【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 變換，它應(yīng)滿足一定的條件。 ? 設(shè) 是 平面上的任一點(diǎn)， 上的二維函數(shù) 欲是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程，即 ? （ ） ? 式中 是 在 處的值， ? （ ） ? 稱為重建核。 ? 證明：由式（ 8. 2）小波變換的定義，有 ),( baWT)(tx),( 00 ba ),( ba),( ba ),( baWT xd a d bbabaKbaWTabaWT xx ),。,(),(),( 000 200 ??? ? ??? ??),( 00 baWT x ),( baWTxdtttCbabaK baba )()(1),。,( 00 ,00 ??? ??????? )(),(1 00 , ttC baba ??? ? 將式（ ）代入該式，有 ? 式（ ）的重建核方程和式（ ）的重建核公式說明，若 是 的小波變換，那么在 平面上某一點(diǎn) ? 處小波變換的值 可由半平面上 的值 來表示，也即， 是半平面上 的總貢獻(xiàn)。 dtttxbaWT bax )()(),( ,? ?? ?dttdadbtbaWTac 1baWT 00 babax0 200x )(])(),([),( , ????? ? ???? ???d a d bdtttcbaWTa babax ])()(1)[,( 00 ,0 2 ????? ? ? ??? ???d a d bttcbaWTa babax ])(),(1)[,( 00 ,0 2 ??? ?? ??? ? ?? ???),( baWT x )(tx ),( ba),( 00 ba ),( 00 baWT x ),( RbRa ?? ?),( baWT x ),( 00 baWT x ),( ?aWT x? 既然 平面上各點(diǎn)的 可由式（ ）互相表示，因此這些點(diǎn)上的值是相關(guān)的，也即式（ ）對(duì) 的重建是存在信息冗余的。這一結(jié)論告訴我們可以用 平面上離散柵格上的 來重建 ，以消除重建過程中的信息冗余。 ? 我們知道，當(dāng)用 的短時(shí)傅里葉變換 來重建 ? 時(shí)， 平面上的信息也是有冗余的，即 平面上各點(diǎn)的 是相關(guān)的，因此引出了離散柵格上的STFT，進(jìn)一步的發(fā)展即是信號(hào)的 Gabor展開與 Gabor變換。由此可以得出，將一個(gè)一維的函數(shù)映射為一個(gè)二維函數(shù)后，在二維平面上往往會(huì)存在信息的冗余，由此引出了二維函數(shù)的離散化問題及標(biāo)架理論。有關(guān)離散小波變換及小波標(biāo)架的內(nèi)容將在后面予以討論。 ? 重建核 是小波 和 處的小波 的內(nèi)積，因此 反映了 和 的相關(guān)性。 ),( ba ),( ?aWTx)(tx),( ba),( baWT x )(tx)(tx ),( ?tS T F T x)(tx ),( ?t ),( ?t),( ?tS T F T x),。,( 00 babak ? )(, tba? ),( 00 ba )(00 , tba??k )(, tba? )(00 , tba?? 若 ，即兩個(gè)小波重合時(shí)， 取最大值；若 遠(yuǎn)離 ，則 將迅速減小。若能保證 ? ，則 平面上各點(diǎn)小波變換的值將互不相關(guān)。 這等效地要求對(duì)任意的尺度 及位移 ，由母小波 形成的一族 ? 是兩兩正交的。可以想象，若 連續(xù)取值，要想找到這樣的母小波 使 兩兩正交，那將是非常困難地。因此，連續(xù)小波變換 必然存在信息冗余。然而，當(dāng) 離散取值時(shí)，則有可能得到一族正交小波基 。 ? 常用的小波函數(shù) ? 由前面敘述可知，作為一個(gè)小波的函數(shù) ，它一定要滿足容許條件，在時(shí)域一定要是有限支撐的，同時(shí)，也希望在頻域也是有限支撐的，當(dāng)然，若時(shí)域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時(shí)域和頻域的有限支撐方面我們往往只能取一個(gè)折中。 此外，希望由母小波 形成的 是兩兩正 00 , bbaa ?? ?k?k),( ba),( 00 ba ),(00 bbaak ??? ??),( baa b )(t? )(, tba?ba,)(t? )(, tba?),( baWT x ba,)(, tba?)(t?)(x? )(, tba?? 交的或是雙正交的 ,進(jìn)一步，希望 有高階的消失矩，希望與 相關(guān)的濾波器具有線性相位等 ,可以根據(jù)上述要求對(duì)現(xiàn)已提出的大量的小波函數(shù)作一粗略地分類。在下面的分類中，第一類是所謂地“經(jīng)典類小波”，在 MATLAB中把它們稱作“原始（ Crude）小波”。這是一批在小波發(fā)展歷史上比較有名的小波；第二類是 Daubecheis構(gòu)造的正交小波，第三類是由 Cohen， Daubechies構(gòu)造的雙正交小波。 ? ? Haar小波 ? Haar小波來自于數(shù)學(xué)家 Haar于 1910年提出的 Haar正交函數(shù)集，其定義是： ? （ ） ? 其波形如圖 （ a）所示。 )(x?)(x????????011)( t? ?????????其它12/12/10tt? 的傅里葉變換是： ? （ ） ? Haar小波有很多優(yōu)點(diǎn)，如： ? Haar小波在時(shí)域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（ 0， 1）； ? 若取 ，那么 Haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即 ，而且在 取不同值時(shí)也是兩兩正交的，即 ，如圖 (b)和 (c)所示。所以 Haar小波屬正交小波； ? Haar波是對(duì)稱的。