【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 錄全，1995） 。 傅里葉變換1212, , ,22(,)()()(,())。0()1(),()()()()()ixab ababitGfbfxgbedgxtCWTfafatbtRtCWTabfttdfLRtCde?????????????????????????????????????????????010,000000()0()。())()111,222()(),abt tt t tdcttDaDDaaaDFCWTb??????????????? ?????????????????????????????小波變換最初是為了克服 Fourier 變換的不足而提出來(lái)的。傅里葉分析是信號(hào)處理中的經(jīng)典技術(shù)，是處理平穩(wěn)信號(hào)最常用也是最主要的方法。從適用的觀點(diǎn)看，人們通常所說(shuō)的傅里葉分析是指傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)。 函數(shù) [表示平方可積的空間，即能量有限的信號(hào)空間 ]的連續(xù)傅里葉2()fxLR?變換定義為 (31)()()ixffed???????? 其逆變換定義為 (32)1()()2ixfxf???????傅里葉變換是時(shí)域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把 f(x)這個(gè)信號(hào)波形分解成許多不同頻率的正弦波的迭加和，這樣就是把對(duì) f(x)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)其權(quán)系數(shù)，即其傅里葉變換 的研究。從式(31)可以看出傅里葉變換中()f?第 3 章 小波變換基本理論9的標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦波及其高次諧波組成的，應(yīng)此它在頻域內(nèi)具有局部化性質(zhì)。圖 31 顯示了一個(gè)由多個(gè)頻率正弦波疊加構(gòu)成的信號(hào)經(jīng)過(guò)傅里葉變換后在頻域的特性。從圖中可以看出，雖然傅里葉變換能分別從時(shí)域和頻域?qū)π盘?hào)的特征進(jìn)行刻畫，但卻不能將兩者有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息。同樣，其傅里葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特征，是整個(gè)時(shí)域內(nèi)的積分，完全不具備時(shí)域信息。也就是說(shuō)，對(duì)于傅里葉譜中的某一頻率，不知道該頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的，而實(shí)際信號(hào)往往是時(shí)變信號(hào)，非平穩(wěn)過(guò)程，了解它們的時(shí)間與頻率的局部特征常常是很重要的。而且，因?yàn)橐粋€(gè)信號(hào)的頻率與其周期長(zhǎng)度成正比，那么對(duì)于高頻信息，時(shí)間間隔要相對(duì)小以給出比較好的精度，而對(duì)于低頻信息，時(shí)間間隔要相對(duì)寬以保持信息的完整，這就是小波變換的根本出發(fā)點(diǎn)。傅里葉變換不具備空間域(或時(shí)間域)的局部性，其根本原因在于它的基函數(shù)族不具備緊支集，即 不在某個(gè)有限的區(qū)間外恒等于零，因此要想從 來(lái)研究{}ixe?ixe? ()f??信號(hào) 的局部特征是困難的，因?yàn)樾盘?hào) 的局部特征完全在其譜系數(shù) 中鋪()f ()fx展開(kāi)了。當(dāng)然傅里葉變換并未損失關(guān)于 的信息，只不過(guò)是把它分散在系數(shù) 中()f?去了。圖 31 正弦波疊加信號(hào)的傅立葉變換(陳玉東,2022)為了克服傅里葉分析不能做局部分析的弱點(diǎn)， Dennis Gaber 于 1946 引入了窗口傅里葉變換，他的做法是用一個(gè)有限窗寬的光滑函數(shù)去乘所要研究的對(duì)象，然后對(duì)它做傅里葉變換 （3(,)()ixGfbfxgbed????????3）從這里可以看到，這種變換確實(shí)能做局部性研究。然而雖然窗口能隨位置參數(shù)變化而移動(dòng)，但其窗口函數(shù) 不變，其窗口的大小，形狀與研究對(duì)象 的局部b()gx ()fx特征無(wú)關(guān)，即當(dāng)窗口函數(shù) 確定后， 、 只能改變窗口的形狀，這樣窗口傅里葉b?變換實(shí)質(zhì)上是具有單一分辨率的分析。