【文章內容簡介】 和最大最小值法比較保守，而其他兩種方法產生的閾值則過大。 第 3 步：選擇合適的閾值函數對小波系數進行閾值處理。 常用的閾值函數有以下兩種： 硬閾值法：????? iiii dddd 0{ （ 1） 軟閾值法：??? ???? iiiii ddddd 0 ))(s g n({ （ 2） 第 4 步：小波重構。根據閾值化處理后的高頻小波系數以及未處理的低頻小波系數進行離散小波反變換重構信號。 11 小波閾值算法比較簡單，運算量小，因此在信號去噪方面得到了廣泛的應用。但是這種方法還存在以下兩種 不足：①白噪聲信號的模極大值隨著分解層數的增大而減小，對不同的分解層數采用相同的閾值進行處理，會在低頻系數中濾除過多有用信息而在高頻系數保留了一些過多的噪聲；②在進行閾值處理時，硬閾值處理能更多的保留真實信號的尖峰等特征，但由于其本身的 不連續(xù)性，去噪的的結果會出現震蕩，軟閾值是一種更平滑的方式，在去噪后能產生更光滑的結果，但估計的小波系數與原小波系數之間存在恒定的偏差。本文采用的改進方法如下： 一、各層采用不同的閾值 由文獻 [4]可知： ?jKtxWTj 2)(2 ? （ 3） 其中 K為一個常數， j為分解層數， ? 為 Lip 指數， )(2 txWTj為第 j層的小波系數。 Lip 指數與信號的奇異性有關， ? 越大，信號越平滑。對于一般信號 0?? ，即有用信號對應小波系數隨分解尺度 j的增大而變大。而白噪聲的 Lip指數則為負值， 0,21 ???? ??? ， 即噪聲對應的小波系數隨分解尺度 j 的增大而減小。 有文獻 [8]可知，白噪聲的 Lip 指數滿足（ 4）式： 0,21 ???? ??? （ 4） 由（ 3）式和（ 4）式可知 })(m a x{22})(m a x{ 122 txWTtxWT nn jj ?? （ 5） 其中 )(2 txWT nj為噪聲對應的第 j層小波系數，由式 可知噪聲對應的第 j+1 層小波系數的最大值小于第 j層小波系數的最大值，因此，本論文 在閾值處理時每層系數采用不相同的閾值，用前面所述的四種閾值計算方法確定第一層閾值，以后各層閾值為前一層閾值的 22 倍，即122 ?? jj ??。 二、采用新的閾值函數 鑒于軟閾值和硬閾值的缺點，本論文采用一種新的閾值函數。該閾值函數既要保證其連續(xù)性，又要盡可能的消除軟閾值函數中的恒定偏差。閾值函數如下： ??????? iiiii ddtddd 0 ))(s g n({ （ 6） 其中 ,2)e xp( ?????? ??Ndt i ?? 12 式中 N為一個正常數， id 為處理前的小波系數， ?id 為處理后的小波系數。該閾值函數和軟閾值函數一樣具有連續(xù)性，而且當 ??id 時 , 函數是高階可導的，并且隨著系數 id 的增大， t 的值逐漸減小，使得處理前后的小波系數不變。當 N 取值很大時 , 新閾值函數相似于軟閾值函數 。 當 N 趨近于 0 時 , 新閾值函數相似于硬閾值函數。通過調節(jié) N 的大小可以改變新閾值函數的類型，與經典的閾值函數相比更具有靈活性。 圖 1硬閾值函數、軟閾值函數及改進法制函數的曲線 圖 1 為硬閾值函數、軟閾值函數及改進法制函數的曲線圖，其中閾值,1 ?? N? 。從圖中可以看出，硬閾值函數在閾值點處不連續(xù)，軟閾值函數存在恒定的偏差。改進閾值函數在閾值點處連續(xù)，并且以硬閾值曲線為漸近線。 本章首先介紹小波去噪的定義及其特點，然后了解小波變換進行降噪的原理，對閾值去噪方法做重點研究。下一章 將用仿真實驗來說明消噪效果。 本章總結 本章首先介紹了小波閾值去噪的基本原理以及～般方法，并且消噪時兩個重要的方面進行重點研究，提出了一些改進。 第一方面是對閾值函數進行改進。由于傳統(tǒng)的軟閾值函數和硬閾值函數各有各的優(yōu)缺點。因此針對它們的缺點，提出了兩種改進的閾值函數，一種是介于軟閾值和硬閾值函數。