【正文】 基于這一思想 ， Donnoho 等人提出軟閾值和硬閾值去噪方法，即在眾多小波系數(shù)中，一把絕對值較小的系數(shù)置為零、而讓絕對值較大的系數(shù)保留或收縮、然后進(jìn)行信號重構(gòu)、即可得到去噪的目的。 即根據(jù)信號和噪聲 在小波變換各個(gè)尺度上的不同傳播特性，剔除由噪聲產(chǎn)生的模極大值點(diǎn)， 保留信號所對應(yīng)的模極大值點(diǎn)，然后利用所余模極大值點(diǎn)， 重構(gòu)小波系數(shù)，進(jìn)而恢復(fù)信號。首先根據(jù)多分辨分析的概念，利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪，在有些情況， 這是一種最簡單有效的方法。 在這一章我們主要研究了四種去噪的方法，一并對其中的一些方法進(jìn)行了去噪試驗(yàn)。 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?01011001111222222h k L Lhkh k L HL L Sh k H Lhkh k H H? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??? ???? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ????? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?100110101112 222 22L L h k hkL H h kLLHL h k hkHH h k???? ? ??? ? ???? ?? ?? ????? ? ? ??? ?? ??? ??? ? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 第 23 頁共 45頁 在頻域和空間域中已經(jīng)有很多傳統(tǒng)的去噪算法，但它們都是在減小噪聲的同時(shí)也會(huì)丟掉很多圖像的邊緣和紋理信息，或者是平滑了圖像的同時(shí)也模糊了邊緣。第二部分 著重 對圖像的小波變換理論進(jìn)行了比較詳細(xì)的介紹。 ? ?? ?? ? ? ?1 , 10,2 , 102 , 022 22kkkkd h kcd h k hkc h k?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ?? ?, 1,0 2 ,01 2 ,1 1 ,2222jk kkc ckkh k chkh k dh k d? ? ? ? ? ??? ? ? ???? ?? ? ? ???? ?? ?? ? ? ?? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 第 22 頁共 45頁 （ 354） (a )一級二維小波分解電路結(jié)構(gòu) （ 355） (b)重建電路結(jié)構(gòu) 圖 一 ， 二維圖像的 (一級 )分解和重建電路結(jié)構(gòu)圖 3. 3 總結(jié) 本章主要對基于圖像付利葉 變換和小波變換圖 像變換域去噪方法進(jìn)行了介紹，分兩部分。每經(jīng)過一級分解，當(dāng)前頻帶 1nLL? 被分為 4 個(gè)子帶,n n nLL LH HL 和 nHH 。同樣，根據(jù)公式 351 可得圖 的重建電路結(jié)構(gòu)圖： （ 353） 圖 二次重建電路結(jié)構(gòu)圖 3. 2. 1. 4 圖像信號的二維小波變換 對于二維圖像信號，可以用分別在水平和垂直方向進(jìn)行濾波的方法實(shí)現(xiàn)二 維 小波多分辨率分解 。 (3)正交小波變換的快速算法 Mallat 經(jīng)過分析，得出了剩余系數(shù)和小波系數(shù)分解的迭代關(guān)系 ： ? ?1 , 0 ,2j k j mmc h m k c? ??? (349) ? ?1 , 1 ,2j k j mmd h m k c? ??? (350) 這即著名的 Mallat 塔式算法 .式中 0h ， 1h 是由尺度函數(shù)和小波函數(shù)決定的，稱為濾波器系數(shù)，并且 0h相當(dāng)于低通濾波器， 1h 相當(dāng)于高通濾波器 。當(dāng) J?? 時(shí)，則有 : ? ? ? ?,j k j kjkf t d t?????? ???? ?? (348) 上 式對應(yīng)于 A=B=1 時(shí)的離散小波逆變換公式 332 。這即為多分辨率分析的框架。信號在兩個(gè)相鄰尺度空間投影之間的細(xì)小差別即為它在相應(yīng)尺度的小波空間上的投影，因此小波空間又可稱為細(xì)節(jié)空間。此處， ??,jkt? 是由同一母函數(shù)伸 縮 平移得到的正交小波基，因而稱，??t? 為小函數(shù)， jW 是尺度為 j 的小波空間。 為了尋找一組 ? ?2LR空間的正交基，定義尺度空間的補(bǔ)空間 mW ，它是 mV 在 1mV? 中的補(bǔ)空間，即 ： 1 ,m m m m mV V W W V? ? ? ? (341) 顯然，任意子空間 mW 和 nW 是相互正交的，結(jié)合多分辨率分析性質(zhì)①②可知 ： ? ?2jjzL R W??? (342) 因此， ? ?j jzW ?構(gòu)成了 ? ?2LR空間的一系列正交子空間。,k k k kt t k k z? ? ??? (335) 定義 由 ??k t? 在 ? ?2LR空間張成的空間為 0V ，稱為零尺度空 ： ? ?? ?0 kV span t k z??? (336) 則對 0V 空間的任意 ??ft，有 ： ? ? ? ?kkkf t a t??? (337) 將尺度函數(shù)禱 )同時(shí)進(jìn)行位移和尺度伸縮，得到函數(shù)集合 ： ? ? ? ? ? ?2, 2 2 2j jjj k kt t k t? ? ?? ??? ? ? (338) 并稱 ? ?2 jk t? ?所張成的空間尺度為 j 的尺度空間 ： ? ? ? ? ? ?,2 ,f j kjkf t W T j k tAB ?? ? ? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 第 20 頁共 45頁 ? ?? ?2 jJkV span t k z? ??? (339) 同樣，對于 JV 空間的任意 f (t)，有 ： ? ? ? ?2jkkkf t a t??? ? (340) 定義 ： 多分辨率分析是指滿足以下 性質(zhì)的閉子空間序列 ? ?,JV j z? ： ①一致單調(diào)性 : 2 1 0 1 2. . . . . .V V V V V??? ? ? ? ? ? ②漸進(jìn)完全性 : ? ? ? ?20,iiV V L R? ? ? ? ③ 逗洲申縮規(guī)則性 ? ? ? ? 12jjf t V f t V j Z?? ? ? ?: ④位移不變性 : ? ? ? ?00 nf t V f t n V Z? ? ? ? ? ? ⑤正交基存在性 :存在 ?? 0tV? ? ，使得 根據(jù)多分辨率的定義可知，所有閉子空間 上 ? ?,jV j Z?都是由同一尺度函數(shù) ??t? 伸 縮后平移的系列構(gòu)成的尺度空間，稱 ??t? 為多分辨率分析的尺度函數(shù)。39。因此 MRA在小波變換理論中具有十分重要的地位。 MRA不僅為正交小波基的構(gòu)造提供了簡單的方法，而且為正交小波變換的快速算法提供了理論依據(jù)。在構(gòu)造正交基時(shí)，一般在離散框架的基礎(chǔ)上取 ： ? ?12, 2 2 ,mmn t n m n z??? ?? ? ? (334) 如何選擇母函數(shù) ??t? 使上述序列構(gòu) 成一個(gè)正交集，將通過多分辨率分析的方法解決。 (3)離散小波逆變換 如果離散小波序列 ? ?? ?? ?, ,jk t j k z? ?了一個(gè)框架， 其上，下界分別為 A 和 B，則當(dāng) A=B 時(shí) (稱為緊框架 )，離散小波變換的逆變換由下式給出 ： ? ? ? ? ? ?,1 ,f j kjkf t W T j k tA ?? ? (332) 當(dāng) A? B，但兩都比較接近時(shí)，重建公式近似為 ： (333) 研究表明，只有當(dāng) A=B=1 時(shí)，框架 ? ?? ?? ?, ,jk t j k z? ?變成正交集，此時(shí)經(jīng)框 架變換后的信息無任何冗余，但在其它情況下，框架 ? ?? ?? ?, ,jk t j k z? ?并不正交，具有一定的相關(guān)性，同樣，也存在類似的重建核。在離散化時(shí)通常對尺度按幕級數(shù)進(jìn)行離散化，即取 0mmaa? ( m 為整數(shù)， 0 1a? ，一 般取 0 2a? )，并且相應(yīng)地位移間隔取為 2msT ，得到離散小波 函數(shù) ： (327) 當(dāng)把 t 軸用 Ts 歸一化后，則有 : (328) 于是，任意函數(shù) f (t )的離散小波變換 DWT 為 ： ? ? ? ? ? ?,f m nRW T m n f t t d t???? (329) (2)小 波框架 為了在尺度及位移均離散時(shí)能夠重建原始信號，必須引入小波框架的概念。 , aaa a C t t d t? ? ? ?? ? ? ????? (326) K? 表征了連續(xù)尺度、時(shí)移為半平面 ? ?,a? 上的兩個(gè)不同點(diǎn) 之間的 CWT 系數(shù)的相關(guān)性，也稱之為再生核或重建核。 1, 39。,a??的相關(guān)性的大小，則 ? ? ? ? ? ?39。 若用 K? ,表示兩個(gè)基函數(shù) ? ?,a??與 ? ?39。而且由于小波基本身所具有的特點(diǎn)，函數(shù)投影到小波變換位置域后，有利于提取某些特征 。 根據(jù) CWT 的定義可知，小波變換同付利葉變換一樣，也是一處積分變換，稱 ? ?,fWT a? 為小波變換系數(shù) 。由于 a 和 : ? 均取連續(xù)變換的值，因此又稱 之為連續(xù)? ? 12, , 0 ,a tt a a Ra? ?? ? ????? ? ?????? ? 2R d?? ?? ??? 陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 第 18 頁共 45頁 小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù)必 ??t? 經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。圖 為一個(gè)小波的例子。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是 ： 設(shè) ??t? 為一平方可積函數(shù)，即 ?? 2tL? ? ，若其付利葉變換 ? ???滿足條件 ： (322) 則稱為 ??t? 為一 個(gè)基本小波或小波母函 數(shù)，并稱 L 式是小波函數(shù)的可容許條件 。將多尺度分析思想引入小波分析，提出了多分辨分析的概念，統(tǒng)一了在此之前所有具體小波基的構(gòu)造方法，并提出了相應(yīng)的分解與重構(gòu)快速算法 (稱為 Mallat 算法 )，有效的應(yīng)用于圖像分析與重構(gòu)。 1988 年，法國年輕的女?dāng)?shù)學(xué)家 Daubechies 提出了具有緊支集 的光滑正交小波基 Daubechies 基，這樣，小波分析的系統(tǒng)理論初步得到了建立。 1985 年，法國大數(shù)學(xué)家Meyer 首次提出光滑的小波正交基，后被稱為 Meyer 基，對小波理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。 1981 年， Stromberg 對 Haar 小波基進(jìn)行了改進(jìn)，證明了小波函數(shù)的存在性。第一個(gè)正交小波基是 A. Haar于 1910 年構(gòu)造的， A. Haar 提出了構(gòu)造正交小波基的伸縮和平移思想。小波變換克