【導讀】必須減少圖像中的噪聲。本文以脊波變換為研究對象，論述了脊波變換在圖像處理中的應用。的不足，介紹了脊波變換的基本理論。不足，提出了一種基于脊波變換的改進的圖像去噪算法，該算法采用指數(shù)型閾值函數(shù)，利用sureshrink自適應閾值。最后，將脊波變換的思想應用于圖像融合，采用區(qū)域方。實驗結果表明，基于。脊波變換的圖像去噪和融合方法具有比小波變換更好的效果。

　　

【正文】 jDf? 1LLI 1LHI 1LHI 1HHI LHI HLI HHI 17 維的低通或高通濾波器進行卷積、這要遞推下去便行到重構圖像。二維圖像的這種行、列可分離性簡化了圖像的小波分解。 圖 圖像的小波重構算法 由上面提到的小波分解的快速 Mallat 算法知道，小波變換可以用濾波器和信號進行卷積來進行。在對圖像進行小波變換的時候，可以用正交濾波器組， Daubechies 小波濾波器組等。正交濾波器組具有很強的正交性，按照上圖的算法流程，可以很方便的實現(xiàn)二維圖像的正交小波變換及其逆變換。 在子帶濾波器中，若分解和重構濾波器使用相同的 FIR 濾波器，那么對稱和精確重構是不可能同時滿足的 (Harr 小波除外 )Daubechies 也證明，如果 ,??是一個多尺度分析的 尺度函數(shù)和正交小波函數(shù)， ,??是實的和緊支的，且 ? 有一個對稱或反對稱軸，則 ? 一定是一個 Harr 小波。然而 Harr 小波過于簡單，多數(shù)應用場合其性能不佳。也就是說，除了 Harr 小波外，緊支集正交的小波不可能具有任何對稱性，此時與其對應的 FIR 濾波器 H 和 G 不可能具有線性相位，這樣就會產(chǎn)生相位失真。 盡管用正交濾波器實現(xiàn)的正交小波變換得到了廣泛的應用，并在圖像處理 (如圖像的去噪、圖像的邊緣 檢測 、圖像的紋理分析、圖像的壓縮和圖像的增強等 )中取得了良好的效果， 同時，正交濾波器組也有許多優(yōu)點，例如分解的正交性、實現(xiàn)簡單 分解和重構濾波器相同等， 但是由于用于正交小波的正交濾波器不具備線性相位特性，其產(chǎn)生的相位失真將會引起圖像邊緣的失真。而圖像的邊緣是圖像的一個重要特征。為了彌補這一缺點，于是就出現(xiàn)了雙正交小波理論。 在雙正交小波的情形下，采用兩個不同的小波基 ??和 ， ? 用來分解， ? 用來重構。 ??和 彼此對偶且相互正交 (雙正交 )。同時，也采用兩個尺度函數(shù) ??和 ，二者相互對偶且正交，一個用來分解，另一個用來重構。與之相對應，雙正交小波分解和重構的濾波器可以有四個：分解低通濾波器、分解高通濾波器、重構低通濾波器和重構高通濾波器。 與正交小波變換不同的時，雙正交小波變換的重構濾波器與分解濾波器不相同。雙正交小波對正交性做出了 “ 讓步 ” ，以求得對稱性和緊支的特性 [16]，并且使用 FIR濾波器可以進行精確重構。雙正交小波變換與正交小波變換相比，小波形狀能有更寬的選擇范圍，因而給設計帶來更大的靈活性。關于雙正交小波濾波器的構造設計方法、1jAf? 11jDf? 21jDf? 31jDf? 21? 21? 21? 21? H G H G 12? 12? H G jAf 18 完全重構條件問題，文獻等均作了詳細闡述。目前，雙正交小波變換在圖像壓縮、圖像邊緣檢測方面均已得到廣泛應用。 本章小結 基于多尺度分析的小波變換方法在圖像處理中有著廣泛的應用。它可以將被逼近信號在不同尺度上分解達到良好的逼近效果，滿足圖像在不同方向和不同頻率域上的圖像去噪。由于圖像進行多尺度分解后的圖像近似度與原始圖像很高，因而可以同 時起到多尺度檢測和圖像去噪的效果。本節(jié)基于多尺度分析，介紹了小波變換的基本理論，連續(xù)小波變換，離散小波變換，多尺度分析， mallat 算法，由此給出了基于多分辨率分析理論在小波去噪具體應用中的方法和步驟。 19 第 4 章 脊波變換 脊波變換基本理論 1999 年，美國 stanford 大學的 和 Doboho 教授提出了 Ridgelet[17]變換的概念。 Ridgelet 的前身 Wavelet 由于同時具有時、頻局域性 ，適于表示瞬變信號，和傅立葉分析相比前進了一大步，因而在信號處理中得到了廣泛的應用。小波變換可以較好地表示零維或點狀奇異性，但圖像中的邊緣等特征表現(xiàn)為高維奇異性，用小波不足以很好地表示圖像特征，而在小波變換基礎上提出的 Ridgelet 變換能夠有效地處理高維直線或超平面奇異性問題。 