【正文】 對于stein 的無偏似然。閾值規(guī)則rigrsure sqtwolog heursure minimaxi閾值大小 表31 四種閾值選擇計(jì)算的閾值大小如果對一個(gè)均值為1 的白噪聲信號(hào)(信號(hào)采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1000)，分別利用四種閾值選擇計(jì)算閾值大小，結(jié)果如表31。第 1 章 緒論 29據(jù)不同尺度的分解系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。其中 是要尋找的x 的估計(jì)值。248。248。247。247。246。=230。iiiyxn=+其中 為有效信號(hào)； 為噪聲，那么 的最小偏差估計(jì)為ixi ix (44)21,NiiiREx217。這種極值估計(jì)可以在一個(gè)給定的函數(shù)集中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差最小化。對于一個(gè)給定的閾值t ，得到它的似然估計(jì)，再將非似然 t最小化，就得到了所選的閾值；(2)sqtwolog是固定閾值選擇，產(chǎn)生的閾值大小是 ()2*logenhX；(3)heursure啟發(fā)式閾值選擇，它是前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測變量閾值選擇。一般說來，用硬閾值處理后的信號(hào)比用軟閾值處理后的信號(hào)更為粗糙。在第三種方法中，軟閾值處理是把信號(hào)的絕對值與閾值進(jìn)行比較，小于或等于閾值的點(diǎn)變?yōu)?，大于該值的點(diǎn)變?yōu)樵擖c(diǎn)值與閾值的差值。(3)給定軟(或硬)閾值消噪處理。燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）28(2)默認(rèn)閾值消噪處理。該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全變?yōu)?，即把高頻部分全部濾除掉，然后再對信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)處理。小波分解去噪的效果主要取決于對含噪信號(hào)的噪聲估計(jì)方法以及所采用的小波函數(shù)。若正弦信號(hào)疊加上的是有色噪聲，即噪聲都集中在某個(gè)頻率段上，可將該頻率段上的高頻系數(shù)去掉或相應(yīng)減小，就可以消除或減弱噪聲。原始信號(hào)可以看作尺度j＝0 時(shí)的近似值，若原始正弦信號(hào)的分析頻率為 f，則從圖中可以看出，分解結(jié)果d1，d2，d3，d4，d5 對應(yīng)的頻帶分別為， ， ， ，()~f )21~f()32~f()43~2f。分解關(guān)系為 ，這里只是以一個(gè)三321SA=+層分解為例進(jìn)行說明，如果要進(jìn)行進(jìn)一步的分解，則可以把低頻部分 3A分解成低頻部分 和高頻部分 ，以下再分解依此類推。 小波閾值去噪方法的研究 小波閾值去噪處理的方法圖33 為一個(gè)三層的小波分解樹，A 為低頻系數(shù)，D 為高頻系數(shù)。同時(shí)，利用小波變換相鄰尺度上的相關(guān)性，從大尺度開始計(jì)算，如果大尺度有值，那么在小尺度上的相應(yīng)位置及其鄰域上也應(yīng)當(dāng)有值，可以依此將小尺度下表現(xiàn)突出的噪聲變換值去除，將被噪聲淹沒的信號(hào)變換值“挽救” 出來。并從過零數(shù)的一半出發(fā)，以變步長進(jìn)行搜索，確定閾值，找到一個(gè)穩(wěn)定的過閾值數(shù)，此時(shí)應(yīng)有真實(shí)信號(hào)產(chǎn)生。因此取一個(gè)適當(dāng)?shù)倪^零數(shù)，可以保留由真實(shí)信號(hào)產(chǎn)生的模極大值，而去除由噪聲產(chǎn)生的模極大值。g另外，Mallat還證明了高斯過程模極大值的平均密度也與尺度s 成反比，而且當(dāng)尺度增加時(shí)，它的幅度衰減非?？?。