們的邊緣也就有不同的尺度。 在二維的情況下，邊緣檢測算法通過計算圖像信號 ( , )f xy 的梯度矢量 ,fffxy???????????? （ 51） 模的局部極大值來尋找圖像邊緣的空間位置。梯度矢量的方向指出了圖像灰度值變化最快的方向。為了計算圖像信號的兩個偏導數，需要有兩個方向性的二維小波，可以取它們分別為平滑函數 ( , )xy? 的偏導數： ( , )( , )x xyxy x?? ??? ? ( , )( , )y xyxyy?? ??? ? （ 52） 并且 ( , )xy? 在 xy? 的平面的積分為 1，并迅速收斂到 0。我們令： ( , ) 2 (2 , 2 )x j x j jj x y x y??? ? ?? ( , ) 2 (2 , 2 )y j y j jj x y x y??? ? ?? （ 53） 并定義小波變換的兩個分量： (2 , , ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , )x j x xjjW f x y f u v u x v y f x y??? ? ? ? ? ? ? (2 , , ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , )y j y yW f x y f u v u x v y f x y? ? ? ? ? ? ? （ 54） 任意的 22()f L R? 的二進制小波變換定義為如下函數族： ? ?( 2 , , ) ( 2 , , ) , ( 2 , , )j x j y jjZW f x y W f x y W f x y ?? （ 55） 為了保證小波變換的完備性和穩(wěn)定性，還必須滿足下面的條件：存在兩個正常數A和 B，對 ? ?2( , ) (0 , 0 )xyw w R? ? ?，使得 22( 2 , 2 ) ( 2 , 2 )xyj j j jx y x yjA w w w w B???? ? ?? ? ?? （ 56） 上式中， x? 和 y? 分別表示 x? 和 y? 的傅里葉變換。我們將滿足上式的 ? ?,xy?? 稱為二進小波。由于 ? ?,xy?? 是平滑函數 ( , )xy? 的一階偏導數，所以二維二進小波變換的兩個分量等價于信號 ( , )f xy 被平滑后的梯度矢量的兩個分量，即為： 26 ( ) ( , )( 2 , , )2 2 ( ) ( , )( 2 , , )( ) ( , )jxjjjjyjjf x yW f x y xf x yW f x yf x yy??????????? ?? ? ? ??? ??? ?????? （ 57） 在上式中有尺度 2jS? ，稱為二進尺度。 當尺度 S很大時，信號與小波函數的卷積消去了信號中較小的變化，所以僅能檢測出比較大的劇變點，而這正好就是小波分解中低頻信號的檢測。因此，對不同大小的 S值，可以得到不同尺度下的劇變點，這就是多尺度邊緣檢測，相當于小波分解后對不同頻率的信號進行檢測。 由上可知梯度矢量 ( )( , )jf x y??? 的模正比于 22( 2 , , ) ( 2 , , ) ( 2 , , )j x j y jM f x y W f x y W f x y?? （ 58） 梯度矢量與水平方向的夾角為： (2 , , )jAf x y = (, )axy ， (2 , , ) 0xjW f x y ? ( , )a x y?? ， (2 , , ) 0yjW f x y ? （ 59） 在上式中，有 1 ( 2 , , )( , ) ta n( 2 , , )yjxjW f x ya x y W f x y???? ???? (510) 用二進小波變換實現(xiàn)多尺度邊緣檢測就是要求式（ 58）的局部最大值，而式（ 59）則指明了邊緣的方向。 5． 2 基數樣條空間和 B樣條 基數樣條空間 【 19】 指的是具有等距節(jié)點的多項式樣條函數空間。它的定義如下：對于每個整數 m ，有 m 階基數樣條空間 mS 是滿足下面條件的集合 ： （ 1） 函數 2 ()mf C R?? （ 2） 在任意區(qū)間 ( , 1),k k k Z??上是不超過 1m? 次的代數多項式。 現(xiàn)在，討論一下 B樣條的定義及一些性質。一階基數 B樣條 1()Nt是單位區(qū)間 [0,1)上的特征函數，即： 1, [0,1)t? 1 [0,1)()Nt ??? 0，其他 （ 511） 而當 2m? 時， ()mNt用卷積遞推定義為： ? ?1 1 1 1( ) : ( ) ( ) ( )m m mN t N N t N t u N u du??? ??? ? ? ?? ? ?110 mN t u du???? （ 512） 由式（ 511）可知一階 B樣條 1()Nt為分段常數。