【導(dǎo)讀】噪聲[13]可以理解為“妨礙人們感覺器官對所接收的信源信息理解的因素”。例如一幅黑白圖片，其平面亮度分布假定為f(x，y),那么對其接收其干擾作用的亮度分布R(x,y)即可稱為圖像噪聲。動的黑白電視圖像噪聲可以表示為R,彩色電視圖像噪聲可以表示為R(x,y,t,?和概率密度分布函數(shù)。但在很多情況下，這樣描述方法是很復(fù)雜，甚至不可能的，而實際應(yīng)用往往。也不必要，通常使用其數(shù)值特征，即均值方差、相關(guān)函數(shù)等。號，在對其進(jìn)行處理、存儲、傳輸?shù)燃庸ぷ儞Q，最后往往還要再組成多維圖像信號。雖早已進(jìn)行研究，但終因人的視覺系統(tǒng)本身未搞清楚而未獲得解決。圖像噪聲干擾的客觀指標(biāo)，而只能進(jìn)行一些主觀評價研究。再如圖像系統(tǒng)的空間頻率特性的某些性能測試，圖像信息的偽裝，以及全息技術(shù)中。則很難獲得滿意的處理效果。部干擾，如電磁波和經(jīng)電源串進(jìn)系統(tǒng)內(nèi)部而引起的外部噪聲。達(dá)到去除圖像噪聲的目的。對非專業(yè)人員多采用質(zhì)量尺度，對專業(yè)人員則使用妨礙尺度為宜。

　　

【正文】 其是其 基 本思想與多采樣率濾波器組相一致，建立了小波變換與數(shù)字濾波器之間的聯(lián)系。因此 MRA在小波變換理論中具有十分重要的地位。 (1)多分辨率 的基本概念 首先，定義函數(shù) ? ? ? ?2t L R? ? 為尺度函數(shù) ( Scale function )，若其整數(shù)位移系列 ? ? ? ?k t t k????滿足正交關(guān)系 ： ? ? ? ?39。39。 39。,k k k kt t k k z? ? ??? (335) 定義 由 ??k t? 在 ? ?2LR空間張成的空間為 0V ，稱為零尺度空 ： ? ?? ?0 kV span t k z??? (336) 則對 0V 空間的任意 ??ft，有 ： ? ? ? ?kkkf t a t??? (337) 將尺度函數(shù)禱 )同時進(jìn)行位移和尺度伸縮，得到函數(shù)集合 ： ? ? ? ? ? ?2, 2 2 2j jjj k kt t k t? ? ?? ??? ? ? (338) 并稱 ? ?2 jk t? ?所張成的空間尺度為 j 的尺度空間 ： ? ? ? ? ? ?,2 ,f j kjkf t W T j k tAB ?? ? ? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 第 20 頁共 45頁 ? ?? ?2 jJkV span t k z? ??? (339) 同樣，對于 JV 空間的任意 f (t)，有 ： ? ? ? ?2jkkkf t a t??? ? (340) 定義 ： 多分辨率分析是指滿足以下 性質(zhì)的閉子空間序列 ? ?,JV j z? ： ①一致單調(diào)性 : 2 1 0 1 2. . . . . .V V V V V??? ? ? ? ? ? ②漸進(jìn)完全性 : ? ? ? ?20,iiV V L R? ? ? ? ③ 逗洲申縮規(guī)則性 ? ? ? ? 12jjf t V f t V j Z?? ? ? ?: ④位移不變性 : ? ? ? ?00 nf t V f t n V Z? ? ? ? ? ? ⑤正交基存在性 :存在 ?? 0tV? ? ，使得 根據(jù)多分辨率的定義可知，所有閉子空間 上 ? ?,jV j Z?都是由同一尺度函數(shù) ??t? 伸 縮后平移的系列構(gòu)成的尺度空間，稱 ??t? 為多分辨率分析的尺度函數(shù)。 由于 ? ?,jV j Z?空間相互包含，不具有正交性，它們的基 ??,jkt? 在不同的尺度間不具有正交性 ，因而不能作為 ? ?2LR空間的正交基 。 為了尋找一組 ? ?2LR空間的正交基，定義尺度空間的補(bǔ)空間 mW ，它是 mV 在 1mV? 中的補(bǔ)空間，即 ： 1 ,m m m m mV V W W V? ? ? ? (341) 顯然，任意子空間 mW 和 nW 是相互正交的，結(jié)合多分辨率分析性質(zhì)①②可知 ： ? ?2jjzL R W??? (342) 因此， ? ?j jzW ?構(gòu)成了 ? ?2LR空間的一系列正交子空間。 