我們可以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)來粗略判斷由高斯白噪聲所產(chǎn)生的過2j零數(shù)。249。()R()2對于 ，有()*,ssRWnsxnuxdu=Y242。因?yàn)橐言O(shè)定 為高斯白噪聲，)n()nx所以它的小波變換 仍為一高斯過程，并且可微。重復(fù)步驟(2)(4) ，直到尺度 j＝1。n2sd(1)首先計(jì)算出 在各尺度(j=1,2,…, J)上的小波值 ；fx 2,jWfx(2)從大尺度出發(fā) (j=J)，對小波值為正的所有數(shù)，計(jì)算出均值及這些數(shù)的方差var 和過零數(shù)zeronum[j]；以zeronum[j]/2 為初始閾值，var 為閾值的初始步長；；，若數(shù)目增加，增加閾值，即將當(dāng)前閾值加上當(dāng)前步長；若數(shù)目減少則降低閾值，即將當(dāng)前閾值減去當(dāng)前步長；若不變則增加閾值；(如減半)；重復(fù)步驟，直至迭代步長小于某一值為止；取當(dāng)前閾值為最終閾值，閾值之上的保留，之下去除；對小波值為負(fù)的集合做同樣處理。針對這個(gè)問題提出了一種新的子波域?yàn)V波算法。文獻(xiàn)介紹了由模極大值重建原始信號(hào)的一些方法。這燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）24樣就可以在模極大值圖上達(dá)到去噪的目的，然后從去噪以后的模極大值圖重建原信號(hào)，就可以實(shí)現(xiàn)對信號(hào)的去噪。表征信號(hào)重要特征的極大值點(diǎn)能從小尺度傳播到大尺度，并且尺度間模極大值點(diǎn)的相對位移在一個(gè)錐形范圍內(nèi)。第 1 章 緒論 23(a)(b)圖32 幾種突變的小波變換極值隨尺度的變化由以上可知，白噪聲的李氏指數(shù) ，其對應(yīng)的模極大值隨尺度j的0a增大將減小(因此其主要對小尺度下的模極大值影響較大)。0a=幾種突變的小波變換極值隨尺度的變化如圖32 所示，32(b)圖的四條曲線從上到下分別是尺度j=1,2,3,4 時(shí)的小波變換極值。由式可知，當(dāng) 時(shí)，小波變換的極大值將隨尺度j的增大而增大；當(dāng) 時(shí)，則隨 j 0a 0的增大而減小。式(33)a給出了小波變換的對數(shù)值隨尺度 j 或 的變化規(guī)律。()22loglogjftkj163。也就是 ()logloglogaft+其中k是一個(gè)常數(shù)，則 在區(qū)間 中的李氏指數(shù)均勻?yàn)? 。248。247。246。下面討論某點(diǎn)的李氏指數(shù)同該點(diǎn)的小波變換模極大值之間的關(guān)系，目的是為了由小波變換模極大值推導(dǎo)出突變點(diǎn)的李氏指數(shù)，從而判斷奇異性大小。01a163。如果函數(shù) 在a ()ft燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）22某一點(diǎn)可導(dǎo)，它的 ；如果 )在某一點(diǎn)不連續(xù)但其值有限，則1a179。+增1。如果 為n次可xt微，但n階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此 次不可微，則 ；如果 的李11a163。0xZ206。+則稱 在 處的李氏指數(shù)為 。小波理論表明，模極大值的幅值隨著尺度的變化規(guī)律是由信號(hào)在該突變點(diǎn)的局部李氏指數(shù)(Lipschitzexponent)決定的。信號(hào)的突變點(diǎn)在不同尺度 上都會(huì)產(chǎn)生對應(yīng)的模極大值。下面由小波變換模極大值在多尺度上的變化規(guī)律來表征信號(hào)突變點(diǎn)的性質(zhì)。同時(shí)，只有在適當(dāng)尺度下各突變點(diǎn)引起的小波變換才能避免交迭干擾。但是小尺度下小波變換隨噪聲影響非常大，產(chǎn)生許多偽極值第 1 章 緒論 21點(diǎn)，往往只憑一個(gè)尺度不能定位突變點(diǎn)的位置。