另一個是基于非負死區(qū)閾值函數改進的函數。本章就其單調性、連續(xù)性方面給出的證明。 13 第二個改進的方面是閾值的估計。受到了譜減法思想的啟發(fā)，對噪聲的估計也是基于無音段的噪聲分析。由于信號的小波系數與噪聲的小 波系數的不同表現，所以把噪聲經過小波分析后的模最大值作為閾值。這樣就可以較好地恢復出純凈語音，當然這個過程中語音信號也會受到一定程度的損害。 第三章 實驗設計原理及過程 小波去噪原理分析 . 小波去噪原理 疊加性高斯白噪聲是最常見的噪聲模型，受到疊加性高斯白噪聲“污染”的觀測信號可以表示為： i i iy f z??? 1,..., ,in? (7) 其中 yi為含噪 信號， if 為“純凈”采樣信號， zi為獨立同分布的高斯白噪聲~ (0,1)iidizN， ? 為噪聲水平，信號長度為 n. 為了從含噪信號 yi中還原出真實信號 if ，可以利用信號和噪聲在小波變換下的不同的特性，通過對小波分解系數進行處理來達到信號和噪聲分離的目的。在實際工程應用中，有用信號通常表現為低頻信號或是一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則通常表 現為高頻信號，所以我們可以先對含噪信號進行小波分解（如進行三層分解）： 321312211CDCDCDCACDCDCACDCAS????????? (8) 圖 1 三層小波分解示意圖 14 其中 icA 為分解的近似部分， 為 icD 分解的細節(jié)部分， 321 ,i? ,則噪聲部分通常包含在 1cD ， 2cD ， 3cD 中，用門限閾值對小波系數進行處理，重構信號即可達到去噪的目的。 小波去噪步驟 總結去噪過程，可以分成以下三個步驟： 1) 對觀測數據作小波分解變化： zWfWyW 000 ??? ? (9) 其中 y表示觀測數據向量 y1， y2，? y， f是真實信號向量 f1， f2，? fn， z是高斯隨 機向量 z1， z2，? zn ，其中用到了小波分解變換是線性變換的性質。 2）對小波系數 W0作門限閾值處理（根據具體 情況可以使用軟閾值處理或硬閾值 處理，而且可以選擇不同的閾值形式，這將在后面作詳細討論），比如選取最著 名的閾值形式： ntn log2?? (10) 門限閾值處理可以表示為 nt? ，可以證明當 n 趨于無窮大時使用閾值公式 (4)對 小波系數作軟閾值處理可以幾乎完全去除觀測數據中的噪聲。 3) 對處理過的小波系數作逆變換 w10? 重構信號： dwwf nt 010* ??? (11) 即可得到受污染采樣信號去噪后的信號。 DonohoJohnstone小波收縮去噪方法的關鍵步驟是如何選擇閾值和如何進行門限閾值處理，在這將作較為詳細的討論。 . 軟閾值和硬閾值 在對小波系數作門限閾值處理操作時，可以使用軟閾值處理方法或硬閾值處理方法，硬閾值處理只保留較大的小波系數并將較小的小波系數置零： { ,0),( tww twH tw ???? (12) 軟閾值處理將較小的小波系數置零但對較大的小波系數向零作了收縮： 15 ???????????twtwtwtwtwtwS,0,),(? (13) 直觀形式見圖 2（圖中取 t=1）從圖上我們可以看出軟閾值處理是一種更為平滑的形式，在去噪后能產生更為光滑的結果，而硬閾值處理能夠更多的保留真實信號中的尖峰等特征軟閾值處理實質上是對小波分解系數作了收縮，從而 DonohoJohnstone將這種去噪技術稱之為小波收縮。 圖 2 硬閥值和軟閥值 . 閾值的幾種形式 閾值的選取有多種形式，選取規(guī)則都是基于含噪信號模型式 ()中信號水平為 1 的情況，對于噪聲水平未知或非白噪聲的情況可以在去噪時重新調整得到的閾值。 在 MATLAB中有 4種閾值函數形式可以選用： (1) sqtwolog:采用固定的閾值形式，如式 (10)，因為這種閾值形式在軟門限閾值處理中能夠得到直觀意義上很好的去噪效果。 (2) minimaxi采用極大極小原理選擇的閾值，和 sqtwolog一樣也是一種固定的閾值，它產生一個最小均方誤差的極值，計算 公式為 : ???????nnt l o g21 8 2 9 3 32,0 (14) (3) rigrsure:采用史坦的無偏似然估計原理進行閾值選擇，首先得到一個給定閾值的風險估計，選擇風險最小的閾值 t? 作為最終選擇。 (4) heursure：選擇啟發(fā)式閾值它是 sqtwolog和 rigrsure 的綜合，當信噪比很小時 ,估計有很大的噪聲，這時 heursure, 采用固定閾值 sqtwolog。 16 . 閥值的選取 閾值化處理的關鍵問題是選擇 合適的閾值如果閾值 (門限 ) 太小 ,去噪后的信號仍然有噪聲存在 。相反 ,如果太大 ,重要信號特征將被濾掉 ,引起偏差。從直觀上 ,對于給定小波系數 ,噪聲越大 ,閾值就越大。大多數閾值選擇過程是針對一組小波系數 ,即根據本組小波系數的統(tǒng)計特性 ,計算出一個閾值。 Donoho 等提出了一種典型閾值選取方法 ,從理論上給出并證明閾值與噪聲的方差成正比 ,其大小為： ntn log2?? 小波去噪驗證仿真 實驗信號是由 wnoise()函數產生的含標準的高斯白噪聲信噪比為 3 的 heavy sine信號，用 wden()函數進行去噪處理。 1) 首先產生一個長度為 210點，包含高斯噪聲的 heavy sine信號及 heavy sine含噪信號 , 其噪聲標準差為 3 , 如圖 3 a及 b所示。 2) 利用‘ sym8’小波對信號分解，在分解的第 5層上，利用軟閾值法去噪，結果如圖3 c所示 3) 同樣的條件下 ,利用固定閾值選擇算法對信號去噪，結果如圖 3 d 所示。 驗證仿真程序如下： x=wnoise(3,10)。 ind=linspace(0,1,2^10)。 subplot(4,1,1)。 plot(x)。 title(39。(a)39。)； [x,noisyx]=wnoise(3,10,3,2^10)。 subplot(4,1,2)。 plot(noisyx)。 title(39。(b)39。)； xd=wden(x,39。rigrsure39。,39。s39。,39。sln39。,5,39。sym839。)。 subplot(4,1,3)。 plot(xd)。 title(39。(c)39。) 17 xd=wden(x,39。sqtwolog39。,39。h39。,39。sln39。,5,39。sym839。)。 subplot(4,1,4)。 plot(xd)。 title(39。(d)39。)； . 小波去噪與 FFT 去噪效果對比 選擇 中含有噪聲的仿真信號 noisbloc 作為原始信號，分別使用 FFT 和小波分析方法對信號進行去噪處理，采用的小波是 sym8，分解層數為 5，對比結果如圖 4所示。 驗證仿真程序如下： load noisbloc。 x=noisbloc。 subplot(2,2,1)。 plot(x)。title(39。a39。) xd=wden(x,39。rigrsure39。,39。s39。,39。sln39。,5,39。sym839。)。 subplot(2,2,2)。 plot(xd)。title(39。b39。) p1=1/length(x)*norm(x)^2。 p2=1/length(x)*norm(xxd)^2。 snr1=10*log(p1/p2) RMSE1=sqrtm(p2) xd=wden(x,39。sqtwolog39。,39。h39。,39。sln39。,5,39。sym839。)。 subplot(2,2,3)。 plot(xd)。title(39。c39。) p1=1/length(x)*norm(x)^2。 p2=1/length(x)*norm(xxd)^2。 snr2=10*log(p1/p2) R