而要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù) ，()g第 3 章 小波變換基本理論10若選擇的 窄(即時(shí)間分辨率高)，則頻率分辨率低。 而如果為了提高頻率分辨率使gx變寬，偽平穩(wěn)假設(shè)的近似程度便會(huì)變差。因此，聯(lián)合的時(shí)頻分辨率是有限制的，()存在著基本的折中，即為取得好的時(shí)間分辨率(使用短的時(shí)間窗)而犧牲頻率分辨率，反之亦然。窗口傅里葉變換的時(shí)頻特性可以從圖 22 看出，它把時(shí)域和頻域分解為大小相等的小窗口，對(duì)信號(hào)的任何部分都采用相同的時(shí)間和頻率分辨率。圖 32 數(shù)字信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換(陳玉東,2022)可以證明，不論采用任何函數(shù)作為窗函數(shù)，其時(shí)間窗和頻率窗寬度的乘積最小都是 2，這就是著名的測(cè)不準(zhǔn)原理，這個(gè)定理告訴我們，不可能在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間同時(shí)以任意精度逼近被測(cè)信號(hào)。因此窗口傅里葉變換用來(lái)分析平穩(wěn)信號(hào)猶可，但對(duì)于地震信號(hào)這類非平穩(wěn)信號(hào)而言，在信號(hào)變化劇烈時(shí)刻，必然對(duì)應(yīng)于含有迅速變化的高頻分量，要求較高的時(shí)間分辨率，而在變化比較平緩的時(shí)刻，主頻是低頻，則要求較高的頻率分辨率。窗口傅里葉變換不能兼顧兩者，暴露出它的不足。而小波變換是一種窗口大小可變而且形狀可變，即時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。小波變換可以根據(jù)需要選取時(shí)間或者頻率的精度，一般說(shuō)來(lái)，在低頻部分，信號(hào)比較平緩，我們不必太關(guān)心信號(hào)隨時(shí)間的變化，而也就是在這個(gè)部分，所含的頻率成分很多，所以我們可以降低時(shí)間分辨率來(lái)提高頻率分辨率。而在高頻部分，高頻成分本身就包含了很多瞬態(tài)變化的特征，而在高頻部分，相對(duì)的頻率的改變量對(duì)信號(hào)的影響不大，我們就可以在較高的時(shí)間分辨率下關(guān)注信號(hào)的瞬態(tài)特征，而降低頻率分辨率。即在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，在低頻部分具有較低的時(shí)間分辨率和較高的頻率分辨率，因此小波分析被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡，正是這種特性，使它具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性，因而越來(lái)越廣泛的被應(yīng)用于工程實(shí)際。 小波變換原理 連續(xù)小波變換的定義第 3 章 小波變換基本理論11連續(xù)小波變換 CWT（Continuous Wavelet Transform）也稱積分小波變換 IWT（Integral Wavelet Transform） ，定義為 （312()(,())tbCWTfabfda?????????4）其中系列函數(shù) （312,()()abtta?,。0bR??5）稱為小波函數(shù)（Wavelet Function）或簡(jiǎn)稱小波（Wavelet） ，它是由函數(shù) 經(jīng)過(guò)不同()t?的時(shí)間尺度伸縮（Time Scale Dilation）和不同的時(shí)間平移（TimeTranslation）得到的。因此， 是小波原型（Wavelet Prototype） ，并稱為母小波（MotherWavelet ）或基本()t?小波（Basic Wavelet） 。是時(shí)間軸尺度伸縮參數(shù)， 是時(shí)間平移參數(shù)，系數(shù) 是歸一化因子，它的引ab12a?入是為了讓不同尺度的小波能保持相等的能量。顯然，若 ，則 在時(shí)間軸上?()t?被拉寬且振幅被壓低， 含有表現(xiàn)低頻量的特征；若 ，則 在時(shí)間軸上,()abt??被壓窄且振幅被拉高， 含有表現(xiàn)高頻量的特征。而不同的 值表明小波沿時(shí)間軸, b移動(dòng)到不同的位置上。如果把小波 看成是寬度隨 改變、位置隨 變動(dòng)的時(shí)域窗，那么，連續(xù)小波,()abta變換可以被看成是連續(xù)變化的一組短時(shí)傅氏變換的集合，這些短時(shí)傅氏變換對(duì)不同的信號(hào)頻率使用了寬度不同的窗函數(shù)，具體來(lái)說(shuō)，即高頻用窄時(shí)域窗，低頻用寬時(shí)域窗。類似于 321 式，可將 322 寫成 （3, ,()(,()ababCWTfabfttdf???????????6）即信號(hào) 關(guān)于 的連續(xù)小波變換等于 與小波 的內(nèi)積。