Ridgelet 變換不僅能用一系列脊函數(shù)的疊加來表示相當廣泛的函數(shù)類，而且也具有基于離散變換的 “ 近于正交 ” 的脊波函數(shù)的框架，可利用各種特殊的高維空間的不均勻性來模擬現(xiàn)實的信號，以更精確地表示圖像的特征，進而獲得更好的圖像處理結果。 連續(xù)脊波變換 定義 1：若函數(shù) ? 滿足容許條件：222() dRxK?? ??? ? ??，則稱 ? 為容許激勵函數(shù)，并稱 12( ) ( )r uxxa a??? ??為以 ? 為容許條件的 Ridgelet 函數(shù)，令12( c os , si n ) , ( , )u x x x????，則 Ridgelet 函數(shù)為： 1 212, , , ,c o s s in( ) ( ) ,a b a bx x bxa a????? ? ?? ???? 22為 RR () 由此可知， Ridgelet 函數(shù)在直線 12cos si nx x c????方向上是常數(shù)，而與該直線垂直方向上是小波函數(shù)。上圖顯示了一個 Ridgelet 函數(shù)。 稱變換：22,( , , ) ( ) ( ) df a bRC R T a b x f x x R???? ? 在上的連續(xù) Ridgelet 變換。 定義 2：當令 12( c os , si n ) , ( , )u x x x????時， Ridgelet 函數(shù)為： 1 122, , 1 2c o s s in( ) ( ) , 0 , , , , , [ 0 , )ab x x bx a a a b x x Ra? ??? ? ? ?? ??? ? ? ? () 稱變換： 2 ,( , , ) ( ) ( ) df a bRR F T a b x f x x???? ? () 為 ()fx在 2R 上的連續(xù)的連續(xù) Ridgelet 變換。 定義 3：設 22( ) ( )f x L R? ，稱變換： 2 12( , ) ( ) ( c o s si n ) df RR t f x x x t x? ? ? ?? ? ?? () 為 ()fx在 2R 上的連續(xù) Radon 變換。 20 定義 4：設 22( ) ( )f x L R? ，稱變換 2 ,( , ) ( ) ( ) df a bRW a b x f x x?? ? () 為 ()fx在 2R 上的連續(xù) Wavelet 變換。其中， 12, ( ) ( ) 。 ( )ab xbx a xa? ? ?? ??是一維小波函數(shù)。 由定義 2 知，脊波變換與小波變換類似，但是脊波函數(shù)引入了表示直線的參數(shù)(, )b? ，而小波函數(shù)采用的表示點的參數(shù)。因此小波變換可以刻畫 點 (零維 )的奇異性，但是無法刻畫圖像中線、 面 (一維或更高維 )的奇 異性，這一性質直接影響小波變換在表示圖像邊緣等幾何機構方面的有效性。而脊波函數(shù)的橫截面是一條類似小波的曲線，脊波沿著脊線是一條直線。正是這樣的幾何結構使得脊波變換可以有效的處理圖像中直線狀和超平面狀的奇異性 [18]。 由定義 4 知，在二維空間中 ，點和線可以通過 Radon 變換聯(lián)系起來，而 Ridgelet變換與 Wavelet 變換通過 Radon 變換聯(lián)系起來，即有 2 ,( , , ) ( ) ( , ) df a b fRR F T a b x R t x? ? ?? ? () 綜上，脊波變換的主要思想就是用 Radon 變換將不同方向的線奇異性映射為點奇異性，然后用一維小波變換來刻畫點的奇異性，從而能有效的表示圖像中線或者曲線奇異性等圖像重要特征。 由上面式以及 Radon 變換可知，利用 FFT 算法、 Radon 變換算法以及小波變換算法就 可以實現(xiàn) Ridgelet 變換算法。 定理 1： Ridgelet 變換重構公式為： , 3ddd( ) ( , , ) ( )f a b abf x C R F T a b x a?? ???? ? () 其中 21(2 )cK??? ??? 。 