【導讀】國內外研究現狀··········································································1. 數字水印的應用·······················································&#183

　　

【正文】 復，即 201( ) ( , )x a bx t a W T a b d a d bC ??? ??????? () 在實際應用中我們常常要將連續(xù)的小波變換離散化。前面定義了信號 ()xt 的連續(xù)小波變換，式中 a， b 和 t 都是連續(xù)變量。為了在計算機上有效地實現小波變換， t 自然應取離散值， a 和也應取離散值。從減少信息冗余的角度， a 和 b 也沒有必要連續(xù)取值。 目前通用的對 a 離散化的方法是按冪級數的形式逐步加大 a，一般為二進制離散，即令 2 , 0,ja j j Z? ? ?；對 b 離散化則令 2jsb kT? ， sT 為時間采樣間隔。此時小波函數序列可以表示為 2, ( ) 2 ( 2 )j jjk tk? ?? ? ? ? () 任意函數 ()xt 的離散小波變換（ DWT）為 * ,( , ) ( ) ( )x jkW T j k x t t d t??? () 我們知道，任意滿足狄立克里條件的周期函數可以展位傅立葉級函 數。同理，我們也希望能找到一個小波函數序列 ()abt? 來表示任意一個平方可積的函數 ()xt ，這樣的一組小波序列構成一組正交小波基。 小波變換在圖像水印中的應用基礎 小波變換用于圖像分析的基本思想就是把圖像進行多分辨率分解，將圖像分解成不同空間、不同頻率的子圖像。圖像經過小波變換后被分割成四個頻帶：水平、垂直、對角線和低頻。低頻部分還可以繼續(xù)分解。對一幅圖像來說，小波變換構成了對它的多尺度時頻分解。如下圖 所示圖 像的兩個尺度的分解。 左上角 LL2 是最低頻段濾波后的低尺度逼近，同級分辨率下， HL2 塊包含了水平方向高通、垂直方向低通濾波后保留的細節(jié)信息。同樣的， LH2 塊保留的是水平方向低通、垂直方向高通濾波后所得的細節(jié)信息， HH2 塊包含的是水平和垂直方向都經過高通濾波后的細節(jié)信息。相同的處理過程在中分辨率層和高分辨率層重復進行。 黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文 19 圖 圖像二層多分辨率小波分解 圖像經過小波變換后生成的小波圖像的數據總量與原圖像的數據量相等，生成的小波圖像具有與原圖像不同的特性，表現在圖像的能量集中于低頻部分，而 水平、垂直和對角線部分的能量則少；水平、垂直和對角線部分表征了原圖像在水平、垂直和對角線的邊緣信息，具有明顯的方向特性。低頻部分可以作為亮度圖像，水平、垂直和對角線部分可以作為細節(jié)圖像。 為了增強嵌入的水印信息對有損壓縮的穩(wěn)健性和不可見性，在水印嵌入的過程中，對原始圖像和水印圖像進行同級多分辨率分解，并將數字水印嵌入到對應的分辨率層次的原始靜態(tài)圖像之中，使水印圖像對原始圖像具有自適應性。其基本過程如圖 所示，把水印圖像 G0進行多分辨率分解（這里進行 2 層多分辨分解），分解后的二層灰度 圖像 分別為 L0（包含 G0的高頻信息）、 L1（包含 G0的低頻信息）。為了方便地實現水印的嵌入，把 L0、 L1 分解為一系列二值位平面形式，然后把 L1 作為水印的掩碼信息嵌入到原始圖像的 HL2和 LH2層中，而 L0 作為水印的掩碼信息嵌入到原始圖像的HL1和 LH1層中。 圖 基于多分辨率分解的圖像嵌入過程 離散小波 變換的 Mallat 算法 Mallat 算法的基本思想 [16]如下：假定我們已經計算出一函數或信號 2( ) ( )x t L R? 在黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文 20 分辨率 2j下的離散逼近 Ajx，則 x(t)在分辨率 2(j+1)的離散逼近 Aj+1x(t)可通過離散濾波器對 Ajx(t)濾波獲得。 Mallat 分解算法 設 ()t? 和 ()t? 分別是函數 x(t)在 20 分辨率逼近下的尺度函數和小波函數，對于0 0 2( ) ( )nnc c L Z??，令： 0( ) ( )nkx t c t n???? () 則 x(t)是 V0中的元素，對 x(t)可以用多尺度分析工具計算它的近似信息 Ajx(t)和細節(jié)信息 Djx(t)。由于 0 1 1V V W????，故 x(t)可以分解為 1V? 和 1W? 中的元素 11( ) ( ) ( )x t A x t D x t?? () 將 x(t)分解一次（即分別投影到 Vj， Wj空間中），則有： 111 , 1 ,() k k k kkkx t c d???????? () 其中111 1 , 1 1 ,( ) , ( )k k k kkkA x t c D x t d????????一般稱 jkc 為剩余系數或尺度系數， jkd 為小波系數。依次類推，經一系列的變換后，可推得： 1( 2 )jjknnc h h k c???? () 1( 2 )jjknnd g n k c???? () 對于式 ()， ()同樣將尺度空間 Vj+1繼續(xù)分解下去，可達到任意尺度空間 Vj的分解。