【正文】 變換，其小波變換在各個尺度下的模極大值對應(yīng)于信號突變點的位置。小波分析尺度越小，平滑函數(shù)的平滑區(qū)域小，小波系數(shù)模極大值點與突變點位置的對應(yīng)就越準(zhǔn)確。但是小尺度下小波變換隨噪聲影響非常大，產(chǎn)生許多偽極值第 1 章 緒論 21點，往往只憑一個尺度不能定位突變點的位置。相反，在大尺度下對噪聲進行了一定的平滑，極值點相對穩(wěn)定，但由于平滑作用使其定位又產(chǎn)生了偏差。同時，只有在適當(dāng)尺度下各突變點引起的小波變換才能避免交迭干擾。因此，在用小波變換模極大值法判斷信號突變點時，需要把多尺度結(jié)合起來綜合觀察。下面由小波變換模極大值在多尺度上的變化規(guī)律來表征信號突變點的性質(zhì)。在許多情況下，小波變換并不要求保留所有的連續(xù)尺度a，為了實現(xiàn)快速算法，選擇尺度按二進制變化，即二進制變換。信號的突變點在不同尺度 上都會產(chǎn)生對應(yīng)的模極大值。在任意尺度 上模極大值對應(yīng)于信號2j 2j在 尺度上平滑后的該點一階導(dǎo)數(shù)大小。小波理論表明，模極大值的幅值隨著尺度的變化規(guī)律是由信號在該突變點的局部李氏指數(shù)(Lipschitzexponent)決定的。 模極大值隨著尺度的變化規(guī)律李氏指數(shù)的定義為，設(shè)函數(shù)在 附近具有下述特征：0t (31)()()00,1nxthpthAna+163。+則稱 在 處的李氏指數(shù)為 。式中h是一個充分小量， 是過t0 ()npt 點的n次多項式 。0xZ206。實際上 就是 在 點作Taylor 級數(shù)展開的前n 項：()ptxt0 (32)()()() nnxttahahOptOh++=+=顯然 未必等于 ；它必定大于n，但可能小于 。如果 為n次可xt微，但n階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此 次不可微，則 ；如果 的李11a163。氏指數(shù)為 ，則 的李氏指數(shù)必為 ，即每積分一次，李氏指數(shù)a()xtd242。+增1。一般來講，函數(shù)在某一點的李氏指數(shù)表征了該點的奇異性大小， 越a大，該點的光滑度越高； 越小，該點的奇異性越大。如果函數(shù) 在a ()ft燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）22某一點可導(dǎo)，它的 ；如果 )在某一點不連續(xù)但其值有限，則1a179。(ft；對于脈沖函數(shù)， ；而對于白噪聲， 。01a163。=0a163。下面討論某點的李氏指數(shù)同該點的小波變換模極大值之間的關(guān)系，目的是為了由小波變換模極大值推導(dǎo)出突變點的李氏指數(shù)，從而判斷奇異性大小。假設(shè)小波函數(shù) 是連續(xù)可微的，并且在無限遠(yuǎn)處的衰減速率為 ，()tf 21Ot230。246。231。247。+232。248。Mallat 證明：當(dāng) t在區(qū)間 中時，如果 的小波變換滿足：[],ab()ftWftka163。也就是 ()logloglogaft+其中k是一個常數(shù)，則 在區(qū)間 中的李氏指數(shù)均勻為 。[],ba當(dāng) 時，上式變成2ja= 或 (33)()2j jWftka163。()22loglogjftkj163。+式中 這一項把小波變換的尺度特征j與李氏指數(shù) 聯(lián)系了起來。