我們知道，系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)若具有對(duì)稱性，則該系統(tǒng)具有線性相位，這對(duì)于去除相位失真是非常有利的。 Haar小波是目前唯一一個(gè)既具有對(duì)稱性又是有限支撐的正交小波； ? Haar小波僅?。?1和－ 1，因此計(jì)算簡(jiǎn)單。但 Haar小波是不連續(xù)小波，由于 ，因此 在 處只有一階零 )(t?2/2 )(s i n4)( ??????? jeajZbZj2a j ??? ? ,0)(),( ???? ktt ?? j0)2(),( ??? ? tt j??? ? 0)( dttt? )(?? 0??? 點(diǎn)，這就使得 Haar小波在實(shí)際的信號(hào)分析與處理中受到了限制。但由于 Haar小波有上述的多個(gè)優(yōu)點(diǎn)，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。 ? 圖 Harr小波 2/121000)(t?)1( ?t?)2/(t?ttt21111?? Morlet小波 ? Morlet小波定義為 ? () ? 其傅里葉變換 ? （ ） ? 它是一個(gè)具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號(hào)一般是實(shí)信號(hào)，所以在 MATLAB中將式（ ）改造為： ? （ ） ? 并取 。該小波不是緊支撐的，理論上講 可取 ? 。但是當(dāng) ，或再取更大的值時(shí)， 和 在時(shí)域和頻域都具有很好的集中，如圖 。 ? Morlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換。但該小波是對(duì)稱的，是應(yīng)用較為廣泛的一種小波。 tjt eet ??? 2/2)(?2/)( 202)( ??????? e?tet t 02/ co s)( 2 ?? ??50 ?? t???? ~ 50 ?? )(t? )(?? ? (a)時(shí)域波形 (b)頻譜 ? 圖 Morlet小波 ? Mexican hat小波 ? 該小波的中文名字為“墨西哥草帽”小波，又稱 Marr小波。它定義為 () ? 式中 ，其傅里葉變換為 2/2 2)1()( tetct ????4/132 ??c? () ? 該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和頻譜如圖 。 ? 該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對(duì)稱的，可用于連續(xù)小波變換。由于該小波在 處有二階零點(diǎn)，因此它滿足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺的空間響應(yīng)特征，因此它在 1983年即被用于計(jì)算機(jī)視覺中的圖像邊緣檢測(cè)。 ? 圖 墨西哥草帽小波， (a)時(shí)域波形， (b)頻譜 2/2 22)( ?????? ec?0??? Gaussian小波 ? 高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到的，定義為： ? ， () ? 式中定標(biāo)常數(shù)是保證 。 ? 該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當(dāng) 取偶數(shù)時(shí) ? 正對(duì)稱，當(dāng) 取奇數(shù)時(shí)， 反對(duì)稱。圖 時(shí) 的時(shí)域波形及對(duì)應(yīng)的頻譜。 ? 圖 高斯小波（取 ） (a)時(shí)域波形， (b)頻譜 2tkk 2edtdct /)( ??? 821k , ??1t 2 ?)(?k)(t? k )(t? 4k? )(t?4?k? ? 目前提出的正交小波大致可分為四種，即 Daubechies小波，對(duì)稱小波， Coiflets小波和 Meyer小波。這些正交小波和前面所討論的“經(jīng)典小波”不同，它們一般不能由一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)式給出，而是通過一個(gè)叫做“尺度函數(shù)（ Scalling function）”的 的加權(quán)組合來產(chǎn)生的。尺度函數(shù)是小波變換的又一個(gè)重要概念。由下節(jié)討論可知，小波函數(shù) ，尺度函數(shù) 同時(shí)和一個(gè)低通濾波器 及高通濾波器 相關(guān)連， 和 可構(gòu)成一個(gè)兩通道的分析濾波器組。這些內(nèi)容構(gòu)成了小波變換的多分辨率分析的理論基礎(chǔ)。因此，在討論正交小波時(shí)，同時(shí)涉及到尺度函數(shù) ，分析濾波器組 ， 及綜合濾波器組 ， 。 MATLAB中的Wavelet Toolbox中有相關(guān)的軟件來產(chǎn)生各類正交小波及其相應(yīng)的濾波器。 ? Daubechies小波 ? Daubechies小波簡(jiǎn)稱 db小波。它是由法國學(xué)者 Ingrid Dauechies于 90年代初提出并構(gòu)造的。 Daubechies對(duì)小波變 )(t?)(t?)(t? )(0 zH )(1 zH)(0 zH )(1 zH)(t?)(0 zH )(1 zH )(0 zG )(1 zG? 換的理論做出了突出的貢獻(xiàn)，特別是在尺度取 2的整數(shù)次冪時(shí)的小波理論及正交小波的構(gòu)造方面進(jìn)行了深入的研究，其代表作 《 Ten Lectures on Wavelet》 深受同行們的歡迎。 ? dbN中的表示 db小波的階次， 。當(dāng)時(shí)， db1即是 Haar小波。因此，前述的 Haar小波應(yīng)歸于“正交小波”類。Daubechies計(jì)算出了 時(shí)的 及 。在 ， N的階次還可以擴(kuò)展。 db