根據(jù)理論分析，知道以平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為母小波作小波變換，其小波變換在各個(gè)尺度下的模極大值對應(yīng)于信號(hào)突變點(diǎn)的位置。0x模極大值點(diǎn)， 稱為模極大值。 小波變換模極大值的定義定義在尺度s下，若 ， 成立，則 稱為0xd206。當(dāng)用經(jīng)典的濾波法去對非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行去噪時(shí)，可以想象其結(jié)果必然是在降低噪聲的同時(shí)也展寬了波形，平滑了信號(hào)中的銳變尖峰成分，損失了這些突變點(diǎn)可能攜帶著重要信息。經(jīng)典的濾波去噪方法一般都是頻域低通濾波法，經(jīng)常使用的低通濾波器只要有以下幾種：理想的低通濾波器、巴特沃斯低通濾波器、指數(shù)低通濾波器、梯形低通濾波器。要恢復(fù)原信號(hào)攜帶的有用信號(hào)，必須去除信號(hào)中疊加的噪聲或干擾成份。信號(hào)的變化率大的部分對應(yīng)高頻分量，變化率緩慢的部分則主要含低頻分量。第 3 章 基于小波變換去噪方法的研究 經(jīng)典的濾波去噪方法對隨時(shí)間變化的信號(hào)，通常采用兩種最基本的描述形式，即時(shí)域或頻域形式。這樣就可以通過抑制不需的頻帶的信號(hào)，而達(dá)到去噪的目的。而當(dāng)它們的頻域重疊時(shí)，這種方法就無能為力了。在低頻部分有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測正常信號(hào)中夾帶的順態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，因此有利于把噪聲從正常信號(hào)中分離出來，達(dá)到去噪聲的目的。圖23 3 階Mallat 塔式算法(序列的離散小波變換 )從式(222)可以看出，Mallat 塔式算法實(shí)際上是通過低通和高通濾波，把信號(hào)分解為低頻和高頻部分。+ =229。 ()gn為共軛鏡像濾波器對(QMF)，則實(shí)現(xiàn)正交小波變換，此時(shí)濾波器組是()hn非線性相位的，如果 和 為線性相位濾波器，則實(shí)現(xiàn)雙正交小波ghn變換。 Mallat 的快速算法Mallat 在Burt 和Adelson 圖象分解和重構(gòu)的拉普拉斯塔形算法的基礎(chǔ)燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）18上，基于多分辨率框架理論，提出了塔式多分辨分解與綜合算法，巧妙的將多分辨分析與小波分析結(jié)合在一起，Mallat 塔式算法在小波分析中的地位頗似FFT 在經(jīng)典傅立葉變換中的地位。 時(shí)1AB 1AB=的小波框架為正交小波基，所以常稱式(220)、(221)為離散正交小波變換綜合公式。229。當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)?74。=165。229。 (219)2JjjjWV=165。其中 稱為小波展開系數(shù)。其中 稱為尺度展開系數(shù)。229。這就是多分辨率分析的框架。 1W分 ，然后將大尺度逼近部分 進(jìn)一步分解。小波空間和尺度空間的包含關(guān)系如圖22 所示。(5)正交基存在性： 存在 ，使得 是 的正交基，即f(){}Ztf206。222。206。206。? ?(2)漸近完全性: {}()2。204。圖22 小波空間和尺度空間的包含關(guān)系多分辨率分析是指滿足下列性質(zhì)的一系列閉子空間 ；{},jVZ206。因此燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）16隨著尺度由大到小的變化，在各尺度上可以由粗及精的觀察目標(biāo)。也即隨著尺度的減小，其尺度空間增大。 ,jktf際的平移間隔 也變大，則它的線性組合式(216)不能表示函數(shù)(小于2tD該尺度)的細(xì)微變化，因此其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號(hào)。