設(shè) ??? ?0,k t?為空間 0W 的一組正交基，且 ??t? 滿足容許性條件，可以證明， ? ?? ?,jk jzt? ?必然構(gòu)成了 ? ?2LR空間的一組正交基。此處， ??,jkt? 是由同一母函數(shù)伸 縮 平移得到的正交小波基，因而稱，??t? 為小函數(shù)， jW 是尺度為 j 的小波空間。 小波空間是相鄰兩個尺度空間的差。信號在兩個相鄰尺度空間投影之間的細(xì)小差別即為它在相應(yīng)尺度的小波空間上的投影，因此小波空間又可稱為細(xì)節(jié)空間。 (2)正交小波變換與多分辨率分析 根據(jù)多分辨率分析的定義 ： 0 1 1 2 2 1 ...V V W V W W? ? ? ? ? ? (343) 對于任意函數(shù) ?? 0f t V? ，可以將其分解為細(xì)節(jié)部分 1W 和大尺度逼 近部分 1V ,然后將大尺度通近部分 1V 進(jìn)一步分解，如此重復(fù)分解就得到任意尺度，即任意分辨率上的通近部分和細(xì)節(jié)部分。這即為多分辨率分析的框架。 當(dāng)把 ? ?2LR空間按以下空間組合展開至任意尺度 J 時 ： ? ?2 JjJjL R W V?????? (344) 則有 ： ? ? ? ? ? ?, , , ,Jj k j k J K J Kj k kf t d t C t????? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? (345) ? ? ? ?,j k j kd f t t?? (346) ? ?? ? ? ? ? ?0 ,n m nRV sp a n t n t n t m d t? ? ? ?? ? ? ? ?? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 第 21 頁共 45頁 ? ? ? ?,j k j kc f t t?? (347) 分別稱為小波系數(shù)和剩余系數(shù)。當(dāng) J?? 時，則有 : ? ? ? ?,j k j kjkf t d t?????? ???? ?? (348) 上 式對應(yīng)于 A=B=1 時的離散小波逆變換公式 332 。由于 A=B =1 時小波框架 為正交小波基，因此稱公式 345 和公式 348 為離散正交小波變換的分解公式。 (3)正交小波變換的快速算法 Mallat 經(jīng)過分析，得出了剩余系數(shù)和小波系數(shù)分解的迭代關(guān)系 ： ? ?1 , 0 ,2j k j mmc h m k c? ??? (349) ? ?1 , 1 ,2j k j mmd h m k c? ??? (350) 這即著名的 Mallat 塔式算法 .式中 0h ， 1h 是由尺度函數(shù)和小波函數(shù)決定的，稱為濾波器系數(shù)，并且 0h相當(dāng)于低通濾波器， 1h 相當(dāng)于高通濾波器 。 重建公式由下式給出 ： ? ? ? ?1 , , 0 , 122j k j k j kkkc c h m k d h m k? ? ? ? ??? (351) (4)離散序列的多分辨率分解 根據(jù)公式 349 和公式 350 可以得到離散序列的多分辨率分解電路結(jié)構(gòu)圖，如圖 所示 ： （ 352） 圖 二次分解電路結(jié)構(gòu) 這里將初始輸入序列 0,kc 看作離散序列，因此分解過程相當(dāng)于對它進(jìn)行雙通道濾波 .由于 0h 具有低通性質(zhì)，其輸出為離散信號的概貌，而 1h 具有高通性質(zhì)，其輸出為離散信號的高頻細(xì)節(jié)。同樣，根據(jù)公式 351 可得圖 的重建電路結(jié)構(gòu)圖： （ 353） 圖 二次重建電路結(jié)構(gòu)圖 3. 2. 1. 4 圖像信號的二維小波變換 對于二維圖像信號，可以用分別在水平和垂直方向進(jìn)行濾波的方法實現(xiàn)二 維 小波多分辨率分解 。圖 為相應(yīng)的二維頻域劃分示意圖。每經(jīng)過一級分解，當(dāng)前頻帶 1nLL? 被分為 4 個子帶,n n nLL LH HL 和 nHH 。 其中低頻帶 nLL 反映了圖像在下一尺度的概貌，其余 3 個子帶分別反映圖像在水平、垂直和對角線方向的高頻細(xì)節(jié)信息。 ? ?? ?? ? ? ?1 , 10,2 , 102 , 022 22kkkkd h kcd h k hkc h k?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ?? ?, 1,0 2 ,01 2 ,1 1 ,2222jk kkc ckkh k chkh k dh k d? ? ? ? ? ??? ? ? ???? ?? ? ? ???? ?? ?? ? ? ?? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 第 22 頁共 45頁 （ 354） (a )一級二維小波分解電路結(jié)構(gòu) （ 355） (b)重建電路結(jié)構(gòu) 圖 一 ， 二維圖像的 (一級 )分解和重建電路結(jié)構(gòu)圖 3. 3 總結(jié) 本章主要對基于圖像付利葉 變換和小波變換圖 像變換域去噪方法進(jìn)行了介紹，分兩部分。第一部分， 對圖像的二維離散付利葉變換進(jìn)行了介紹，并對基于離散付利葉變換的去噪方法進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹。第二部分 著重 對圖像的小波變換理論進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹。 以便為后面章節(jié)做準(zhǔn)備。 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?01011001111222222h k L Lhkh k L HL L Sh k H Lhkh k H H? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ???? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ????? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?100110101112 222 22L L h k hkL H h kLLHL h k hkHH h k???? ? ??? ? ???? ?? ?? ????? ? ? ??? ?? ??? ??? ? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 第 23 頁共 45頁 在頻域和空間域中已經(jīng)有很多傳統(tǒng)的去噪算法，但它們都是在減小噪聲的同時也會丟掉很多圖像的邊緣和紋理信息，或者是平滑了圖像的同時也模糊了邊緣。而由于小波變換具有獨特的多分辨率特性、使得它在對圖像去噪的同時可以保留更多的 邊緣信息、具有比傳統(tǒng)的去噪算法很大的優(yōu)越性。 在這一章我們主要研究了四種去噪的方法，一并對其中的一些方法進(jìn)行了去噪試驗。根據(jù)各種去噪方法的原理和實驗結(jié)果，對這些方法的優(yōu)缺點和特點進(jìn)行了分析，提出了自己的一些觀 點。首先根據(jù)多分辨分析的概念，利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪，在有些情況， 這是一種最簡單有效的方法。第二種方法是基于小波變換模極大值的原理，最初由 Mallat 提出的方法。 即根據(jù)信號和噪聲 在小波變換各個尺度上的不同傳播特性，剔除由噪聲產(chǎn)生的模極大值點， 保留信號所對應(yīng)的模極大值點，然后利用所余模極大值點， 重構(gòu)小波系數(shù)，進(jìn)而恢復(fù)信號。第三種方法是 Donnoho 提出的閾值去噪方法，該方法認(rèn)為信號對應(yīng)的小波系數(shù)包含信號的重要 信息、其幅值較大、但數(shù)目較少，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)是一致分布的，個數(shù)較多， 但幅值小。基于這一思想 ， Donnoho 等人提出軟閾值和硬閾值去噪方法，即在眾多小波系數(shù)中，一把絕對值較小的系數(shù)置為零、而讓絕對值較大的系數(shù)保留或收縮、然后進(jìn)行信號重構(gòu)、即可得到去噪的目的。第四種方法是基于圖像局域特性的自適應(yīng)小波去噪方法、一首先對含噪信號作小