【正文】 利用小波去噪函數(shù)去除給定圖像中的噪聲 本節(jié)給定的圖像 為二維信號，二維信號在小波域中的降噪方法的基本思想與。 39 3 小波函數(shù)的比較選?。?wname） 小波函數(shù)可以選取 一個(gè)正交小波，如 Daubechies（ dbN）， symlets（ symN），coiflets（ soifN）等。 得到去噪效果對比圖如圖 43所示。作用軟閾值的結(jié)果 39。 subplot(223),plot(xtsoft)。作用硬閾值的結(jié)果 39。 subplot(221),plot(xthard)。s39。,thr)。 % 作用硬閾值 xthard = wthresh(x,39。 [xref,x] = wnoise(3,11,snr,init)。 在 MATLAB下運(yùn)行如下語句： %軟門限閾值和硬門限閾值效果比較 snr = 3。當(dāng)38 SORH=‘ h’，則為硬閾值處理。軟閾值的連續(xù)性較好。 2 軟門限閾值和硬門限閾值處理比較（ SORH 的設(shè)置） 對于閾值函數(shù)的確定， Donoho 提出了兩種：硬閾值和軟閾值。 得到 4個(gè)去噪效果圖如圖 42所示。sym839。sln39。s39。minimaxi39。)。 [c,l] = wavedec(x,lev,39。 minimaxi 39。 subplot(224), plot(xd), axis([1 2048 10 10])。sym839。sln39。s39。minimaxi39。)。 title(39。)。,lev,39。,39。,39。 37 xd = wden(x,39。 heursure 39。 subplot(222), plot(xd), axis([1 2048 10 10])。sym839。one39。s39。heursure39。)。 title(39。)。,lev,39。,39。,39。 xd = wden(x,39。 [xref,x] = wnoise(3,11,snr,init)。 在 MATLAB中運(yùn)行以下語句： %不同閾值選取方式下濾波效果的比較 snr = 3。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，這種極值原理在于設(shè)計(jì)估計(jì)器。如果噪聲比很?。ü烙?jì)有很大的噪聲），在這種情況下，采用此種啟發(fā)式的閾值。 （ 2） TPTR=‘ sqtwolog’采用的是固定的閾值形式，產(chǎn)生的閾值大小事 sqrt（ 2*log（ length（ x）））。 TPTR的選擇有以下四種閾值規(guī)則： （ 1） TPTR=‘ rigrsure’是一種基于史坦的無偏似然估計(jì)（二次方程）原理的自適應(yīng)閾值選擇。)根據(jù)信號小波分解結(jié)構(gòu) [C,L]對信號進(jìn)行去噪處理。 （ 2） [XD,CXD,LXD] = wden(C,L,TPTR,SORH,SCAL,N,39。wname39。wname39。wname39。 圖 41 原始信號和含噪信號 各參數(shù)下的去噪效果對比 MATLAB工具箱提供了函數(shù) wden以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)利用小波進(jìn)行一維信號的去噪。,... num2str(fix(snr))])。 title([39。)。 title(39。 [xref,x] = wnoise(3,11,snr,init)。 35 下面的 MATLAB 語句產(chǎn)生信號： %產(chǎn)生一個(gè) Heavy sine 初始信號 x 和長度為 211點(diǎn)、含標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲的信號 xref snr = 3。其語法格式為： X = wnoise(FUN,N) [X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR) [X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR,INIT) （ 1） X = wnoise(FUN,N)產(chǎn)生幅值在 [0， 1]之間長度為 2N 的信號，信號的類型由 FUN指定： FUN=1 BLOCKS 產(chǎn)生不規(guī)則的方波信號 FUN=2 BUMPS 產(chǎn)生低頻噪聲 FUN=3 HEAVY SIN 產(chǎn)生隨機(jī)間斷的正弦信號 FUN=4 DROPLER 產(chǎn)生 chirp信號 FUN=5 QUADCHIRP 產(chǎn)生 4次調(diào)頻信號 FUN=6 MISHMASH 產(chǎn)生混雜信號 （ 2） [X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR)產(chǎn)生含有白噪聲的信號 XN， SQRT_SNR是信號的噪聲比。 實(shí)驗(yàn)信號的產(chǎn)生 該節(jié)所 用到的實(shí)驗(yàn)信號是由 wnoise（）函數(shù)產(chǎn)生的長度為 211點(diǎn)、含標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲、信噪比為 3的‘ heavy sine’信號。 小波去噪對比試驗(yàn) 接下來按照上述小波閾值變換在信號去噪中的算法及小波閾值函數(shù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，仿真程序采用 MATLAB語言編寫。 XC 是降噪后的信號，[CXC,LXC]是 XC 的小波分解結(jié)構(gòu)， PHRF0 和 PERFL2 是恢復(fù)和壓縮 L2的范數(shù)百分34 比。 SORH 表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為‘ s’和‘ h’）。 N 表示小波分解的層數(shù)。 gbl（ global）表示每層都采用同一個(gè)閾值進(jìn)行處理。它使用小波對信號或圖像執(zhí)行降噪過程。,N,THR,SORH) 函數(shù) wdencmp的功能是使用小波進(jìn)行降噪。,C,L,39。,N,THR,SORH) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。,X,39。,N,THR,SORH,KEEPAPP) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。,X,39。 其語法格式為： [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。 其語法格式為： [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（ IN1， IN2， X） [THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（ IN1，‘ wv’ ， X） [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]= ddencmp（ IN1，‘ wp’ ， X） 2 閾值降噪 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有 wden、 wdencmp、 wpdencmp、 wthresh、wpthcoef和 wthcoef2。 函數(shù) ddencmp的功能是獲取降噪或壓縮的默認(rèn)值。 1 閾值獲取 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有 ddencmp、 select、 wbmpen 和 wdcbm2。從直觀上講 ,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 33 小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。