由此，尺度函數(shù) 在不同尺度上其平移系列張成了一系列的尺度空(tf間 。 (216))()22jj jk kftatatkf f ==229。同小波函數(shù)相似，假設(shè)尺度函數(shù) 在平移的同時(shí)又進(jìn)行了尺度的伸tf縮，得到了一個(gè)尺度和位移均可變化的函數(shù)集合： (215)()()()2, 2jj jjk ktt tfff ==則稱每一固定尺度j上的平移系列 所張成的空間 為尺度為j 的尺度jtV空間： {},jjkVspantZf206。則對于任意 ，有()0ftV206。 (212)第 1 章 緒論 15則 可定義為尺度函數(shù)(scale function)。162。 尺度函數(shù)和尺度空間 若一個(gè)函數(shù) ，它的的整數(shù)平移系()2tLRf206。其思想又同多采樣濾波器組不謀而合，可將小波變換同數(shù)字濾波器的理論結(jié)合起來。這種想法導(dǎo)致了多分辨率分析理論的建立。當(dāng)時(shí)研究圖像的一種很普遍的方法是將圖像在不同尺度下分解，并將結(jié)果進(jìn)行比較，以取得有用的信息。 多分辨率分析與離散小波快速算法 多分辨率分析多分辨率分析(MultiResolution Analysis——MRA)，又稱為多尺度分析是建立在函數(shù)空間[22]概念上的理論。248。247。246。燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）14任意函數(shù)f (t)的離散小波變換為 (210)(),f mnRWTmnfttd=242。因此，如果尺度m = 0時(shí) 的間隔為 ，tsT則在尺度為 時(shí)，間隔可取為 。為了不丟失信息，要求采樣間隔 滿足Nyquist采樣定理，即采樣頻率大于等于該尺度下頻率通常的2 倍。02a=關(guān)于位移的離散化，當(dāng) 時(shí)， 。一種最通常的離散方法就是將尺度按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取 (m 為整數(shù)， ，一般取 。雖然在某(),fWTat些情況下，其冗余性是有益的(例如在去噪，進(jìn)行數(shù)據(jù)恢復(fù)及特征提取時(shí)，常采用CWT，以犧牲計(jì)算量、存儲(chǔ)量為代價(jià)來獲得最好的結(jié)果)，但在很多情況下，我們希望在不丟失原信號(hào)f (t)信息的情況下，盡量減小小波變換系數(shù)的冗余度。這恰恰符合實(shí)際問題中高頻信號(hào)的持續(xù)時(shí)間短、低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間較長的規(guī)律。 與STFT不同的是，小波變換是一種變分辨率的時(shí)頻聯(lián)合分析方法。因此，將函數(shù)在小波基下展開就意味著將一個(gè)時(shí)間函數(shù)投影到二維的時(shí)間尺度相平面上。由于小波基不同于傅立(),fWTt第 1 章 緒論 13葉基，因此小波變換和傅立葉變換有許多不同之處。242。==232。231。 小波變換 連續(xù)小波變換將任意 空間中的函數(shù)f (t)在小波基下進(jìn)行展開，稱這種展開為函數(shù)f 2LR(t)的連續(xù)小波變換 (Continue Wavelet Transform,簡記為 CWT)，其表達(dá)式為 ()(), 1,f aRtWTafttfdtaat 230。這是與STFT 的基的不同之處；(3)在任何尺度a、時(shí)間 上，窗口面積 保持不變，也即時(shí)間、尺度分tt辨率是相互制約的不可能同時(shí)提的很高；(4)由于小波母函數(shù)在頻域具有帶通特性，其伸縮和平移系列就可以看作是一組帶通濾波器。由此可得到如下幾點(diǎn)結(jié)論：(1)尺度的倒數(shù)1/a在一定意義上對應(yīng)于頻率 ，即尺度越小，對應(yīng)頻率越高，尺度越大，對應(yīng)頻率越低。這正是海森堡測不準(zhǔn)原理證明的： 大小是相互制約的，乘積 ，且只有當(dāng)t 1/2twD179。tf定義小