【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 5。=242。第 1 章 緒論 5變換已在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，但由于STFT 的定義決定了其窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無(wú)關(guān)而保持固定不變，這對(duì)于分析時(shí)變信號(hào)來(lái)說(shuō)是不利的。高頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間短，而低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，因此，我們期望對(duì)于高頻信號(hào)采用小時(shí)間窗、對(duì)低頻信號(hào)則采用大時(shí)間窗分析，在進(jìn)行信號(hào)分析時(shí)，這種變時(shí)間窗的要求同STFT 的固定時(shí)窗的特性是相矛盾的。這些不足之處恰恰是小波變換的特長(zhǎng)之所在，小波變換不僅繼承和發(fā)展了STFT 的局部化的思想，而且克服了窗口大小不隨頻率變化、缺乏離散正交基的特點(diǎn)，是一種理想的進(jìn)行信號(hào)處理的數(shù)學(xué)工具。但是，需要指出小波理論的思想來(lái)源于Fourier 分析，它不能代替傅立葉分析，它是傅立葉分析的新發(fā)展。Fourier 分析和小波分析分別適用于不同的應(yīng)用場(chǎng)合，在實(shí)際應(yīng)用中，將兩者結(jié)合起來(lái)才能取得理想的效果。 腦電信號(hào)去噪腦電(EEG)中蘊(yùn)涵著豐富的生理、心理及病理信息，腦電信號(hào)的分析及處理無(wú)論是在臨床上對(duì)一些腦疾病的診斷和治療,還是在腦認(rèn)知科學(xué)研究領(lǐng)域都是十分重要的。 由于腦電信號(hào)存在非平穩(wěn)性且極易受到各種噪聲干擾,特別是工頻干擾。 因此如何消除原始腦電數(shù)據(jù)中的噪聲以更好地獲取反映大腦活動(dòng)和狀態(tài)的有用信息是進(jìn)行腦電分析的一個(gè)重要前提。幾十年來(lái)，人們已積累了大量腦電信息處理與提取方面的經(jīng)驗(yàn)，提出了一系列電腦信息處理理論和方法，但很少有突破性進(jìn)展。近年來(lái)，隨著電子技術(shù)的迅猛發(fā)展，信息獲取的手段、精度、速度都有了很大的提高。特別是在非平穩(wěn)信號(hào)分析理論上的一系列重大進(jìn)展為非平穩(wěn)信號(hào)提供了新的處理與分析手段。小波分析理論則是這一系列重大進(jìn)展中的一個(gè) 。小波變換對(duì)于信號(hào)的高頻成分使用逐漸尖銳的時(shí)間分辨率以便移近觀察信號(hào)的快變成分，對(duì)于低頻成分使用逐漸尖銳的頻率分辨率以便移遠(yuǎn)觀察信號(hào)的慢變成分 (整體變化趨勢(shì))。小波這種 “既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林”的信號(hào)分析表示特征對(duì)分析非平穩(wěn)信號(hào)是非常有效的。利用小波變換的多分辨率特性，將含有噪聲的腦電信號(hào)進(jìn)行多尺度分解，得到不同頻帶的子帶信號(hào)。然后對(duì)含有工頻干擾的子帶信號(hào)進(jìn)行處理，以達(dá)到去除工頻干燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）6擾及其它噪聲的目的。隨著小波變換的不斷發(fā)展,國(guó)內(nèi)外許多研究者將小波分析用于生物醫(yī)學(xué)信號(hào)的提取及去噪處理。 小波變換是一種把時(shí)間和頻率兩域結(jié)合起來(lái)的時(shí)頻分析方法,在時(shí)頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。 小波變換具有以下幾個(gè)特點(diǎn):1) 多分辨率 (多尺度) ；2) 品質(zhì)因素 ,即相對(duì)帶寬(中心頻率與帶寬之比)恒定；3) 選擇適當(dāng)?shù)幕拘〔?可使小波在時(shí)、頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。 利用小波變換的多分辨率特性,將含有噪聲的腦電信號(hào)進(jìn)行多尺度分解,得到不同頻帶的子帶信號(hào)。 然后對(duì)含有工頻干擾的子帶信號(hào)進(jìn)行處理,以達(dá)到去除工頻干擾的目的。第 2 章 小波變換 時(shí)頻分析方法信號(hào)分析的主要目的就是尋求一種簡(jiǎn)單而有效的方法來(lái)描述信號(hào)，以便讓信號(hào)所包含的主要信息顯示出來(lái)。