并改用濾波器 ()H? 、 ()G? 的形式，這樣可以寫成如下的通式，過程如圖 所示 ： 1jjkkc Hc? ? 1jjkkd Gc? ? () C0 H C1 H C2 H C3 H C4 H G G G G G 圖 分解算法示意圖 對于離散小波變換的計算，人們只需初始值 0kc 和一組由兩尺度方程規(guī)定的濾波器系數h(n)和 g(n)，并不需要 ()t? 和 ()t? 表達式。 黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文 21 Mallat 重構算法 設函數1() jxt V??，設分解多次后，由式 ()可得其表示形式為： 1 , ,( ) ( ) ( ) jjj j j k j k k j kkkA x t A x t D x t c d??? ? ?? ? ? ??? () 上式兩邊同時對 ( 1), ()jnt??? 進行內積，并且根據尺度函數和小波函數的正交性，得： 1 ( 1 ) , 1( ) , ( ) ( 2 ) ( 2 )j j jn j n j k kkkc t A x t c h n k d g n k?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? () 和分解過程相似，重建過程可以用式 ()表示 ，算法 如圖 ： 11j j jk k kc H c G d? ? ? ??? () 其中 H*、 G*分別是 H、 G 的對偶算子。 C0 H* C1 H* C2 H* C3 H* C4 H* G* G* G* G* G* d1 d2 d3 d4 d5 圖 重構算法示意圖 離散小波變換算法的實現 正向小波的變換 小波基函數的選擇是小波應用的關鍵，也是小波應用中有待進一步研究的工作。目前，已存在好幾種不同的基小波，如 Haar 小波、 Daubechies 小波、 Coiflets 小波和Symlets 小波等。對于同種信號，由于不同的小波基在正交性、緊支性、平滑性甚至對稱性上表現出不同的特性，對于同一信號，采用不同的小波基函數的分析效果是不同的。 Haar 小波是不連續(xù)的，頻域局部性差，結構簡單，常應用于理論研究中。 Daubechies小波由 于其對非平穩(wěn)信號的靈敏性得到了廣泛的應用。根據 Daubechies 小波的正交、時頻緊支撐、高正規(guī)性和具有 Mallat 快速算法等特點，對于檢測信號的奇異性具有很好的特性。 本文小波變換主要采用 Daubechies 小波 (N=2)。小波序列 kp ，由表 可得到。小波序列 kq ，根據公式 ()可以得到。 ( 1) kkkqP??? () 黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文 22 表 Daubechies 的序列 kp N=2 45 38 42 51 首先是一維小波變換算法實現。通過上一節(jié)對離散小波的分析，和 Daubechies 小波序列就可得到得出一維小波變換程序。 //正向一維小波變換 public static void Waveletld(double s0[],double s1[], double w1[]){ int n, k。 int index。 int s_len = 。 int sup = 4。 double p[] = { , , , }。 double q[] = new double[4]。// Daubechies 小波基（ N=2） for (n = 0。 n sup。 n++) q[n] = ( 1, n) * p[sup n 1]。 for (k = 0。 k s_len / 2。 k++) { s1[k] = 。 w1[k] = 。 for (n = 0。 n sup。 n++) { index = (n + 2 * k) % s_len。 s1[k] += p[n] * s0[index]。 w1[k] += q[n] * s0[index]。}}} 我們可以重復調用一維小波變換，就得出推廣到二維離散小波變換，從而得到二黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文 23 維離散小波變換程序。 //二維離散小波變換 public static void wavelet2d(double data[][], double s1[][], double w1v[][],double w1h[][], double w1d[][]){ s0 = new double[s_len][s_len]。 s1x = new double[s_len][s_len]。 w1x = new double[s_len][s_len]。 s1xt = new double[s_len][s_len]。 w1xt = new double[s_len][s_len]。 s1t = new double[s_len][s_len]。 w1ht = new double[s_len][s_len]。 w1vt = new double[s_len][s_len]。 w1dt= new double[s_len][s_len]。 for (j = 0。 j s_len。 j++) for (i = 0。 