【文章內(nèi)容簡介】 （212） Gabor濾波可以定義為： （213）下面我們對式（212）中的各項(xiàng)參數(shù)作一個(gè)說明：是一個(gè)振蕩函數(shù)，實(shí)部為余弦函數(shù)，虛部為正弦函數(shù)。是Gauss函數(shù)，這實(shí)際上是通過加窗限制了函數(shù)的范圍，使其在局部有效。由Gauss函數(shù)的局部性可知，這個(gè)濾波器實(shí)際上抽取x附近的特征，因此可以看作是一種Gabor小波。是直流分量，這樣濾波器就可以不受直流分量大小的影響。向量描述了濾波器對不同方向和不同尺度的響應(yīng)，通過選取一系列的，就得到了一族Gabor濾波器，是一個(gè)常量，和一起刻畫了Gauss窗的波長。這里取=π/2，可以表示為： 這里 （214）選取不同的下標(biāo)可以描述不同的Gauss窗波長，從而控制采樣的尺度。選取不同的下標(biāo)可以描述振蕩函數(shù)不同的振蕩方向，從而控制采樣的方向。我們這里選取=0 ,1，2這樣可以在3個(gè)不同的尺度上采樣。選取=0 ,...,3這樣就可以在4個(gè)不同的方向上采樣[13]。各個(gè)濾波器窗口的大小為3232,確定濾波器的所有參數(shù)(可自己決定)后,當(dāng)采取上述的參數(shù)后,(圖片源代碼詳見附錄一)。 Gabor 3個(gè)尺度4個(gè)方向的濾波器 另外，Gabor函數(shù)是唯一能夠達(dá)到空域和頻域聯(lián)合測不準(zhǔn)關(guān)系下界的函數(shù)，用Gabor函數(shù)形成的二維Gabor濾波器具有在空間域和頻率域同時(shí)取得最優(yōu)局部化的特性，因此能夠很好地描述對應(yīng)于空間頻率(尺度）、空間位置及方向選擇性的局部結(jié)構(gòu)信息，、空域特性和頻域特性（源代碼詳見附錄二）： Gabor濾波器原圖特性 Gabor濾波器原圖的空域特性 Gabor濾波器原圖的頻域特性 Gabor濾波器參數(shù)的選擇由于不同，u代表了不同的采樣方式，因此需要保證在不同的尺度和不同方向上的采樣盡量均勻。一些研究表明[0, ]區(qū)間可以描述所有的方向，因此只需對區(qū)間[0, ]進(jìn)行采樣。也就是說：+方向上的濾波完全可以由方向的結(jié)果確定。由于的變化是連續(xù)的，不可能取無窮多個(gè)，必須對其進(jìn)行離散均勻采樣。因此這里我們選取作為采樣間隔，反映了空間尺度上采樣。由于尺度的大小實(shí)際上決定于Gauss窗的大小,而其窗長正比于，由于是在二維上的采樣，因此其面積正比于。為了反映尺度上的合理采樣，實(shí)驗(yàn)表明每次采樣的面積成倍的方式遞減比較合理，是一個(gè)常量，這就要求。Gabor濾波器利用公式定義的卷積，就可以在圖像每個(gè)不同的處得到個(gè)不同復(fù)值的濾波結(jié)果[12]。 Gabor濾波器的性質(zhì)和計(jì)算方法(1)Gabor濾波器的性質(zhì)1　 Gabor濾波器具有生物學(xué)的意義。Gabor核函數(shù)與脊椎動物大腦視覺區(qū)域皮層細(xì)胞的感受行狀十分類似。2　 Gabor濾波器能充分描述圖像的紋理信息。Gabor濾波特性說明了Gabor濾波結(jié)果是描述圖像局部灰度分布的有力工具。因此，圖像的紋理信息可以用Gabor濾波作為特征抽取的方法。3　 對二維Gabor濾波的研究表明，通過恰當(dāng)選擇若干個(gè)Gabor核函數(shù)可以重構(gòu)出原圖像。4　 Gabor核函數(shù)由于去掉了直流分量，對局部光照影響不敏感。這和直接將圖像的灰度特征作為模板相比，優(yōu)勢是很明顯的。5　 Gabor濾波結(jié)果可以描述不同方向上灰度的分布信息。6　 Gabor濾波結(jié)果可以描述不同尺度上灰度的分布信息。一般來說，大尺度濾波可以描述全局性較強(qiáng)的信息，同時(shí)可以掩蓋掉圖像中噪聲的影響，而小尺度濾波可以描述比較精細(xì)的局部結(jié)構(gòu)，受噪聲影響也大。7　 核函數(shù)有良好的頻域特性。Gabor核函數(shù)在頻域內(nèi)的形狀和空域內(nèi)的形狀完全相同。8　 Gabor濾波可以容忍圖像有一定的平移、旋轉(zhuǎn)、深度上的轉(zhuǎn)動、尺度變化等情況。 (2)Gabor核函數(shù)的計(jì)算方法由于輸入的圖像為灰度圖像，這就是直接的離散化表示。從Gabor核函數(shù)的定義公式可以看出，由于Gauss窗函數(shù)的限制，Gabor核函數(shù)只在一個(gè)局部非零，因此我們只需要對其局部進(jìn)行離散抽樣即可。抽樣范圍的大小由Gauss窗的大小所確定，這里我們?nèi)∽鳛槌闃影霃健? Gabor變換的人臉特征提取 根據(jù)以上分析，我們知道Gabor變換在人臉特征提取方面具有很多優(yōu)點(diǎn)，前面定義的Gabor小波是一組帶通濾波器，通過參數(shù)的選擇，每一組濾波器具有各自的頻率選擇性和方向選擇性，這樣不同方向和尺度的濾波器覆蓋整個(gè)頻域，從而一幅人臉圖像的Gabor特征表示就是該圖像和一族Gabor小波卷積的結(jié)果。 假設(shè)表示一幅圖像的灰度分布，則其Gabor特征表示為： （215） 其中，是Gabor核函數(shù)，是尺度，方向的Gabor小波卷積結(jié)果。在這里，我們選用3個(gè)尺度4個(gè)方向的Gabor小波，即∈{0 ,......,2},∈{0,......,3}，其于參數(shù)設(shè)為以及為了包含不同的空間尺度和方向的Gabor濾波特征，一般將一幅圖像的所有尺度方向Gabor濾波變換表示成一個(gè)級聯(lián)的特征矢量。由于一般圖像的維數(shù)比較高，直接將所有尺度、方向的Gabor小波變換特征級聯(lián)會導(dǎo)致維數(shù)大而難于處理，因此有必要對圖像的各個(gè)Gabor小波表示進(jìn)行下采樣處理，假設(shè)下采樣因子為，則一幅圖像的特征矢量為： （216） 從特征提取的角度出發(fā)，對人臉圖像的不同尺度不同方向的Gabor濾波可以認(rèn)為是提取了人臉圖像具有不同性質(zhì)的特征，因此對于本文所采用的3尺度4方向的Gabor小波，可以認(rèn)為其對人臉圖像的濾波得到了12組具有不同性質(zhì)的特征矢量，一般都將這12組特征矢量簡單級聯(lián)成一個(gè)長特征矢量，然后在對該特征矢量進(jìn)行學(xué)習(xí)和識別分類，而不考慮各組特征矢量的有效性問題，即哪些尺度和方向的Gabor濾波特征更能反應(yīng)人臉之間互相區(qū)別的本質(zhì)特征。以下是Gabor變換人臉提取特征的流程圖: 圖22 Gabor變換人臉提取特征流程圖 根據(jù)以上流程圖編寫的程序可以得出一幅經(jīng)過Gabor小波變換后的人臉特征圖像，如圖23： 圖23 ORL人臉原圖和經(jīng)Gabor提后的圖片 Gabor快速算法圖 前面我們通過實(shí)驗(yàn)分析了Gabor變換在人臉特征提取中的重要作用，在這一章中，我們就著重介紹Gabor的快速算法。由于我們所說的Gabor變換的快速算法是基于傅里葉快速算法而來的，所以我們先介紹傅里葉快速算法。離散傅里葉變換(DFT)在信號的頻譜析、系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中得到了廣泛的應(yīng)用，原因之一就是計(jì)算DFT有很多的快速算法，快速傅里葉變換(FFT)算法就是其中之一。在使用數(shù)字信號處理技術(shù)的各種各樣的應(yīng)用領(lǐng)域里，F(xiàn)FT算法都起著極為重要的作用。設(shè)為N點(diǎn)的有限長序列，則其正變換DFT為： （217） 逆變換OFT為： （218） 通常我們用算法所需的乘法和加法運(yùn)算次數(shù)，來衡量各種算法的復(fù)雜性和效率。這里的通常都是復(fù)數(shù)，于是整個(gè)DFT運(yùn)算就需要N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N1)次復(fù)數(shù)加法。因此，直接計(jì)算DFT，乘法和加法的次數(shù)都與N2成正比。 當(dāng)N較大時(shí)，計(jì)算量太大，無法得到實(shí)際的應(yīng)用。 