經(jīng)典的表示方法是采用三角函數(shù)系和Haar 系， Haar 系中函數(shù)的時(shí)域是完全局部化的，可它在頻域局部性極差，三角函數(shù)系在頻域里完全局部化，但無(wú)任何時(shí)間(空間)局部性，上述兩種方法說(shuō)明不可能同時(shí)獲得時(shí)域和頻域局部化最佳。如果頻率分辨率提高，時(shí)域分辨率將下降，反之亦然；任何能量有限信號(hào)可由其Fourier 變換來(lái)表示，并且有其明確的物理意義，因而決定了Fourier 分析成為信號(hào)分析的主要工具。然而，F(xiàn)ourier 變換反映的是信號(hào)整個(gè)時(shí)域?qū)︻l率的貢獻(xiàn)，如果一個(gè)信號(hào)在某一刻的一個(gè)小的鄰域中發(fā)生了變化，信號(hào)的整個(gè)頻率就會(huì)受到影響，本質(zhì)上說(shuō)是由于Fourier 變換中的積分和平滑了信號(hào)的突變部分，無(wú)法確定信號(hào)發(fā)生變化的時(shí)間位置和變化的劇烈程度，即不能刻畫(huà)信號(hào)的局部奇異性。在實(shí)際問(wèn)題處理中，卻常常需要刻畫(huà)局部時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)的頻譜信息，也就是我們常說(shuō)的局部化時(shí)－頻分析。經(jīng)過(guò)人們的共同探索，在時(shí)頻分析方法上取得顯著的成效，其主要方法有：短時(shí)Fourier 變換、W－V 分布和小波分析。第 1 章 緒論 7 短時(shí)傅立葉變換(STFT)短時(shí)傅立葉變換亦稱加窗傅立葉變換， 它起初是在一九四六年，其基本思想是：用一個(gè)有限區(qū)間外恒等于零的光滑函數(shù)(稱之為窗函數(shù))去截取所要研究的信號(hào)，然后對(duì)其進(jìn)行傅立葉變換，從而可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻局部化分析。它的這一思想本質(zhì)上是將所研究的信號(hào)分解成一系列短時(shí)信號(hào)的疊加，每一短時(shí)信號(hào)是通過(guò)窗函數(shù)的不同位置作用所研究信號(hào)而得到，且通過(guò)窗函數(shù)的選取，每一短時(shí)信號(hào)可以認(rèn)為是平穩(wěn)信號(hào)，可用傅立葉變換進(jìn)行分析，從而實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的時(shí)頻局部化分析。對(duì)信號(hào) ，其加窗傅立葉變換定義為：()2ftLR206。()?, jFftgedtwwt t+165。=242。其中g(shù)(t)為窗函數(shù)， ω 為瞬時(shí)角頻率。直觀上講，如果要求信號(hào)f (t)在時(shí)域和頻域上都是局部的，那么f (t)與它的傅立葉變換F( ω )應(yīng)該都具有緊支集，然而我們根據(jù)解析函數(shù)理論可知，不存在這樣的能量有限信號(hào)，因而僅能在概率分布定義上去劃刻信號(hào)的時(shí)頻局部性，為此人們引入時(shí)－相平面來(lái)分析信號(hào)的時(shí)頻局部性。式(31)表明，隨著參數(shù)(ω,τ )的變化，加窗傅立葉變換 F(ω,τ )實(shí)現(xiàn)了信號(hào)f (t)的時(shí)間頻率局部化，但其頻率與所選擇的窗口有關(guān)，而窗的分辨率可用窗的面積大小來(lái)衡量，面積越小，窗的時(shí)頻局部化能力越強(qiáng)，然而受Heisenberg 測(cè)不準(zhǔn)原理影響，窗口不可能任意的小，因而限制了加窗傅立葉變換的應(yīng)用。測(cè)不準(zhǔn)原理：如果 ， 且為一個(gè)窗函數(shù)，則()2gtLR206。()2?GLRw206。，且等號(hào)成立的充分必要條件是：?1/2gGD179。() )1/2 2/exp/jattceatbap=式中 ，且 。0,185。,bR206。測(cè)不準(zhǔn)原理認(rèn)為時(shí)間頻率局部化是一對(duì)基本矛盾，如果時(shí)域分辨率提高，頻域分辨率就會(huì)下降，反之亦然，時(shí)域局部化的最佳窗為高斯窗。燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）8加窗傅立葉變換從純時(shí)域分析和純頻域分析向時(shí)－頻局部化分析大大邁進(jìn)了一步，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí)－頻局部化分析，然而加窗傅立葉變換存在其固有的缺點(diǎn)，其一，在加窗傅立葉變換中，窗函數(shù)一旦取定，窗口的大小就隨之而確定下來(lái)，而與窗口的位置無(wú)關(guān)，因此，加窗傅立葉變換不適于分析同時(shí)包括低頻和高頻信息的信號(hào)；其二，在具體實(shí)際處理中，常采用離散加窗傅立葉變換，離散加窗傅立葉變換的局部化特性在整個(gè)時(shí)－相平面上是均勻分布的，為此在對(duì)頻域?qū)?