式(33)a給出了小波變換的對數(shù)值隨尺度 j 或 的變化規(guī)律。自然的，對應(yīng)信號奇異點的小波變換模極大值隨尺度的變化也應(yīng)滿足此規(guī)律。由式可知，當(dāng) 時，小波變換的極大值將隨尺度j的增大而增大；當(dāng) 時，則隨 j 0a 0的增大而減小。對階躍情況( )，則小波變換的極大值不隨尺度而改變。0a=幾種突變的小波變換極值隨尺度的變化如圖32 所示，32(b)圖的四條曲線從上到下分別是尺度j=1,2,3,4 時的小波變換極值。從圖中可以看出：t=1,2,4(分別對應(yīng)50，100 ，200 點) 處的突變的小波變換極值隨著尺度的增加而增大，而t=3(對應(yīng)150 點) 處的突變則隨之而減小。第 1 章 緒論 23(a)(b)圖32 幾種突變的小波變換極值隨尺度的變化由以上可知，白噪聲的李氏指數(shù) ，其對應(yīng)的模極大值隨尺度j的0a增大將減小(因此其主要對小尺度下的模極大值影響較大)。而一般信號的突變點的李氏指數(shù)大于等于零，這種突變點所對應(yīng)的小波變換模極大值隨尺度j 的增加幅度逐漸增大。表征信號重要特征的極大值點能從小尺度傳播到大尺度，并且尺度間模極大值點的相對位移在一個錐形范圍內(nèi)。依據(jù)此區(qū)別，可以在模極大值圖上去除那些幅度隨尺度減小的極值點(對應(yīng)噪聲的極值點) ，而保留幅度隨尺度增加而增大的點(對應(yīng)信號突變點位置)。這燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）24樣就可以在模極大值圖上達(dá)到去噪的目的，然后從去噪以后的模極大值圖重建原信號，就可以實現(xiàn)對信號的去噪。針對這一理論，主要解決的問題有如下幾個方面：(1)要選擇正確的小波，一般要根據(jù)實際問題的需要,選擇和構(gòu)造不同的小波；(2)要確定對信號進行小波變換的次數(shù)，尺度過大會增加計算難度，尺度過小又不能很好的濾除噪聲；(3)要解決如何重構(gòu)信號的問題。文獻(xiàn)介紹了由模極大值重建原始信號的一些方法。從以上理論可以看出，模極大值方法能夠精確的消除有用信號中的噪聲，但是運算過程復(fù)雜，計算量大。針對這個問題提出了一種新的子波域濾波算法。 一種新的子波域濾波算法 算法步驟 定義 其中 為真實信號； 為()()fxgnxd=+g()nx被干擾的信號； 是均值為0，方差為 的高斯白噪聲， 為噪聲水平。n2sd(1)首先計算出 在各尺度(j=1,2,…, J)上的小波值 ；fx 2,jWfx(2)從大尺度出發(fā) (j=J)，對小波值為正的所有數(shù)，計算出均值及這些數(shù)的方差var 和過零數(shù)zeronum[j]；以zeronum[j]/2 為初始閾值，var 為閾值的初始步長；；，若數(shù)目增加，增加閾值，即將當(dāng)前閾值加上當(dāng)前步長；若數(shù)目減少則降低閾值，即將當(dāng)前閾值減去當(dāng)前步長；若不變則增加閾值；(如減半)；重復(fù)步驟，直至迭代步長小于某一值為止；取當(dāng)前閾值為最終閾值，閾值之上的保留，之下去除；對小波值為負(fù)的集合做同樣處理。(3)在上一個尺度有值的相應(yīng)位置及其一定鄰域(如左右13 個點)內(nèi)進第 1 章 緒論 25行搜索判斷，以減小噪聲的干擾；若上一尺度相應(yīng)鄰域有值，而該尺度沒有，說明為噪聲所干擾，保留該值；若上一尺度相應(yīng)鄰域沒有值，而該尺度有，說明為噪聲所產(chǎn)生，去除； (4)j=j1，計算下一個小尺度。重復(fù)步驟(2)(4) ，直到尺度 j＝1。 