【導(dǎo)讀】隨著計(jì)算機(jī)及網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)字作品傳播和拷貝變得越來越方便，同時(shí)使得數(shù)字作品的信息安全保護(hù)和版權(quán)保護(hù)也成為迫切需要解決的實(shí)際問題。數(shù)字水印是近年來在信息安全領(lǐng)域興起的保護(hù)知識(shí)產(chǎn)權(quán)的新方法。供完全和可靠的證據(jù)，以此達(dá)到防止數(shù)字產(chǎn)品的盜版和篡改目的。該算法選擇了檢測(cè)結(jié)果直觀、有特殊意義的二值圖像作為原始水印，見性和魯棒性，利用多分辨率分析思想進(jìn)行水印的嵌入與提取?？s、噪聲、濾波、剪切等，均有較好的魯棒性。在無線領(lǐng)域，隨著移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)由第二代到第三代的演變，移動(dòng)。體內(nèi)容的應(yīng)用即將是信息時(shí)代新的傳統(tǒng)。隨之而來的副作用是通過網(wǎng)絡(luò)傳輸數(shù)字。在發(fā)送之前對(duì)內(nèi)容進(jìn)行加密，僅把密碼給予那些已購(gòu)買信息的合法用戶。輸，用以跟蹤侵權(quán)行為并提供法律保護(hù)的證據(jù)。巧妙地將自己偽裝隱藏于環(huán)境中，免于被天敵發(fā)現(xiàn)而遭受攻擊。無疑將會(huì)給網(wǎng)絡(luò)化多媒體信息的安全保存和傳送開辟一條全新的途徑。里，信息隱藏作為熱門課題，得到了快速發(fā)展。

　　

【正文】 殊的長(zhǎng)度有限、平均值為小波函數(shù)的定義為 :設(shè) ??t? 為一平方可積函數(shù)，即 ??t? ? ?RL2? ，若其 Fourier 變換???? 滿足條件 :C? = ? ?? ??Rdt ??? )( () 則稱 T (t)為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，我們稱式 ()為小波函數(shù)的可容許條件。 將小波母函數(shù) ??t? 進(jìn)行伸縮和平移，就可以得到函數(shù) )(, t??? ??t???, = a1 ? ?????? ?at ? a, R?? 。a0 () 式 ()中， a 為伸縮因子， T為平移因子，我們稱 ??t???, 為依賴于參數(shù) a,? 的小波基函數(shù)。 從小波的定義中，我們可知其有兩個(gè)特點(diǎn) :一是“小”，即在時(shí)域都具有緊支集或近似緊支集；二是正負(fù)交替的“波動(dòng)性”，也即直流分量為零。我們可以用小波和構(gòu)成 Fourier 分析基礎(chǔ)的正弦波做一個(gè)比較， Fourier 分析所用的正弦波在時(shí)間上沒有限制，從負(fù)無窮到正無 窮，但小波傾向于不規(guī)則與不對(duì)稱。 Fourier 分析是將信號(hào)分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將信號(hào)分解成一系列小波函數(shù)的疊加，而這些小波函數(shù)都是由一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。根據(jù)直覺，用不規(guī)則的小波函數(shù)來逼近尖銳變化的信號(hào)顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，信號(hào)局部的特性用小波函數(shù)來逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)來逼近要好 ???。 連續(xù)小波變換 將任意 L2 (R)空間中的函 數(shù) f(t )在小波基下展開，稱這種展開為函數(shù) f(t )的連續(xù)小波變換 (ContinueW aveletTr ansform，簡(jiǎn)稱為 CWT)，其表達(dá)式為 : WT ? ??,af = )(),( , ttf a?? = a1 ?Rt)( tdat ?????? ??? （ ） 由以上定義，我們可以看出小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種 積分變換， WT ),( ?af ,灼為小波變換系數(shù)。但它不同于傅立葉變換的地方是，小波基具有尺 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 27 度 a 和平移 ? 兩個(gè)參數(shù)，所以函數(shù)一經(jīng)小波變換，就意味著一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到二維的時(shí)間一尺度相平面上，這樣有利于提取信號(hào)函數(shù)的某些本質(zhì)特征。 可以證明，若采用的小波滿足容許條件，則連續(xù)小波變換存在著逆變換，逆變換 公式為 : f(t)=?C1 ???0 2ada ?????),( ?aWTf ??? dta )(, = ?C1 ???0 2ada ?????),( ?aWTf ??? dat )( ? () 式 () C? = ? ?? ??Rdt ??? )( 為對(duì) ? (t)提出的容許條件。 在此需要進(jìn)一步說明，在小波變換過程中，所采用的小波必須滿足容許條件反變換才存在，由容許條件 C? = ? ?? ??Rdt ??? )( 可以推斷出 :能用作基本小波 ? (t) 的函數(shù)至少必須滿足 0)0( ???? 或者 ? ?R tdt 0)(?,也就是說， )(?? 