這是一種實(shí)現(xiàn)簡單而效果較好的降噪方法，閾值降噪方法的思想很簡單，就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進(jìn)行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。 估計(jì)小波系數(shù)的方法如下，?。? ? ?Nlog2?? ? （ 41） 定義： ????? ??? ??kjkjkjkj WWWW,^ ,0 , （ 42） 稱之為硬閾值估計(jì)方法。對 ??kf 連續(xù)做幾次小波分解后，有空間分布不均勻信號 ??ks 各尺度上小波系數(shù) kjW, 在某些特定位置有較大的值，這些點(diǎn)對應(yīng)于原始信號 ??ks 的奇變位置和重要信息，而其他32 大部分位置的 kjW, 較小；對于白噪聲 ??kn ，它對應(yīng)的小波系數(shù) kjW, 在每個(gè)尺度上的分不都是均勻的，并隨尺度的增加， kjW, 系數(shù)的幅值減小。 小波閾值去噪方法 小波閾值去噪的基本思路是： （ 1）先對含噪信號 ??kf 做小波變換，得到一組小波系數(shù) kjW, ； （ 2）通過對 kjW, 進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)系數(shù) kjW,^ ，使得 kjW,^ 與 kjW, 兩者的差值盡可 能小； （ 3）利用 kjW,^ 進(jìn)行小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號 ??kf 即為去噪后的信號。 但是，隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來越少，并且趨于分散，去噪的 效果將逐漸降低。 去噪時(shí)，通常認(rèn)為低通系數(shù)含有大量的圖像能量，一般不作處理，只對剩余三個(gè)高通部分進(jìn)行處理。 該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小波變換后具有不同的統(tǒng)計(jì)特性：圖像本身的能量對應(yīng)著幅值較大的小波系數(shù) ,主要集中在高頻（ LL ）；噪聲能量則對應(yīng)著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。所以，進(jìn)行一次小波變換得到 4個(gè)子帶，進(jìn)行 M 次分解就得到 3 M+1個(gè)子帶，如圖 31。分辨率為原來的 1/2，頻率范圍各不相同。對圖像進(jìn)行小波變換就是用低通濾波器 h 和高通濾波器 g 對圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積），然后進(jìn)行二取一 的下抽樣。先沿 1x 方向分別用? ?1x? 和 ? ?2x? 做分析，把 ? ?21,xxf 分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿 2x 方向用 ? ?2x? 和 ? ?1x? 做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng) ? ?1x? ， ? ?2x? 處理所得的一路是第一級平滑逼近 ? ?211 ,xxfA ，其它三路輸出 ? ?2111 ,xxfD ， ? ?2121 ,xxfD ，? ?2131 ,xxfD 都是細(xì)節(jié)函數(shù)。若尺度函數(shù)可分離，即： ? ? ? ? ? ?2121 , xxxx ??? ?? 。由于圖像是二維信號，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。所以對應(yīng)的離散小波函數(shù)??tkj,? 即可寫作： ? ? ? ?000000,11 kbtaaa bkatat jjojkj ?????????? ?? ???? (310) 而離散化小波變換系數(shù)則可 表示為： ? ? ? ? 0, ,. ??? ?????? kjkjkj fdtttfC ?? (311) 其重構(gòu)公式為： ? ? ? ?tCCtf kjkj , ?? ???? ???? 29 (312) C是一個(gè)與信號無關(guān)的常數(shù)。為方便起見，在離散化中，總限制 a 只取正值。在 公式 (33)中 ， a ,b ∈R。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù) b的，而不是針對時(shí)間 t的。 離散小波變換 在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。所以，先通過望遠(yuǎn)鏡看清全貌，進(jìn)而通過顯微鏡觀察我們最感興趣的細(xì)節(jié)?？梢哉f，尺度因子類似于地圖中的比例因子，大的比例 (尺度 )參數(shù)看全局而小的比例 (尺度 )參數(shù)看局部細(xì)節(jié)。也就是說，小波應(yīng)28 具有振蕩性，而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的 (Compact Support)，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)應(yīng)有速降特性，以便獲得空間局域化。 ② 小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù) ??tba,? 存在許多可能的選擇 (例如，它們可 能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的 )。 （ 5） 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔 redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面： ① 由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。 （ 2） 平移不變性：若 ??tf 的小波變換為 ? ?baWf , ，則 ? ???tf 的小波變換為? ???baWf , 。為了使信號重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了 滿足 重構(gòu)條件外，還要求 ??t? 的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： ? ? BwA j ?? ????? ? 2^2? (39) 式中， ???? BA0 。在大尺度 a上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對于較小的 a則搜索細(xì)節(jié)特征。通常情況下，基本小波 ??t? 以原點(diǎn)為中心，因此 ??tba,? 是基本小波 ??t? 以 bt? 為中心進(jìn)行伸縮得到。,1, ???????? ?? aRbaa btatba 其中?? (33) 稱其為一個(gè)小波序列。事實(shí)上，任何均值為零 (即 ? ? 0????? dtt? )且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減為零 (空間局域化特征 )的帶通濾波器的沖激響應(yīng) (傳遞函數(shù) )，都可以作為一個(gè)基本小波。其中，當(dāng) 0?w 時(shí)，有 ??w? =0，即 ? ? 0????? dtt?同時(shí)有 ? ? 0??? 。 小波理論的基本概念 連續(xù)小波變換 設(shè) ?? ? ?RLt 2?? ，其傅里葉變換為 ??w? ，當(dāng) ??w? 滿足允許條件 (完全重構(gòu)條件 )： ? ??????????RdwwwC2^??