理論依據(jù) 對 做小波變換，根據(jù)小波變換的線()()fxgnxd=+性性質(zhì)，可以知道小波變換值是信號 與噪聲 分別進行小波變換()nx的結(jié)果，即 ()(,WfsxsxWs先來討論高斯白噪聲的小波變換 。因為已設(shè)定 為高斯白噪聲，)n()nx所以它的小波變換 仍為一高斯過程，并且可微。一個可微高斯過,n程的平均過零密度為 ()210Rzp=其中 為該高斯過程的自相關(guān)函數(shù)， 為 的2 階導(dǎo)數(shù)。()R()2對于 ，有()*,ssRWnsxnuxdu=Y242。())(, ssRExEnvxuxvdt t t233。249。234。+=Y+235。由此可得， ，()()210Rs()230s所以 的平均過零密度為,Wnsx()21syp因此 的平均過零密度與尺度s 成反比；當(dāng) s 離散化為 時，它(), 2js=與 成反比。我們可以根據(jù)這個性質(zhì)來粗略判斷由高斯白噪聲所產(chǎn)生的過2j零數(shù)。對信號 做小波變換，小波函數(shù)可以認(rèn)為是一個帶()fxgnxd=+燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）26通函數(shù)，尺度越小所選的頻率越高，所以在尺度 上是以高頻占優(yōu)的1j=為主，過零數(shù)也就約等于 的過零數(shù)；隨著尺度的增加，頻率降()nx()nx低，白噪聲的過零數(shù)迅速減少，它的主導(dǎo)地位漸漸為相對低頻的真實信號所取代。g另外，Mallat還證明了高斯過程模極大值的平均密度也與尺度s 成反比，而且當(dāng)尺度增加時，它的幅度衰減非?？?。同時，低頻信號的模極大值在各尺度上的變化不大。因此取一個適當(dāng)?shù)倪^零數(shù)，可以保留由真實信號產(chǎn)生的模極大值，而去除由噪聲產(chǎn)生的模極大值。綜上所述，可以把過零數(shù)作為子波濾波的一種評價標(biāo)準(zhǔn)。并從過零數(shù)的一半出發(fā)，以變步長進行搜索，確定閾值，找到一個穩(wěn)定的過閾值數(shù)，此時應(yīng)有真實信號產(chǎn)生。注意到相同的過零數(shù)會有不同的閾值，為了盡量減小噪聲的干擾，將閾值盡量取高。同時，利用小波變換相鄰尺度上的相關(guān)性，從大尺度開始計算，如果大尺度有值，那么在小尺度上的相應(yīng)位置及其鄰域上也應(yīng)當(dāng)有值，可以依此將小尺度下表現(xiàn)突出的噪聲變換值去除，將被噪聲淹沒的信號變換值“挽救” 出來。之所以要在鄰域上進行搜索，是因為隨尺度的增加小波變換會產(chǎn)生位移。 小波閾值去噪方法的研究 小波閾值去噪處理的方法圖33 為一個三層的小波分解樹，A 為低頻系數(shù)，D 為高頻系數(shù)。從圖中可以看出，多分辨率分析只是對低頻部分進行進一步的分解，而高頻部分則不予以考慮。分解關(guān)系為 ，這里只是以一個三321SA=+層分解為例進行說明，如果要進行進一步的分解，則可以把低頻部分 3A分解成低頻部分 和高頻部分 ，以下再分解依此類推。4A4第 1 章 緒論 27圖33 三層多分辨率分析樹結(jié)構(gòu)對含有高斯白噪聲的正弦信號，用小波變換分解到5 個尺度上的波形。原始信號可以看作尺度j＝0 時的近似值，若原始正弦信號的分析頻率為 f，則從圖中可以看出，分解結(jié)果d1，d2，d3，d4，d5 對應(yīng)的頻帶分別為， ， ， ，()~f )21~f()32~f()43~2f。如果繼續(xù)分解下去，就可以包括從高頻到低頻的不同頻帶的信息，且各頻帶互不重疊。