【文章內(nèi)容簡介】 錄全，1995） 。 傅里葉變換1212, , ,22(,)()()(,())。0()1(),()()()()()ixab ababitGfbfxgbedgxtCWTfafatbtRtCWTabfttdfLRtCde?????????????????????????????????????????????010,000000()0()。())()111,222()(),abt tt t tdcttDaDDaaaDFCWTb??????????????? ?????????????????????????????小波變換最初是為了克服 Fourier 變換的不足而提出來的。傅里葉分析是信號處理中的經(jīng)典技術，是處理平穩(wěn)信號最常用也是最主要的方法。從適用的觀點看，人們通常所說的傅里葉分析是指傅里葉變換和傅里葉級數(shù)。 函數(shù) [表示平方可積的空間，即能量有限的信號空間 ]的連續(xù)傅里葉2()fxLR?變換定義為 (31)()()ixffed???????? 其逆變換定義為 (32)1()()2ixfxf???????傅里葉變換是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實質(zhì)是把 f(x)這個信號波形分解成許多不同頻率的正弦波的迭加和，這樣就是把對 f(x)的研究轉化為對其權系數(shù)，即其傅里葉變換 的研究。從式(31)可以看出傅里葉變換中()f?第 3 章 小波變換基本理論9的標準基是由正弦波及其高次諧波組成的，應此它在頻域內(nèi)具有局部化性質(zhì)。圖 31 顯示了一個由多個頻率正弦波疊加構成的信號經(jīng)過傅里葉變換后在頻域的特性。從圖中可以看出，雖然傅里葉變換能分別從時域和頻域對信號的特征進行刻畫，但卻不能將兩者有機的結合起來。這是因為信號的時域波形中不包含任何頻域信息。同樣，其傅里葉譜是信號的統(tǒng)計特征，是整個時域內(nèi)的積分，完全不具備時域信息。也就是說，對于傅里葉譜中的某一頻率，不知道該頻率是在什么時候產(chǎn)生的，而實際信號往往是時變信號，非平穩(wěn)過程，了解它們的時間與頻率的局部特征常常是很重要的。而且，因為一個信號的頻率與其周期長度成正比，那么對于高頻信息，時間間隔要相對小以給出比較好的精度，而對于低頻信息，時間間隔要相對寬以保持信息的完整，這就是小波變換的根本出發(fā)點。傅里葉變換不具備空間域(或時間域)的局部性，其根本原因在于它的基函數(shù)族不具備緊支集，即 不在某個有限的區(qū)間外恒等于零，因此要想從 來研究{}ixe?ixe? ()f??信號 的局部特征是困難的，因為信號 的局部特征完全在其譜系數(shù) 中鋪()f ()fx展開了。當然傅里葉變換并未損失關于 的信息，只不過是把它分散在系數(shù) 中()f?去了。圖 31 正弦波疊加信號的傅立葉變換(陳玉東,2022)為了克服傅里葉分析不能做局部分析的弱點， Dennis Gaber 于 1946 引入了窗口傅里葉變換，他的做法是用一個有限窗寬的光滑函數(shù)去乘所要研究的對象，然后對它做傅里葉變換 （3(,)()ixGfbfxgbed????????3）從這里可以看到，這種變換確實能做局部性研究。然而雖然窗口能隨位置參數(shù)變化而移動，但其窗口函數(shù) 不變，其窗口的大小，形狀與研究對象 的局部b()gx ()fx特征無關，即當窗口函數(shù) 確定后， 、 只能改變窗口的形狀，這樣窗口傅里葉b?變換實質(zhì)上是具有單一分辨率的分析。而要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù) ，()g第 3 章 小波變換基本理論10若選擇的 窄(即時間分辨率高)，則頻率分辨率低。 而如果為了提高頻率分辨率使gx變寬，偽平穩(wěn)假設的近似程度便會變差。