，頻率變化劇烈的信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，要正確獲得信號(hào)的高頻信息，時(shí)間局部化參數(shù)要取得很小，即窗口選的很小，要取得相當(dāng)多的樣本點(diǎn)，這樣將大大加大計(jì)算的耗時(shí)，并且窗口太小時(shí)，會(huì)降低低頻信號(hào)的分辨率，不適于低頻信號(hào)的分析；其三，無(wú)論采用什么樣的方案對(duì)加窗傅立葉變換進(jìn)行離散化，均得不到一組離散正交基，因而不能用快速算法給予實(shí)現(xiàn)。鑒于上述理由，加窗傅立葉變換未能得到廣泛的應(yīng)用，只適合分析所有特征大致相同的信號(hào)，對(duì)奇異信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)不是很有效，因而需求一種新的時(shí)頻分析工具來(lái)適于信號(hào)時(shí)－頻分析的要求。 WignerVille 分布WignerVille 分布(簡(jiǎn)稱WV)是一種二次型非線性子時(shí)頻分析方法對(duì)連續(xù)時(shí)間數(shù)值函數(shù) ，其WV 變換定義為：)2xtLR206。*11, 2jWttxtedtww+165。 230。246。246。231。247。231。247。=232。248。232。248。242。如果記 ，則W(t,ω )是 對(duì) 的傅立())*,/2/xtttg(,xtgt葉變換，從而有： (, ,jxt tedwtg+165。=并且有： (34)())2,Wtdttw+165。 +165。 242。242。WV 變換是信號(hào)在時(shí)頻二維空間上的分布， 可解釋為信號(hào)在(),Wt時(shí)頻相平面的“ 能量密度”，但WV 變換未必總為正的，為此在解釋W(xué)V 變第 1 章 緒論 9換的含義過(guò)程中遇到了困難。WV 變換有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在時(shí)頻分析中起了很大的積極作用，然而它是在全實(shí)軸上定義的，不便于實(shí)時(shí)分析處理，實(shí)際問(wèn)題僅能對(duì)短數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，為此人們引入了偽WV 變換，相當(dāng)于對(duì)信號(hào)加一個(gè)隨時(shí)間移動(dòng)的窗函數(shù)。WV 變換的優(yōu)良性質(zhì)在許多領(lǐng)域都有人研究，如雷達(dá)、聲納、地震和圖像處理等方面，但還不很成熟，原因在于WV 變換存在一些難以克服的問(wèn)題，如交叉問(wèn)題，目前解決交叉項(xiàng)人們提出了許多方法，例如：時(shí)頻兩軸卷積法，采用原始信號(hào)的解析信號(hào)進(jìn)行分析等。但未能找到一種比較好的解決交叉項(xiàng)的方法。雖然WV 變換提供了信號(hào)能量在時(shí)間頻率相平面上的分布，但給出的信息不完整。并且WV 變換與加窗傅立葉變換一樣，在時(shí)間－頻率相平面上的頻率分辨率是相同的，不隨信號(hào)頻率的變化而改變，因而在處理非平穩(wěn)信號(hào)和突變信號(hào)時(shí)造成困難，人們尋求一種新的時(shí)頻分析工具，以滿足信號(hào)時(shí)頻分析的要求，小波變換正是在這種環(huán)境下產(chǎn)生的一種新的時(shí)頻分析方法。 小波變換的思想小波變換繼承和發(fā)展了Gabor 的加窗傅立葉變化的局部化思想，并克服了加窗傅立葉變換窗口大小不能隨頻率變化的不足，其基本思想來(lái)源于可變窗口的伸縮和平移。小波變換利用一個(gè)具有快速衰減性和振蕩性的函數(shù)(成為母子波)，然后將其伸縮和平移得到了一個(gè)函數(shù)族(稱之為小波基函數(shù))，以便在一定的條件下，任一能量有限信號(hào)可按其函數(shù)族進(jìn)行時(shí)－頻分解，基函數(shù)在時(shí)頻相平面上具有可變的時(shí)間頻率窗，以適應(yīng)不同分辨率的需求。燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）10圖21 小波變換的時(shí)頻平面的劃分在加窗傅立葉變換中，一旦窗函數(shù)選定，在時(shí)頻相平面中窗口的大小是固定不變的，不隨時(shí)頻位置(t，f)而變化，所以加窗傅立葉變換的時(shí)頻分辨率是固定不變的，小波變換的時(shí)頻相平面如圖21 所示，窗函數(shù)在時(shí)頻相平面中隨中心頻率變換而改變，在高頻處時(shí)窗變窄，在低頻處頻窗變窄，因而滿足對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析的要求。