由基數 B樣條的定義可知： ? ? ? ?11101() tm m mtN t N t u du N u du?? ?? ? ??? （ 513） 這樣，便很容易求出 2()Nt、 3()Nt和 4()Nt的分段表達式。例如，我們可以求出 2()Nt27 的表達式，如下： 2 1 [ 0 ,1 )11( ) ( ) ( )ttN t N u du u du??????? （ 514） 所以可知： 0 ， 其他 2()Nt= t ， 01t?? 2t? ， 12t?? 顯然， 2()Nt的支撐區(qū)間為 [0,2] 。同理可知 三階 B樣條 3()Nt在支撐區(qū)間 [0,3] 上的表達式 為： 0 2 t? 3()Nt= 3214263t t t? ? ? ? 12t?? 321223tt?? 1t? （ 515） 下面，討論一下基數 B樣條的兩尺度關系。首先對 1()Nt求 Fourier 變換，可得： 1 211 0 11? ( ) ( ) s i n 22jw t jw t jw jw wwN w N t e d t e d t e ej w j w? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?????? （ 516） 而又1 1 1 1( ) ( . . . . ) ( )m mN t N N N N t? ? ? ?個，所以就得到： ? ? 21? ?( ) ( ) s i n 22mm jm wm wwN w N w e ? ???? ???? （ 517） 最終我們可以得到不同的尺度下，即 ? ()mNw和 ? ( 2)mNw 的關系，如下： ? ?( ) ( ) ( 2 )mmN w P z N w? （ 518） 其中011() 2 2m m kmkmzP z zk???????? ?????? ???，且 2jwze?? 。 5． 3 構造小波用于邊緣檢測 由平滑函數 ()x? 來構造小波 ()x? 【 20】 的方法很多，而樣條函數具有很好的平滑和邊緣提取能力，所以本文采用四階 B樣條作為光滑函數 ()x? ，那么可知相應的小波()x? 即為三階樣條函數。所以，可以取三階 B樣條 3()Nx為相應的尺度函數。由之前的討論可知 3()Nx的支撐區(qū)間是 [0,3] ，并且可以取小波 ()x? 的中心點為 3()Nx的中心，即 處。鑒于上述，選擇平滑函數的導數 39。()x? ，即 39。4 (2 1)Nx? 作為小波函數。 由基數樣條的定義由： 1 1 1 1 1 1( ) : ( ) ( ) ( . . . . ) ( )mm mN x N N x N N N N x?? ? ? ? ? ?個 （ 519） 時域卷積則在頻率相乘，所以對 ? ?3 1 1 1( ) ( )N x N N N x? ? ?進行 Fourier 變換有： ? ? 3331 1? ?()jweN w Njw?????? ???? （ 520） 再由 （ 518）的兩 尺度 關系可知： 28 233? ?( ) ( ) ( )2jw wN w P e N?? （ 521） 所以可以求得： 32 1() jwjw ePejw?? ???? ???? （ 522） 因為 39。 334 3 3( ) ( 1 )( ) ( ) ( 1 )( 1 )N x N xN x N x N xxx??? ? ? ??? （ 523） 則有小波 ()x? = 39。 334 3 3( 2 1 ) ( 2 2 )( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 )( 2 1 ) ( 2 2 )N x N xN x N x N xxx? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? （ 524） 對上式進行 Fourier 變換有： 23311? ?? ( ) ( ) ( )2 2 2 2jw jw N e N e? ???? = 231 ? ( )( )22 jw jwwN e e??? （ 525） 令 2jwze?? ，代入尺度變換公式（ 521）可推出： 3 2 31( ) ( 1 ) 0 . 1 2 5 0 . 3 7 5 0 . 3 7 5 0 . 1 2 58H z z z z z? ? ? ? ? ? （ 526） 又令 2 2 21( ) ( )2jw jw jw jwL e e e e? ? ? ???，用 2jwze?? 代換即為： 2( ) z z z??