因此，聯(lián)合的時頻分辨率是有限制的，()存在著基本的折中，即為取得好的時間分辨率(使用短的時間窗)而犧牲頻率分辨率，反之亦然。窗口傅里葉變換的時頻特性可以從圖 22 看出，它把時域和頻域分解為大小相等的小窗口，對信號的任何部分都采用相同的時間和頻率分辨率。圖 32 數(shù)字信號的短時傅里葉變換(陳玉東,2022)可以證明，不論采用任何函數(shù)作為窗函數(shù)，其時間窗和頻率窗寬度的乘積最小都是 2，這就是著名的測不準原理，這個定理告訴我們，不可能在時間和頻率兩個空間同時以任意精度逼近被測信號。因此窗口傅里葉變換用來分析平穩(wěn)信號猶可，但對于地震信號這類非平穩(wěn)信號而言，在信號變化劇烈時刻，必然對應于含有迅速變化的高頻分量，要求較高的時間分辨率，而在變化比較平緩的時刻，主頻是低頻，則要求較高的頻率分辨率。窗口傅里葉變換不能兼顧兩者，暴露出它的不足。而小波變換是一種窗口大小可變而且形狀可變，即時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析方法。小波變換可以根據(jù)需要選取時間或者頻率的精度，一般說來，在低頻部分，信號比較平緩，我們不必太關心信號隨時間的變化，而也就是在這個部分，所含的頻率成分很多，所以我們可以降低時間分辨率來提高頻率分辨率。而在高頻部分，高頻成分本身就包含了很多瞬態(tài)變化的特征，而在高頻部分，相對的頻率的改變量對信號的影響不大，我們就可以在較高的時間分辨率下關注信號的瞬態(tài)特征，而降低頻率分辨率。即在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，在低頻部分具有較低的時間分辨率和較高的頻率分辨率，因此小波分析被譽為數(shù)學顯微鏡，正是這種特性，使它具有對信號的自適應性，因而越來越廣泛的被應用于工程實際。 小波變換原理 連續(xù)小波變換的定義第 3 章 小波變換基本理論11連續(xù)小波變換 CWT（Continuous Wavelet Transform）也稱積分小波變換 IWT（Integral Wavelet Transform） ，定義為 （312()(,())tbCWTfabfda?????????4）其中系列函數(shù) （312,()()abtta?,。0bR??5）稱為小波函數(shù)（Wavelet Function）或簡稱小波（Wavelet） ，它是由函數(shù) 經(jīng)過不同()t?的時間尺度伸縮（Time Scale Dilation）和不同的時間平移（TimeTranslation）得到的。因此， 是小波原型（Wavelet Prototype） ，并稱為母小波（MotherWavelet ）或基本()t?小波（Basic Wavelet） 。是時間軸尺度伸縮參數(shù)， 是時間平移參數(shù)，系數(shù) 是歸一化因子，它的引ab12a?入是為了讓不同尺度的小波能保持相等的能量。顯然，若 ，則 在時間軸上?()t?被拉寬且振幅被壓低， 含有表現(xiàn)低頻量的特征；若 ，則 在時間軸上,()abt??被壓窄且振幅被拉高， 含有表現(xiàn)高頻量的特征。而不同的 值表明小波沿時間軸, b移動到不同的位置上。如果把小波 看成是寬度隨 改變、位置隨 變動的時域窗，那么，連續(xù)小波,()abta變換可以被看成是連續(xù)變化的一組短時傅氏變換的集合，這些短時傅氏變換對不同的信號頻率使用了寬度不同的窗函數(shù)，具體來說，即高頻用窄時域窗，低頻用寬時域窗。類似于 321 式，可將 322 寫成 （3, ,()(,()ababCWTfabfttdf???????????6）即信號 關于 的連續(xù)小波變換等于 與小波 的內(nèi)積。此式可以理解為：()ft()t ()ft()t （1） 連續(xù)小波變換定量地表示了信號與小波函數(shù)系中的每個小波相關或接近的程度（與連續(xù)信號的相關函數(shù)的定義比較可知） 。