【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 和最大最小值法比較保守，而其他兩種方法產(chǎn)生的閾值則過(guò)大。 第 3 步：選擇合適的閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理。 常用的閾值函數(shù)有以下兩種： 硬閾值法：????? iiii dddd 0{ （ 1） 軟閾值法：??? ???? iiiii ddddd 0 ))(s g n({ （ 2） 第 4 步：小波重構(gòu)。根據(jù)閾值化處理后的高頻小波系數(shù)以及未處理的低頻小波系數(shù)進(jìn)行離散小波反變換重構(gòu)信號(hào)。 11 小波閾值算法比較簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小，因此在信號(hào)去噪方面得到了廣泛的應(yīng)用。但是這種方法還存在以下兩種 不足：①白噪聲信號(hào)的模極大值隨著分解層數(shù)的增大而減小，對(duì)不同的分解層數(shù)采用相同的閾值進(jìn)行處理，會(huì)在低頻系數(shù)中濾除過(guò)多有用信息而在高頻系數(shù)保留了一些過(guò)多的噪聲；②在進(jìn)行閾值處理時(shí)，硬閾值處理能更多的保留真實(shí)信號(hào)的尖峰等特征，但由于其本身的 不連續(xù)性，去噪的的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)震蕩，軟閾值是一種更平滑的方式，在去噪后能產(chǎn)生更光滑的結(jié)果，但估計(jì)的小波系數(shù)與原小波系數(shù)之間存在恒定的偏差。本文采用的改進(jìn)方法如下： 一、各層采用不同的閾值 由文獻(xiàn) [4]可知： ?jKtxWTj 2)(2 ? （ 3） 其中 K為一個(gè)常數(shù)， j為分解層數(shù)， ? 為 Lip 指數(shù)， )(2 txWTj為第 j層的小波系數(shù)。 Lip 指數(shù)與信號(hào)的奇異性有關(guān)， ? 越大，信號(hào)越平滑。對(duì)于一般信號(hào) 0?? ，即有用信號(hào)對(duì)應(yīng)小波系數(shù)隨分解尺度 j的增大而變大。而白噪聲的 Lip指數(shù)則為負(fù)值， 0,21 ???? ??? ， 即噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)隨分解尺度 j 的增大而減小。 有文獻(xiàn) [8]可知，白噪聲的 Lip 指數(shù)滿足（ 4）式： 0,21 ???? ??? （ 4） 由（ 3）式和（ 4）式可知 })(m a x{22})(m a x{ 122 txWTtxWT nn jj ?? （ 5） 其中 )(2 txWT nj為噪聲對(duì)應(yīng)的第 j層小波系數(shù)，由式 可知噪聲對(duì)應(yīng)的第 j+1 層小波系數(shù)的最大值小于第 j層小波系數(shù)的最大值，因此，本論文 在閾值處理時(shí)每層系數(shù)采用不相同的閾值，用前面所述的四種閾值計(jì)算方法確定第一層閾值，以后各層閾值為前一層閾值的 22 倍，即122 ?? jj ??。 二、采用新的閾值函數(shù) 鑒于軟閾值和硬閾值的缺點(diǎn)，本論文采用一種新的閾值函數(shù)。該閾值函數(shù)既要保證其連續(xù)性，又要盡可能的消除軟閾值函數(shù)中的恒定偏差。閾值函數(shù)如下： ??????? iiiii ddtddd 0 ))(s g n({ （ 6） 其中 ,2)e xp( ?????? ??Ndt i ?? 12 式中 N為一個(gè)正常數(shù)， id 為處理前的小波系數(shù)， ?id 為處理后的小波系數(shù)。該閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)一樣具有連續(xù)性，而且當(dāng) ??id 時(shí) , 函數(shù)是高階可導(dǎo)的，并且隨著系數(shù) id 的增大， t 的值逐漸減小，使得處理前后的小波系數(shù)不變。當(dāng) N 取值很大時(shí) , 新閾值函數(shù)相似于軟閾值函數(shù) 。 當(dāng) N 趨近于 0 時(shí) , 新閾值函數(shù)相似于硬閾值函數(shù)。通過(guò)調(diào)節(jié) N 的大小可以改變新閾值函數(shù)的類型，與經(jīng)典的閾值函數(shù)相比更具有靈活性。 圖 1硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)及改進(jìn)法制函數(shù)的曲線 圖 1 為硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)及改進(jìn)法制函數(shù)的曲線圖，其中閾值,1 ?? N? 。從圖中可以看出，硬閾值函數(shù)在閾值點(diǎn)處不連續(xù)，軟閾值函數(shù)存在恒定的偏差。改進(jìn)閾值函數(shù)在閾值點(diǎn)處連續(xù)，并且以硬閾值曲線為漸近線。 本章首先介紹小波去噪的定義及其特點(diǎn)，然后了解小波變換進(jìn)行降噪的原理，對(duì)閾值去噪方法做重點(diǎn)研究。下一章 將用仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)明消噪效果。 