必須具有帶 通性質(zhì)，且 )(t? 必須是有正負(fù)交替的 MIA波形，使得其平均值 =0，這便是稱之為“小波”的原因。另外，在實(shí)際中，對(duì)基本小波的要求往往不局限于滿足容許條 件，對(duì) ? (t)還要施加所謂的“正則性條件”，使 )(?? 在頻域上表現(xiàn)出較好的局限性能。為了在頻域上有較好的局限性，要求 ),( ?aWTf 隨 a 的減小，所以這就要求 ? (t)的前 n階原點(diǎn)矩為 0，且 n 值越高越好，即 ??pt （ t） d(t)=0 p =1~ n ，且 n 值越大越好 () 此要求在頻域內(nèi)表示就是， )(?? 在 ? =0處有高階零點(diǎn)，且階次越高越好 (一階零點(diǎn)就是容許條件 )，即 )(?? = ??1?n )(0? 0)0(0 ???? , n 越大越好 () 上兩式就是正則性條件。如果 用 上 述變換公式來處理圖像信息，還需要將連續(xù)小波離散化，同時(shí)將一維變換拓展到二維。 離散小波變換 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 28 在實(shí)際應(yīng)用中，為了方便計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析、處理，信號(hào) ? (t )都要離散化為離散數(shù)列， a 和 ? 也必須離散化，成為離散小波變換 (Discrete Wavelet Transform),記為 DWT. 由上一節(jié)連續(xù)小波變換的概念我們知道，在連續(xù)變換的尺度 a和 ? 時(shí)間值下，小波基函數(shù) )(, ta?? 具有很大的相關(guān)性，所以一維信號(hào) f(t)做小波變換成二維的WT ),( ?af 后，它的信息是有冗余的，體現(xiàn)在不同點(diǎn)的 WT ),( ?af 滿足重建核方程。在理想情況下，離散后的小波基函數(shù) )(, tnm? 滿足正交完備性條件，此時(shí)小波 變換后的系數(shù)沒有任何冗余，這樣就大大地壓縮了數(shù)據(jù)，并且減少了計(jì)算量。 為了減少小波變換的系數(shù)冗余度，我們將小波基函數(shù) ??t???, =a1 ? ?????? ?at ? a,? 限定在一些離散的點(diǎn)上取值。 ① 尺 度 的離散化。目前通行的辦法是對(duì)尺度進(jìn)行冪級(jí)數(shù)離散化，即令 a 取 a= ma0 ,a0 O,m?Z，此時(shí)對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)是 a ???????? )2(02_0 tjj? j=0 ,1,2,...。 ② 位移的離散化。通常對(duì) ? 進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個(gè)時(shí)間軸。為了防 止信息的丟失，我們要求采樣間隔 ? 滿足 Nyquist 采樣定理，采樣 率大于等于該尺度下頻率通常的二倍。所以每當(dāng) m 增加 1時(shí)，尺度 a增加一倍，對(duì)應(yīng)的頻率減小一半，可見采樣率可以降低一半而不致引起信息的丟失 (帶通信號(hào)的采樣率決定于其帶寬，而不是決定于其頻率上限 )。所以在尺度 j 下，由于 ????????? tf0?的帶寬時(shí) ??t? 的 aj0 倍，因此采樣間隔可以擴(kuò)大 aj0 ，同時(shí)也不會(huì)引起信息的丟失。這樣， )(, ta?? 就改成 :a ? ? ? ?002021020 )( ???? ktaakata jjjjj ??? ???? () 記為 )(00, tkaj ??離散小波變換定義為 : WT ),( 00 ?kajf = )()()(00 , tdttf ka j ??? j=0,1,2...,k Z? () 在以上的尺度以及位移均離散化的小波序列，如果取離散柵格 a0 = 2 ,0? =0， 即相當(dāng)于連續(xù)小波只在尺度 a上進(jìn)行量化，平移參數(shù) ? 仍然連續(xù)不被離散，我們 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 29 稱這類小波為二進(jìn)小波，表示為 : )(,2 tK??=2 )2(2 kk t ?? ?? () 二進(jìn)小波介于連續(xù)小波和離散小波之間，由于它只是對(duì)尺度參量進(jìn)行離散化，在時(shí)間域上的 平移量仍保持著連續(xù)的變化，所以二進(jìn)小波具有連續(xù)小波變換的時(shí)移共變性，這個(gè)特點(diǎn)也是離散小波不具有的。也正因?yàn)槿绱?，它在奇異性檢測(cè)、圖像處理方面都十分有用。 令小波函數(shù)為 ? (t)，其傅立葉變換為 )(?? ，若存在常數(shù) A,B，當(dāng) 0A? B? ，使得 BA zk kw ?? ?? 2)2(? () 此時(shí)， ? (t)才是一個(gè)二進(jìn)小波，我們稱上式為二進(jìn)小波的魯棒性條件。 定義函數(shù) f(t) )(2 RL? 的二進(jìn)小波變換系數(shù)為 : WTK2(? )=f(t) )(,2 tk??=tkk dttf )2()(2 2 ? ??? () 其中 )(,2 tk??=22k? )2(kt ?? ? () 由前面的知識(shí)可得它的小波逆變換公式是存在的。 二進(jìn)小波變換的重建公式為 : f(t)=???? dtWT KKzk R )()( ,22 ?? ?? () 其中， )(,2 tk??? 為??,2k(t)的對(duì)偶框架，其上、下界分別為 B1? ，和 A1? 