若正弦信號疊加上的是有色噪聲，即噪聲都集中在某個頻率段上，可將該頻率段上的高頻系數(shù)去掉或相應(yīng)減小，就可以消除或減弱噪聲?；谛〔ㄩ撝迪胩幚淼姆椒ㄍǔ０? 個步驟：首先是將信號進行小波變換，得到小波系數(shù)；然后在小波變換域上利用信號與噪聲的不同性態(tài)，對小波變換進行閾值化處理，把噪聲從信號中區(qū)分開來(主要是對高頻系數(shù)進行閾值化處理)；最后是利用重構(gòu)算法重構(gòu)信號。小波分解去噪的效果主要取決于對含噪信號的噪聲估計方法以及所采用的小波函數(shù)。閾值化處理的方法一般有三種：(1)強制消噪處理。該方法把小波分解結(jié)構(gòu)中的高頻系數(shù)全變?yōu)?，即把高頻部分全部濾除掉，然后再對信號進行重構(gòu)處理。這種方法比較簡單，重構(gòu)后的消噪信號也比較平滑，但容易丟失信號的有用成份。燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）28(2)默認(rèn)閾值消噪處理。這種方法利用軟件直接生成一個閾值，然后用軟件進行消噪。(3)給定軟(或硬)閾值消噪處理。在實際的消噪處理過程中，閾值往往可以通過經(jīng)驗公式獲得，而且這種閾值比默認(rèn)閾值更具有可信度。在第三種方法中，軟閾值處理是把信號的絕對值與閾值進行比較，小于或等于閾值的點變?yōu)?，大于該值的點變?yōu)樵擖c值與閾值的差值。硬閾值處理是把信號的絕對值與閾值進行比較，小于或等于閾值的點變?yōu)?，大于閾值的點保持不變。一般說來，用硬閾值處理后的信號比用軟閾值處理后的信號更為粗糙。 軟閾值的選擇方法在MATLAB 小波工具中，軟閾值可以有以下幾種選擇方法：(1)rigrsure是一種基于史坦(stein) 的無偏似然估計(二次方程)原理的自適應(yīng)閾值選擇。對于一個給定的閾值t ，得到它的似然估計，再將非似然 t最小化，就得到了所選的閾值；(2)sqtwolog是固定閾值選擇，產(chǎn)生的閾值大小是 ()2*logenhX；(3)heursure啟發(fā)式閾值選擇，它是前兩種閾值的綜合，是最優(yōu)預(yù)測變量閾值選擇。如果信噪比很小，第一種估計方法有很大的噪聲，就采用固定的閾值選擇；(4)minimaxi極大極小值閾值法，采用的也是一種固定的閾值，它產(chǎn)生一個最小均方誤差的極值，而不是無誤差。這種極值估計可以在一個給定的函數(shù)集中實現(xiàn)最大均方誤差最小化。從小波分解濾波法原理看，除了第二種方法外，其他噪聲估計方法的基礎(chǔ)均為最小偏差估計，即若觀測信號 , 可以寫成{},12,.iyN=。iiiyxn=+其中 為有效信號； 為噪聲，那么 的最小偏差估計為ixi ix (44)21,NiiiREx217。217。=230。246。246。231。247。231。247。232。248。232。248。229。其中 是要尋找的x 的估計值。要找到 x 的估計值 使得R 最小，并且根x217。第 1 章 緒論 29據(jù)不同尺度的分解系數(shù)進行估計。從這個意義上說，小波分解去噪比帶通濾波法及加權(quán)滑動平均濾波法更理想。閾值規(guī)則rigrsure sqtwolog heursure minimaxi閾值大小 表31 四種閾值選擇計算的閾值大小如果對一個均值為1 的白噪聲信號(信號采樣點的個數(shù)為1000)，分別利用四種閾值選擇計算閾值大小，結(jié)果如表31。由于原信號是標(biāo)準(zhǔn)的高斯白噪聲，所以希望每一種方法都能將系數(shù)中的大部分?jǐn)?shù)值去掉。對于stein 的