本章總結(jié) 本章首先介紹了小波閾值去噪的基本原理以及～般方法，并且消噪時(shí)兩個(gè)重要的方面進(jìn)行重點(diǎn)研究，提出了一些改進(jìn)。 第一方面是對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。由于傳統(tǒng)的軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)各有各的優(yōu)缺點(diǎn)。因此針對(duì)它們的缺點(diǎn)，提出了兩種改進(jìn)的閾值函數(shù)，一種是介于軟閾值和硬閾值函數(shù)。另一個(gè)是基于非負(fù)死區(qū)閾值函數(shù)改進(jìn)的函數(shù)。本章就其單調(diào)性、連續(xù)性方面給出的證明。 13 第二個(gè)改進(jìn)的方面是閾值的估計(jì)。受到了譜減法思想的啟發(fā)，對(duì)噪聲的估計(jì)也是基于無(wú)音段的噪聲分析。由于信號(hào)的小波系數(shù)與噪聲的小 波系數(shù)的不同表現(xiàn)，所以把噪聲經(jīng)過(guò)小波分析后的模最大值作為閾值。這樣就可以較好地恢復(fù)出純凈語(yǔ)音，當(dāng)然這個(gè)過(guò)程中語(yǔ)音信號(hào)也會(huì)受到一定程度的損害。 第三章 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)原理及過(guò)程 小波去噪原理分析 . 小波去噪原理 疊加性高斯白噪聲是最常見(jiàn)的噪聲模型，受到疊加性高斯白噪聲“污染”的觀測(cè)信號(hào)可以表示為： i i iy f z??? 1,..., ,in? (7) 其中 yi為含噪 信號(hào)， if 為“純凈”采樣信號(hào)， zi為獨(dú)立同分布的高斯白噪聲~ (0,1)iidizN， ? 為噪聲水平，信號(hào)長(zhǎng)度為 n. 為了從含噪信號(hào) yi中還原出真實(shí)信號(hào) if ，可以利用信號(hào)和噪聲在小波變換下的不同的特性，通過(guò)對(duì)小波分解系數(shù)進(jìn)行處理來(lái)達(dá)到信號(hào)和噪聲分離的目的。在實(shí)際工程應(yīng)用中，有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)或是一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲信號(hào)則通常表 現(xiàn)為高頻信號(hào)，所以我們可以先對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行小波分解（如進(jìn)行三層分解）： 321312211CDCDCDCACDCDCACDCAS????????? (8) 圖 1 三層小波分解示意圖 14 其中 icA 為分解的近似部分， 為 icD 分解的細(xì)節(jié)部分， 321 ,i? ,則噪聲部分通常包含在 1cD ， 2cD ， 3cD 中，用門限閾值對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理，重構(gòu)信號(hào)即可達(dá)到去噪的目的。 小波去噪步驟 總結(jié)去噪過(guò)程，可以分成以下三個(gè)步驟： 1) 對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)作小波分解變化： zWfWyW 000 ??? ? (9) 其中 y表示觀測(cè)數(shù)據(jù)向量 y1， y2，? y， f是真實(shí)信號(hào)向量 f1， f2，? fn， z是高斯隨 機(jī)向量 z1， z2，? zn ，其中用到了小波分解變換是線性變換的性質(zhì)。 2）對(duì)小波系數(shù) W0作門限閾值處理（根據(jù)具體 情況可以使用軟閾值處理或硬閾值 處理，而且可以選擇不同的閾值形式，這將在后面作詳細(xì)討論），比如選取最著 名的閾值形式： ntn log2?? (10) 門限閾值處理可以表示為 nt? ，可以證明當(dāng) n 趨于無(wú)窮大時(shí)使用閾值公式 (4)對(duì) 小波系數(shù)作軟閾值處理可以幾乎完全去除觀測(cè)數(shù)據(jù)中的噪聲。 3) 對(duì)處理過(guò)的小波系數(shù)作逆變換 w10? 重構(gòu)信號(hào)： dwwf nt 010* ??? (11) 即可得到受污染采樣信號(hào)去噪后的信號(hào)。 DonohoJohnstone小波收縮去噪方法的關(guān)鍵步驟是如何選擇閾值和如何進(jìn)行門限閾值處理，在這將作較為詳細(xì)的討論。 . 軟閾值和硬閾值 在對(duì)小波系數(shù)作門限閾值處理操作時(shí)，可以使用軟閾值處理方法或硬閾值處理方法，硬閾值處理只保留較大的小波系數(shù)并將較小的小波系數(shù)置零： { ,0),( tww twH tw ???? (12) 軟閾值處理將較小的小波系數(shù)置零但對(duì)較大的小波系數(shù)向零作了收縮： 15 ???????????twtwtwtwtwtwS,0,),(? (13) 直觀形式見(jiàn)圖 2（圖中取 t=1）從圖上我們可以看出軟閾值處理是一種更為平滑的形式，在去噪后能產(chǎn)生更為光滑的結(jié)果，而硬閾值處理能夠更多的保留真實(shí)信號(hào)中的尖峰等特征軟閾值處理實(shí)質(zhì)上是對(duì)小波分解系數(shù)作了收縮，從而 DonohoJohnstone將這種去噪技術(shù)稱之為小波收縮。 