此式可以理解為：()ft()t ()ft()t （1） 連續(xù)小波變換定量地表示了信號(hào)與小波函數(shù)系中的每個(gè)小波相關(guān)或接近的程度（與連續(xù)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)的定義比較可知） 。（2） 如果把小波看成是 空間的基函數(shù)系，那么，連續(xù)小波變換就是信號(hào)在2()LR基函數(shù)系上的分解或投影。此外，從公式中，我們可以看到，對(duì)于不同的母小波，同一信號(hào)的連續(xù)小皮變換是不同的，因此，小波變換定義式 34 中用下標(biāo) 強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)。?第 3 章 小波變換基本理論12 小波變換的條件 一個(gè)函數(shù) 能夠作為母小波，必須滿足允許條件2()tLR?? （32()Cd?????????5）式中 是 的傅氏變換。如果 是一個(gè)合格的窗函數(shù)，則 是連續(xù)函數(shù)。()???t ()t ()???因此，允許條件意味著 （30(0)()()0itedtd??????????????6） 這表明 具有波動(dòng)性，是一個(gè)振幅衰減的很快的“波”。這就是稱為“ 小波”的原因。()t 由于在 的條件下， 和衰減型表現(xiàn)為()0td??????C??? （31()。(0))ctt????7）因此，作為母小波的條件有如下兩種等價(jià)的形式：（1） 滿足 的函數(shù) 可作為母小波；C???2()tLR?（2） 滿足波動(dòng)性 和衰減性 的函數(shù)可以作為母0d???? 1()。(0))ctt?????小波。 時(shí)頻的分析窗口如果母小波 的傅氏變換 是中心頻率為 、寬度為 的帶通函數(shù)，那么()t?()??0?D?是中心為 、寬度為 的帶通函數(shù)。,()ab??0aDa設(shè) ， 為正實(shí)變量，那么可以把 看成頻率變量。 的帶寬與中心0?0 ,()ab??頻率之比為相對(duì)帶寬，即 。相對(duì)帶寬與尺度參數(shù) 或中心頻??0()???率的位置 無(wú)關(guān)，這就是“恒 Q 性質(zhì)” 。把 看成頻率變量后， “時(shí)間－尺度”平面0a0a等效于“時(shí)間－頻率 ”平面。因此，連續(xù)小波變換的時(shí)間－頻率定位能力和分辨率也可以用時(shí)間－尺度平面上的矩形分析窗口（時(shí)頻窗）來(lái)描述，該窗口的范圍是： （30000111,222t tbatDbaDaa????????????????????第 3 章 小波變換基本理論138）窗口寬為 ，高為 ，面積為 ,與 無(wú)關(guān)，僅取決于taDa?()t tDa????a的選擇。因此，一旦選定了母小波，分析窗口的面積也就確定了。()t?小波變換的時(shí)頻局部化機(jī)理：對(duì)于參數(shù) 固定、參數(shù) 變化的情形，小波變換b是關(guān)于變量 的時(shí)域函數(shù)；由于 是頻窗函數(shù)的緣故，小波變換(),CWTabb,()ab??實(shí)際是被限制在?頻窗＝ 001,2Da??????????的子頻帶范圍內(nèi)的時(shí)域函數(shù)。對(duì)于參數(shù) 和參數(shù) 都固定的情形，由于 是時(shí)窗函數(shù)和 頻窗函數(shù)的ab,()abt?,()ab??緣故, 的時(shí)域和頻域表現(xiàn)表現(xiàn)實(shí)際上被限制在(),CWT?分析窗口的面積＝ 0000111,222t tatDD????????????????????范圍內(nèi)。由于 與 對(duì)應(yīng)的一種積分變換，所以小波變換 實(shí)(),b?()ft ()(,CWTfab?際上是在積分變換機(jī)制下將 和 限制在時(shí)頻窗內(nèi)的一種局部化表現(xiàn)。換句話說(shuō)，F(xiàn)?在時(shí)窗內(nèi)的表現(xiàn)對(duì)應(yīng)著 在時(shí)空內(nèi)的表現(xiàn)， 在頻窗內(nèi)()(,CWTfab? ()ft (),??????的表現(xiàn)對(duì)應(yīng)著 在頻窗內(nèi)的表現(xiàn)。)F?小波變換的時(shí)頻窗的自適應(yīng)性：從小波窗函數(shù) 的參數(shù)選擇方面觀察。 僅僅,()abt?b影響分析窗口在相平面時(shí)間軸上的位置，而 不僅影響分析窗口在頻率軸上的位置，也影響分析窗口的形狀。當(dāng) 較小時(shí)，頻窗中心 調(diào)整到較高的頻率中心的位置，a0?且時(shí)頻窗正好符合高頻信號(hào)的局部時(shí)頻特性，尺度參數(shù) 小，小波 的有效寬度