多分辨率分析 多分辨率概念是由 Mallat 和 Meyer 于 1986 年提出來的，它可將此前所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一起來，使小波理論產(chǎn)生突破性的進(jìn)展。同時(shí)，在多分辨率理論分析的基礎(chǔ)上， Mallat 引入了一種計(jì)算柵格上小波變換的快速算法，即 Mallat算法。它可以避免 a 值越大，對(duì) ? (t)的采樣就得越密的缺點(diǎn)，這一算法在小波分析中的地位很重要，相當(dāng)于快速傅立葉算法 (FFT)在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 我們把平方可積的函數(shù) f(t) )(2 RL? 看成使某一逐級(jí)逼近的極限情況，每級(jí) 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 30 逼近都是用某一低通平滑函數(shù) ? (t)對(duì) f(t)做平滑的結(jié)果，在逐級(jí)逼近時(shí)平滑函數(shù) ) )(t? 也做逐級(jí)伸縮，這就是“多分辨率” ???，即用不同分辨率來逐級(jí)逼近待分析函數(shù) f(t)。 空間 L2 (R)中的多分辨率分析是指 L2 (R)中滿足下列條件的一個(gè)空間序列 ??jezjV ： ① 單調(diào)性 :對(duì)任意 j? Z，有 V 1?? jj V 。 ② 逼近性 : ??0??jez jV, )(2 RLVj j ??????。 ③ 伸縮性 :f(t) 1)2( ???? jj VtfV ，伸縮性體現(xiàn)了尺度的變換、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。 ④ 平移不變性 :對(duì)任意 k?Z，有 jjj Vkt ??? )2( 2? 。 ⑤ Riesz基存在性 :存在 0)( Vt ?? ,使得jj Vkt ??????? ?? )2( 2? 構(gòu)成 jV 的 Riesz。 為了構(gòu)造正交小波基，引用尺度函數(shù)概念 : 定義函數(shù) )()( 2 RLt ?? 為尺度函數(shù)，若其經(jīng)過整數(shù)平移 k和尺度 j上的伸縮，得到一個(gè)尺度和位移均可以變化的函數(shù)集合 : )2(2 2 ktjjjk ?? ?? ?? () 稱每一個(gè)尺度 j上的平移系列 )(tjk? 所組成的空間 Vj 為尺度 j的尺度空間： Vj =span? ?)(tjk? k z? () 對(duì)于任意函數(shù) f(t) jV? ， 有 )2(2 2 ktjjjk ?? ?? ?? () 所以尺度函數(shù) )(t? 在不同尺度下其平移系列組成了一系列的尺度空間? ?jezjV 隨著尺度的 j增大，函數(shù) )(tjk? 的定義域變大，平移的間隔 ( 02?j )也 變大， 周揚(yáng) :基于小波變換的數(shù)字水印技術(shù)研究 31 所以它的線 性組合不能表示函數(shù)小于該尺度的細(xì)微變化，所以其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號(hào)。反之，如果 j減小，函數(shù) )(tjk? 的定義域變小，平移的間隔 ( 02?j )也變小，則它的線性組合就能表示函數(shù)的更細(xì)微的變化，所以其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，包括小尺度信號(hào)和大尺度的緩變信號(hào)。 實(shí)驗(yàn)環(huán)境： 可實(shí)現(xiàn)數(shù)字水印技術(shù)的高效實(shí)用工具 —— Matlab Matlab 簡(jiǎn)介 Matlab 是當(dāng)前在國(guó)內(nèi)外十分流行的工程設(shè)計(jì)和系統(tǒng)仿真軟件包。 它是MathWorks 公司于 1982 年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件，它集數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、信號(hào)處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一人方便的、界面友好的用戶環(huán)境。 Matlab 的推出得到了各個(gè)領(lǐng)域?qū)＜?、學(xué)者的廣泛關(guān)注，其強(qiáng)大的擴(kuò)展功能為各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。由各個(gè)專家學(xué)者相繼推出了 MATLAB 工具箱，其中的信號(hào)處理 (signal processing)、控制系統(tǒng) (control system)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural work)、圖像處理 (image processing)、魯棒控制 (robust control)、非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì) (nonlinear system control design)、系統(tǒng)辨識(shí) (system identification)、最優(yōu)化 (optimization)、 模糊邏輯 (fuzzy logic)、小波(wavelet)、通信 (munica