i s_len。 i++) s0[i][j] = data[i][j]。 for (j = 0。 j s_len。 j++) { for(i=0。is_len。i++) {x1[i]=s0[i][j]。} Waveletld(x1, x2, x3)。 //調用一維小波變換程序 for(i=0。is_len/2。i++) {s1x[i][j]=x2[i]。 w1x[i][j]=x3[i]。}} for (j = 0。 j s_len。 j++) { for (i = 0。 i s_len / 2。 i++) { s1xt[j][i] = s1x[i][j]。 //行列之間的置換 w1xt[j][i] = w1x[i][j]。}} for (j = 0。 j s_len/2。 j++) { for(i=0。is_len。i++){ x1[i] = s1xt[i][j]。} Waveletld(x1,x2, x3)。 //調用一維小波變換程序 for(i=0。is_len/2。i++) 黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文 24 {s1t[i][j]=x2[i]。 w1ht[i][j]=x3[i]。} for(i=0。is_len。i++){ x1[i]=w1xt[i][j]。} Waveletld(x1,x2, x3)。 //調用一維小波變換程序 for(i=0。is_len/2。i++) {w1vt[i][j]=x2[i]。 w1dt[i][j]=x3[i]。}} for (j = 0。 j s_len / 2。 j++) { for (i = 0。 i s_len / 2。 i++) { s1[j][i] = s1t[i][j]。 //行列之間的置換 w1h[j][i] = w1ht[i][j]。 //行列之間的置換 w1v[j][i] = w1vt[i][j]。 //行列之間的置換 w1d[j][i] = w1dt[i][j]。}}} //行列之間的置換 通過以上可以看出，通過不斷重復這一個過程，可以進行多分辨率分解，理論上可以進行任意級小波變換。 離散小波逆變換（ IDWT） 根據正向一維離散小波變換，對其做逆過程，經過下面循環(huán) for(n=0。ns_len。n++) {s0[2*n+1]=。 s0[2*n]=。 for(k=0。ksup/2。k++){ index=(nk+ofs)%s_len。 s0[2*n+1]+=p[2*k+1]*s1[index]+q[2*k+1]*w1[index]。 s0[2*n]+=p[2*k]*s1[index]+q[2*k]*w1[index]。}} 就得到了逆向一維小波變換程序。 public static void Iwavelete1d(double s1[],double w1[],double s0[]) 對變換后的數據做重構，和二維正向小波變換一樣。通過三次調用逆向一維小波變換，就得到了逆向二維離散小波變換。 //逆向二維離散小波變換 public static void Iwavelet2d(double s1[][], double w1v[][], double w1h[][], double w1d[][]， double data[][]){ 黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文 25 for (j = 0。 j s_len。 j++) { for (i = 0。 i s_len。 i++) { s1t[i][j] = s1[j][i]。 //行列之間的置換 w1ht[i][j] = w1h[j][i]。 //行列之間的置換 w1vt[i][j] = w1v[j][i]。 //行列之間的置換 w1dt[i][j] = w1d[j][i]。}} //行列之間的置換 for(j=0。js_len。j++) {for(i=0。is_len。i++){ x1[i]=s1t[i][j]。 x2[i]=w1ht[i][j]。} Iwavelete1d(x1,x2,x3)。 //逆一維小波變換 for(i=0。i2*s_len。i++){ s1xt[i][j]=x3[i]。]} for(j=0。js_len。j++) {for(i=0。is_len。i++){ x1[i]=w1vt[i][j]。 x2[i]=w1dt[i][j]。} Iwavelete1d( x1,x2, x3)。 //逆一維小波變換 for(i=0。i2*s_len。i++){ w1xt[i][j]=x3[i]。}} for (j = 0。 j s_len。 j++) { for (i = 0。 i s_len。 i++) { s1x[j][i] = s1xt[i][j]。 //行列之間的置換 w1x[j][i] = w1xt[i][j]。}} //行列之間的置換 for(j=0。j2*s_len。j++){ for(i=0。is_len。i++){ x1[i]=s1x[i][j]。 x2[i]=w1x[i][j]。} Iwavelete1d(x1,x2,x3)。 //逆一維小波變換。 for(i=0。is_len。i++){ s0[i][j]=x3[i]。}} for(j=0。j2*s_len。j++) 黑龍江工程學院本科生畢業(yè)論文 26