快速傅里葉變換(FFT) 自從1965年圖基()和庫利()在《計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)》(,，1965)雜志上發(fā)表了著名的《機(jī)器計(jì)算傅里葉級數(shù)的一種算法》論文之后桑德()、圖基等快速算法相繼出現(xiàn)，又經(jīng)人們進(jìn)行改進(jìn)，很快的形成一套高效運(yùn)算方法，這就是現(xiàn)在的快速傅立葉變換，簡稱FFT，這種算法使DFT運(yùn)算效率提高12個(gè)數(shù)量級，為數(shù)字信號處理技術(shù)應(yīng)用于各種信號的實(shí)時(shí)處理創(chuàng)造了良好的條件，大大推動了數(shù)字信號處理技術(shù)的發(fā)展。 快速傅里葉變換的算法有很多，主要的算法有： 時(shí)間抽取(DIT)基2FFT算法。這種算法是將輸入序列在時(shí)域上的次序按偶數(shù)和奇數(shù)來抽取，對于任意一個(gè)N =2M點(diǎn)長序列的DFT運(yùn)算，可以采用M次分解，最后分解成2點(diǎn)的DFT運(yùn)算的組合，從而降低了運(yùn)算量。DIT的運(yùn)算量為： 復(fù)數(shù)乘法次數(shù)：Mp=(N/2)M=(N/2)log2N 復(fù)數(shù)加法次數(shù)：ap=Nlog2N (1)頻域抽取(DIF)基2FFT算法。與DIT算法相對應(yīng)，DIF算法是把頻域輸出X(k)按k是偶數(shù)或是奇數(shù)，逐級分解成2點(diǎn)的DFT運(yùn)算，其原理與DIT算法相對偶，運(yùn)算量也與DIT算法的相同，這里不再贅述。 (2)N為復(fù)合數(shù)的FFT算法。這是統(tǒng)一的FFT算法，而前面的DIT算法、DIF算法不過是在輸入序列的列長為N=2的統(tǒng)一FFT算法的特例而已。，因不需要乘法，可減少旋轉(zhuǎn)因子的數(shù)量，運(yùn)算量更少。N為復(fù)合數(shù)時(shí)的FFT算法，采用下標(biāo)映射是個(gè)關(guān)鍵，然后再分別對列(或行)和行(或列)求小點(diǎn)數(shù)長度的DFT，并用旋轉(zhuǎn)因子做各小點(diǎn)數(shù)DFT間運(yùn)算的媒介，但這同時(shí)也帶來了運(yùn)算量的增加。 若復(fù)合數(shù)N=LM，則其FFT的運(yùn)算量大致為： 復(fù)數(shù)乘法次數(shù)：N(M+L+1) 復(fù)數(shù)加法次數(shù)：N(M+L2) 分裂基FFT算法(SRFFT)。這是一種利用將基2和基4于變換的不同部位，進(jìn)一步改善固定一基和混合一基的算法，其基本思路是對偶序號輸出使用基2算法，對奇序列輸出使用基4算法，將大點(diǎn)數(shù)的DFT逐級分解成小點(diǎn)數(shù)的DFT運(yùn)算。由于分解的不對稱性，算法結(jié)構(gòu)比固定基算法稍微復(fù)雜一些，是目前針對N =2M的算法中具有最少乘法和加法次數(shù)的，又允許以同址計(jì)算和蝶形方式實(shí)現(xiàn)，所以被認(rèn)為是最好的快速傅里葉變換算法。其運(yùn)算量為： 實(shí)數(shù)乘法次數(shù)：Nlog2N3N+4 實(shí)數(shù)加法次數(shù)：Nlog2N3N+4(3)素因子算法(PFA)。當(dāng)復(fù)合數(shù)N可以按照Good映射分解為幾個(gè)互素因子的乘積時(shí)，其FFT變換就可以避免旋轉(zhuǎn)因子的影響。PFA算法就是采用了Good映射，將長度為N=N1*N2的一維DFT轉(zhuǎn)換成尺寸為N=N1N2的二維DFT，然后以行列方式沿每一維采用最有效的算法計(jì)算這個(gè)二維的DFT。該算法的運(yùn)算量為：乘法次數(shù)：m（N）=N2m（N1）+N+N1*m（N2）其中m(N)表示計(jì)算N點(diǎn)DFT需要的總乘法次數(shù)。 (4)Winograd傅里葉變換算法(WFTA)。該算法利用了Good映射將長度為“大N”因子的DFT分解成若干“小N”因子的連乘，再利用“小N”因子的DFT，就可以得到“大N”因子的DFT。“小N”因子的DFT是指2，3，4，5，7，8，9和16點(diǎn)的DFT。WFTA算法結(jié)構(gòu)比FFT復(fù)雜的多，程序編譯的時(shí)間也長，但運(yùn)算速度比較快。WFTA算法被證實(shí)為具有最少的乘法和加法次數(shù)的算法，該算法除了用到下標(biāo)映射外，還涉及到數(shù)論和近代數(shù)的知識。 (5)實(shí)序列的FFT。對于輸入為實(shí)數(shù)序列的FFT沒有必要專門編寫實(shí)數(shù)據(jù)的FFT，而是直接利用復(fù)數(shù)據(jù)FFT進(jìn)行計(jì)算。利用DFT奇偶對稱性質(zhì)，可以用一個(gè)N點(diǎn)的FFT同時(shí)運(yùn)算兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列，或者是用一個(gè)N點(diǎn)的FFT運(yùn)算一個(gè)2N點(diǎn)的實(shí)序列。前者是把一個(gè)實(shí)序列作為實(shí)部，同時(shí)另一個(gè)實(shí)序列作為虛部，計(jì)算FFT后再把輸出按奇、偶、虛、實(shí)特性加以分離，后者是將2N長的實(shí)序列的偶序號置為實(shí)部，奇序號置為奇部，同樣在計(jì)算FFT后再加以分離。用一個(gè)N點(diǎn)的FFT運(yùn)算一個(gè)2N點(diǎn)的實(shí)序列的運(yùn)算量為： 乘法次數(shù)：m2f=N/2(4+log2N) 加法次數(shù)：a2f=N(4+log2N)主要有4類計(jì)算二維FFT的方法。即行一列算法、矢量一基算法(VR)、嵌套算法、多項(xiàng)式變換算法。行一列算法實(shí)現(xiàn)最容易，僅要求有效的一維FFT算法即可。而多項(xiàng)式變換因?yàn)榫哂凶畹偷乃阈g(shù)復(fù)雜性，同址計(jì)算的可能性和實(shí)現(xiàn)工作量不大的優(yōu)點(diǎn)，受到人們的普遍重視。二維FFT的一個(gè)重要參數(shù)是考慮存儲器的存取次數(shù)。更高維的FFT變換可以類似得到，但在實(shí)際應(yīng)用中采用的不多。 Gabor變換的快速算法 我們只要把Gabor變換轉(zhuǎn)換成傅立葉形式，根據(jù)FFT快速算法將乘法轉(zhuǎn)換成加法就可以了。下面我們對其做具體的介紹。DFT的卷積公式定義如下： 若,DFT[]=X(),DFT[]=H(),則 =IDFT[X()H()]，但是，我們需要注意的是：進(jìn)行的是循環(huán)卷積，循環(huán)卷積的定義如下：其中： 表示的圓周移位序列， 其實(shí)質(zhì)上與的含義類似。從直觀上說，就是對兩個(gè)卷積的函數(shù)重疊部分以外都用周期延拓的方式填充。 線性卷積的定義如下：從直觀上說，就是當(dāng)兩個(gè)卷積的函數(shù)重疊部分以外都用零填充。在實(shí)際中我們提取特征需要的是線卷積的結(jié)果。如果將序列和都適當(dāng)?shù)难a(bǔ)零，設(shè)長度為I，長度為M，則當(dāng)我們將和都補(bǔ)零到長度為時(shí)，圓卷積和線卷積結(jié)果相同。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，我們將濾波器組和圖像都補(bǔ)零到256，這樣可以滿足上面的補(bǔ)零要求。在這種情況下，對于一幅圖像，如果我們的濾波器組是事先計(jì)算好的，則只需要進(jìn)行1個(gè)FFT(對圖像)，40個(gè)乘法(圖像FFT的結(jié)果與濾波器相乘)，40個(gè)工FFT(對相乘結(jié)果進(jìn)行)。同時(shí)256是2的8次冪，2DFFT的計(jì)算復(fù)雜度為N2log2N。由此，復(fù)雜度大大減少。 本章小結(jié) 本章主要介紹了Gabor小波變換的具體原理和實(shí)際應(yīng)用，及用于人臉識別的具體算法。事實(shí)上，Gabor小波變換最主要就是一個(gè)濾波器設(shè)計(jì)的問題，通過采取不同的方向和尺度，不同的波長和頻率，就可以得到不同的濾波器，本文為了減少程序的運(yùn)行時(shí)間，暫時(shí)采用了3尺度，4方向的Gabor小波，同時(shí)取，可以認(rèn)為其對人臉圖像的濾波得到了12組具有不同性質(zhì)的特征矢量，一般都將這12組特征矢量簡單級聯(lián)成一個(gè)長特征矢量X，然后在對該特征矢量X進(jìn)行學(xué)習(xí)和識別分類，由于一般圖像的維數(shù)比較高，直接將所有尺度、方向的Gabor小波變換特征級聯(lián)會導(dǎo)