（2） 如果把小波看成是 空間的基函數(shù)系，那么，連續(xù)小波變換就是信號在2()LR基函數(shù)系上的分解或投影。此外，從公式中，我們可以看到，對于不同的母小波，同一信號的連續(xù)小皮變換是不同的，因此，小波變換定義式 34 中用下標 強調(diào)了這一點。?第 3 章 小波變換基本理論12 小波變換的條件 一個函數(shù) 能夠作為母小波，必須滿足允許條件2()tLR?? （32()Cd?????????5）式中 是 的傅氏變換。如果 是一個合格的窗函數(shù)，則 是連續(xù)函數(shù)。()???t ()t ()???因此，允許條件意味著 （30(0)()()0itedtd??????????????6） 這表明 具有波動性，是一個振幅衰減的很快的“波”。這就是稱為“ 小波”的原因。()t 由于在 的條件下， 和衰減型表現(xiàn)為()0td??????C??? （31()。(0))ctt????7）因此，作為母小波的條件有如下兩種等價的形式：（1） 滿足 的函數(shù) 可作為母小波；C???2()tLR?（2） 滿足波動性 和衰減性 的函數(shù)可以作為母0d???? 1()。(0))ctt?????小波。 時頻的分析窗口如果母小波 的傅氏變換 是中心頻率為 、寬度為 的帶通函數(shù)，那么()t?()??0?D?是中心為 、寬度為 的帶通函數(shù)。,()ab??0aDa設 ， 為正實變量，那么可以把 看成頻率變量。 的帶寬與中心0?0 ,()ab??頻率之比為相對帶寬，即 。相對帶寬與尺度參數(shù) 或中心頻??0()???率的位置 無關，這就是“恒 Q 性質(zhì)” 。把 看成頻率變量后， “時間－尺度”平面0a0a等效于“時間－頻率 ”平面。因此，連續(xù)小波變換的時間－頻率定位能力和分辨率也可以用時間－尺度平面上的矩形分析窗口（時頻窗）來描述，該窗口的范圍是： （30000111,222t tbatDbaDaa????????????????????第 3 章 小波變換基本理論138）窗口寬為 ，高為 ，面積為 ,與 無關，僅取決于taDa?()t tDa????a的選擇。因此，一旦選定了母小波，分析窗口的面積也就確定了。()t?小波變換的時頻局部化機理：對于參數(shù) 固定、參數(shù) 變化的情形，小波變換b是關于變量 的時域函數(shù)；由于 是頻窗函數(shù)的緣故，小波變換(),CWTabb,()ab??實際是被限制在?頻窗＝ 001,2Da??????????的子頻帶范圍內(nèi)的時域函數(shù)。對于參數(shù) 和參數(shù) 都固定的情形，由于 是時窗函數(shù)和 頻窗函數(shù)的ab,()abt?,()ab??緣故, 的時域和頻域表現(xiàn)表現(xiàn)實際上被限制在(),CWT?分析窗口的面積＝ 0000111,222t tatDD????????????????????范圍內(nèi)。由于 與 對應的一種積分變換，所以小波變換 實(),b?()ft ()(,CWTfab?際上是在積分變換機制下將 和 限制在時頻窗內(nèi)的一種局部化表現(xiàn)。換句話說，F(xiàn)?在時窗內(nèi)的表現(xiàn)對應著 在時空內(nèi)的表現(xiàn)， 在頻窗內(nèi)()(,CWTfab? ()ft (),??????的表現(xiàn)對應著 在頻窗內(nèi)的表現(xiàn)。)F?小波變換的時頻窗的自適應性：從小波窗函數(shù) 的參數(shù)選擇方面觀察。 僅僅,()abt?b影響分析窗口在相平面時間軸上的位置，而 不僅影響分析窗口在頻率軸上的位置，也影響分析窗口的形狀。當 較小時，頻窗中心 調(diào)整到較高的頻率中心的位置，a0?且時頻窗正好符合高頻信號的局部時頻特性，尺度參數(shù) 小，小波 的有效寬度