離散脊波變換 Ridgelet 變換的快速實現(xiàn)可以在 Fourier 域中實現(xiàn)，在 空 (時 )域中 f 的 Radon 變換[21]可以通過 f 的二維 FFT 在徑向上做逆的一維 FFT 得到，對于這個結果再進行一次非正交的一維小波變換即可得到 Ridgelet 的快速離散化實現(xiàn)。 通過 Radon 變換，一幅 nn? 的圖像的象素點變?yōu)?2nn? 的陣列，再對 2nn? 陣列進行一維小波變換就得到了 22nn? 陣列 Ridgelet 變換的結果。 脊波變換的實現(xiàn) 脊波變換的本質是首先對二維圖像進行 Radon 變換 [20]，將圖像中不同方向線的奇異性映射為點的奇異性：然后再在 Radon 變換域內(nèi)進行一維小波變換，來刻畫點的奇異性。 基于以上的討論就必須研究離散數(shù)據(jù)的 Radon 變換的性質以及其實現(xiàn) 方法 。事實 21 上， Radon 變換在科學計算和工程問題中的應用非常普遍， 在 過去幾十年內(nèi)對 Radon變換己有了相當充分的認識。一種較方便的方法 就 是在 DFT的基礎上實現(xiàn) Radon變換，首先對 NN? 的離散點列作 2 維 的 FFT，并對得到的包含 NN? 個點的頻域點列作徑向劃分，然后 再 估計各個徑向直線方向上 N 個數(shù)據(jù)點的值 (若恰為與原網(wǎng)格的交點則取為原值，反之則根據(jù)周圍的點來估計待定點處的取值 )。在每個徑線方向都有 N 個節(jié)點值后，再對這 N 個節(jié)點列作一維逆 FFT，從而得到對應于圖像域的 22NN? 個點列。對這些點列作均勻化插值和重組就得到 了 一次 Radon 變換的結果。 我們 設數(shù)字 圖像( , ) (1 , 1 )f n m m p n p? ? ? ?， Radon 變換的實現(xiàn)步驟為： 1. 對整個圖像作二維 DFT。計算 ( , )f mn 的二維 Fourier 變換，記為： ( , ) , / 2 / 2 1 , / 2 / 2 1f n m p k p p l p? ? ? ? ? ? ? ? () 2. 將直角坐標作轉化為極坐標。以 ( , )f kl 得中心為原點，把矩陣陣列變換到徑向陣列，共 9 個方向角度，每個角度對應一個徑向數(shù)組，每個徑向數(shù)組 包含 p 個點，, 2 ,3 ,q p p p? ，這里取 q 為 p 的整數(shù)倍數(shù)為了計算的精確性： 3. 在每個極坐標方 向 (徑向 )作 一維快速傅立葉逆變換，得到圖像的 Radon 變換。對每個徑向作 1DIFFT，結果記為 ( , )f nm? ， 1 ,1m q n p? ? ? ?，投影切片定理表明( , )f nm? 即是 ( , )f nm 的 q 方向上的 Radon 變換。 分析上面 3 步，關鍵是第 2 步：矩陣陣列變換到徑向陣列，變換的準確性直接影響重構圖像質量。給出了一種精確的插值，但是其計算復雜度高。采用的是近鄰域插值方法 [21]，該方法是被公認的最簡單的插值方法，但是它卻達到了出奇好的效果；當然也可采用其他的插值方法，例如：雙線性插值、三角函數(shù)插值等本論文中，采用這種近鄰域插值方法。為一個直角坐到極坐 標轉換的示意圖。可見通過坐標轉換可將一個 NN? 變換成 22NN? 的數(shù)據(jù)矩陣。 Ridgelet 變換與 Wavelet 變換的聯(lián)系 設 22( ) ( )f x L R? ， 稱變換2 12( , ) ( ) ( c o s s in ) d ( )f RR t f x x x t t f x? ? ? ?? ? ??2為 在 R上的 22 圖 離散 Ridgelet 變換過程 連續(xù) Radon 變換，其中 ? 為 Dirac 函數(shù) [22]。 在二維空間中，點與線通過 Radon 變換相聯(lián)系，而適用于點狀特征的 Wavelet 變換與適用于直線狀特征的 Ridgelet 變換也可以通過 Radon 變換相關聯(lián)起來， Ridgelet其實是等價于在 Radon 變換的切片上應用的小波變換。 ,( , , ) ( ) ( , ) df a b fRCR T a b t R t t? ? ?? ? () 其中 12, ( ) ( )ab xbxa a??? ?