它非常適合于分析突變信號(hào)和不平穩(wěn)信號(hào)。況且小波變換具有多分辨率分析的特點(diǎn)和帶通濾波器的特性，并且可用快速算法實(shí)現(xiàn)，因而常用于濾波、降噪、基頻提取等。但對(duì)平穩(wěn)信號(hào)來(lái)說(shuō)，小波分析的結(jié)果不如傅立葉變換直觀，而且母小波的不唯一性給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了困難。小波分析屬于時(shí)頻分析的一種。傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅立葉變換的基礎(chǔ)之上的，由于傅立葉分析使用的是一種全局的變換，只提供信號(hào)的頻域信息，而不提供信號(hào)的任何時(shí)域信息，因此無(wú)法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì)，而這性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。第 1 章 緒論 11 連續(xù)小波基函數(shù)小波函數(shù)的確切定義為：設(shè) 為一平方可積函數(shù)，也即()tf，若其傅立葉變換滿足()2tLRf206。2RdwY165。242。則稱 為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式為小波函數(shù)的可容許性()tf條件。連續(xù)小波基函數(shù) 的定義為：將小波母函數(shù) 進(jìn)行伸縮和平(),atf ()tf移，設(shè)其伸縮因子(又稱尺度因子)為a，平移因子為 ，令其平移伸縮后的函數(shù)為 ，則有,tf 1/2, ,0,ataRtfft230。246。231。247。=206。232。248。稱 為依賴于參數(shù)a, 的小波基函數(shù)，由于尺度因子a、平移因子 (),t t t是取連續(xù)變化的值，因此稱 為連續(xù)小波基函數(shù)。它們是由同一母函(),tf數(shù) 經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。tf定義小波母函數(shù) 窗口寬度為 ，窗口中心為 ，則相應(yīng)可求得tftD0t連續(xù)小波 的窗口中心為 ，窗口寬度為 。 (),atf ,0at=+,attD=同樣，設(shè) 為 的傅立葉變換，其頻域窗口中心為 ，窗口寬度wYtf 0w為 ，設(shè) 的傅立葉變換為 ，則有D,atf (),atY()12, jaett w=所以，其頻域窗口中心為 ,0at=窗口寬度為 ,1atwD可見(jiàn)，連續(xù)小波 的時(shí)、頻域窗口中心及寬度均隨尺度a 的變化而伸(),tf縮，若我們稱 為窗口函數(shù)的窗口面積，由于燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）12, 1aat ttatwwD=D=所以連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積不隨參數(shù)a, 而變。這正是海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理證明的： 大小是相互制約的，乘積 ，且只有當(dāng)t 1/2twD179。為()tfGaussian 函數(shù)時(shí)，等式才成立。由此可得到如下幾點(diǎn)結(jié)論：(1)尺度的倒數(shù)1/a在一定意義上對(duì)應(yīng)于頻率 ，即尺度越小，對(duì)應(yīng)頻率越高，尺度越大，對(duì)應(yīng)頻率越低。如果我們將尺度理解為時(shí)間窗口的話，則小尺度信號(hào)為短時(shí)間信號(hào)，大尺度信號(hào)為長(zhǎng)時(shí)間信號(hào)；(2)在任何 值上，小波的時(shí)、頻窗口的大小 和 都隨頻率 (或者1/ a )t tDw的變化而變化。這是與STFT 的基的不同之處；(3)在任何尺度a、時(shí)間 上，窗口面積 保持不變，也即時(shí)間、尺度分tt辨率是相互制約的不可能同時(shí)提的很高；(4)由于小波母函數(shù)在頻域具有帶通特性，其伸縮和平移系列就可以看作是一組帶通濾波器。通常將通帶寬度與中心頻率的比值稱為帶通濾波器的品質(zhì)因數(shù)，通過(guò)計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，小波基函數(shù)作為帶通濾波器，其品質(zhì)因數(shù)不隨尺度a 而變化，