圖 2 硬閥值和軟閥值 . 閾值的幾種形式 閾值的選取有多種形式，選取規(guī)則都是基于含噪信號(hào)模型式 ()中信號(hào)水平為 1 的情況，對(duì)于噪聲水平未知或非白噪聲的情況可以在去噪時(shí)重新調(diào)整得到的閾值。 在 MATLAB中有 4種閾值函數(shù)形式可以選用： (1) sqtwolog:采用固定的閾值形式，如式 (10)，因?yàn)檫@種閾值形式在軟門限閾值處理中能夠得到直觀意義上很好的去噪效果。 (2) minimaxi采用極大極小原理選擇的閾值，和 sqtwolog一樣也是一種固定的閾值，它產(chǎn)生一個(gè)最小均方誤差的極值，計(jì)算 公式為 : ???????nnt l o g21 8 2 9 3 32,0 (14) (3) rigrsure:采用史坦的無(wú)偏似然估計(jì)原理進(jìn)行閾值選擇，首先得到一個(gè)給定閾值的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的閾值 t? 作為最終選擇。 (4) heursure：選擇啟發(fā)式閾值它是 sqtwolog和 rigrsure 的綜合，當(dāng)信噪比很小時(shí) ,估計(jì)有很大的噪聲，這時(shí) heursure, 采用固定閾值 sqtwolog。 16 . 閥值的選取 閾值化處理的關(guān)鍵問(wèn)題是選擇 合適的閾值如果閾值 (門限 ) 太小 ,去噪后的信號(hào)仍然有噪聲存在 。相反 ,如果太大 ,重要信號(hào)特征將被濾掉 ,引起偏差。從直觀上 ,對(duì)于給定小波系數(shù) ,噪聲越大 ,閾值就越大。大多數(shù)閾值選擇過(guò)程是針對(duì)一組小波系數(shù) ,即根據(jù)本組小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性 ,計(jì)算出一個(gè)閾值。 Donoho 等提出了一種典型閾值選取方法 ,從理論上給出并證明閾值與噪聲的方差成正比 ,其大小為： ntn log2?? 小波去噪驗(yàn)證仿真 實(shí)驗(yàn)信號(hào)是由 wnoise()函數(shù)產(chǎn)生的含標(biāo)準(zhǔn)的高斯白噪聲信噪比為 3 的 heavy sine信號(hào)，用 wden()函數(shù)進(jìn)行去噪處理。 1) 首先產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)度為 210點(diǎn)，包含高斯噪聲的 heavy sine信號(hào)及 heavy sine含噪信號(hào) , 其噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為 3 , 如圖 3 a及 b所示。 2) 利用‘ sym8’小波對(duì)信號(hào)分解，在分解的第 5層上，利用軟閾值法去噪，結(jié)果如圖3 c所示 3) 同樣的條件下 ,利用固定閾值選擇算法對(duì)信號(hào)去噪，結(jié)果如圖 3 d 所示。 驗(yàn)證仿真程序如下： x=wnoise(3,10)。 ind=linspace(0,1,2^10)。 subplot(4,1,1)。 plot(x)。 title(39。(a)39。)； [x,noisyx]=wnoise(3,10,3,2^10)。 subplot(4,1,2)。 plot(noisyx)。 title(39。(b)39。)； xd=wden(x,39。rigrsure39。,39。s39。,39。sln39。,5,39。sym839。)。 subplot(4,1,3)。 plot(xd)。 title(39。(c)39。) 17 xd=wden(x,39。sqtwolog39。,39。h39。,39。sln39。,5,39。sym839。)。 subplot(4,1,4)。 plot(xd)。 title(39。(d)39。)； . 小波去噪與 FFT 去噪效果對(duì)比 選擇 中含有噪聲的仿真信號(hào) noisbloc 作為原始信號(hào)，分別使用 FFT 和小波分析方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪處理，采用的小波是 sym8，分解層數(shù)為 5，對(duì)比結(jié)果如圖 4所示。 驗(yàn)證仿真程序如下： load noisbloc。 x=noisbloc。 subplot(2,2,1)。 plot(x)。title(39。a39。) xd=wden(x,39。rigrsure39。,39。s39。,39。sln39。,5,39。sym839。)。 subplot(2,2,2)。 plot(xd)。title(39。b39。) p1=1/length(x)*norm(x)^2。 p2=1/length(x)*norm(xxd)^2。 snr1=10*log(p1/p2) RMSE1=sqrtm(p2) xd=wden(x,39。sqtwolog39。,39。h39。,39。sln39。,5,39。sym839。)。 subplot(2,2,3)。 plot(xd)。title(39。c39。) p1=1/length(x)*norm(x)^2。 p2=1/length(x)*norm(xxd)^2。 snr2=10*log(p1/p2) R