【導(dǎo)讀】圖像是人類(lèi)傳遞信息的主要媒介。然而,圖像在生成和傳輸?shù)倪^(guò)程中會(huì)受到各種噪。聲的干擾,對(duì)信息的處理、傳輸和存儲(chǔ)造成極大的影響。尋求一種既能有效地減小噪聲,又能很好地保留圖像邊緣信息的方法,是人們一直追求的目標(biāo)。小波分析是局部化時(shí)頻。分析,它用時(shí)域和頻域聯(lián)合表示信號(hào)的特征,是分析非平穩(wěn)信號(hào)的有力工具?？s、平移等運(yùn)算功能對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析,能有效地從信號(hào)中提取信息。分析有著很大的優(yōu)勢(shì),它能在去噪的同時(shí)保留圖像細(xì)節(jié),得到原圖像的最佳恢復(fù)。經(jīng)典的小波變換去噪方法。對(duì)于小波變換模極大值去噪法,詳細(xì)介紹了其去噪原理和算。最后對(duì)這些方法進(jìn)行了分析比較,討論了它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)和適用條件,并給出。在眾多基于小波變換的圖像去噪方法中,運(yùn)用最多的是小波閾值萎縮去噪法。但是硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)容易出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象;而軟閾值函數(shù)雖。本文提出了一種基于小波多分辨率分析和最小均方誤差準(zhǔn)則的自適應(yīng)閾值去噪算法。

　　

【正文】 析時(shí)有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題也是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，目前往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或不斷的實(shí)驗(yàn)，將不同的分析結(jié) 果進(jìn)行對(duì)照分析來(lái)選擇小波函數(shù)。一個(gè)重要的經(jīng)驗(yàn)就是根據(jù)待分析信 號(hào)和小波函數(shù)的相似性選取，而且此時(shí)要考慮小波的消失矩、正則性、支撐長(zhǎng)度等參數(shù)。 （ 3）在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅里葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式，但在時(shí)域中，傅里葉變換沒(méi)有局部化能力，即無(wú)法從信號(hào) ??tf 的傅里葉變換??wF 中看出 ??tf 的在任一時(shí)間點(diǎn)附近的 性態(tài)。因此，小波變換在對(duì)瞬態(tài)信號(hào)分析中擁有更大的優(yōu)勢(shì)。 （ 4）在小波分析中，尺度 a 的值越大相當(dāng)于傅里葉變換中 w 的值越小。 （ 5）在短時(shí)傅里葉變換中，變換系數(shù) ? ??,wGf 主要依賴(lài)于信號(hào)在時(shí)間窗內(nèi)的情況，一旦時(shí)間窗函數(shù)確定，則分辨率也就確定了。而在小波變換中，變換系數(shù)? ?baWT , 雖然也是依賴(lài)于信號(hào)在時(shí)間窗內(nèi)的情況，但時(shí)間寬度是隨尺度 a 的變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析的能力。因此，小波變換也可以看成是信號(hào)局部奇異性分析的有效工具。 （ 6）若用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)解釋?zhuān)〔ㄗ儞Q與短時(shí)傅里葉變換不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅里葉變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬 w? 與中心頻率 w 無(wú)關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬 w? 則正比于中心頻率 w ，即 : CQ w??? (C 為常數(shù) ) () 也就是濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱(chēng)之為等 Q 結(jié)構(gòu)（ Q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)，且 .有 Q=中心頻率 /帶寬）。我們希望在對(duì)低頻信號(hào)分析時(shí)，頻域用高分辨率，在對(duì)高頻信號(hào)分析時(shí)，頻域用低分辨率，該等 Q 結(jié)構(gòu)恰好符合該要求。 （ 7）從框架角度來(lái)說(shuō)傅里葉變換是一種非冗余的正交緊框架，而小波變換卻可以實(shí)現(xiàn)冗余的非正交非緊框架。 本章小結(jié) 本 章主要介紹了小波變換、圖像小波變換及其與傅立葉變換的關(guān)系等的基本原理，著重介紹了圖像和信號(hào)的多分辨率分析，因?yàn)樗菍?duì)信號(hào)和圖像進(jìn)行分析的關(guān)鍵，也是本文后續(xù)章節(jié)研究的理論基礎(chǔ)。 3 傳統(tǒng)去噪方法 由于噪聲源眾多 (如光柵掃描、底片顆粒、機(jī)械元件、信道傳輸?shù)?)，噪聲種類(lèi)復(fù)雜 (如量化噪聲、乘性噪聲、加性噪聲、“椒鹽”噪聲等 )，所以去噪的方法也很多。去噪既可以在空域進(jìn)行也可以在頻域（變換域）進(jìn)行，前者即是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對(duì)像素的灰度值進(jìn)行處理。變換域法是在圖像的變換域上進(jìn)行處理，對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng) 的處理，然后進(jìn)行反變換達(dá)到圖像去噪的目的。傳統(tǒng)的圖像去噪是在空域?qū)崿F(xiàn)的。空域圖像去噪算法可分為線性方法與非線性方法兩大類(lèi)。線性方法提出較早，具有較完備的理論基礎(chǔ)，均值濾波是其典型代表（均值濾波適合于噪聲為零均值的高斯噪聲）。 1974 年 Tukey 首先將非線性的濾波算法（中值濾波）應(yīng)用于圖像處理，由于該方法在保護(hù)圖像細(xì)節(jié)的同時(shí)能有效地濾除沖激噪聲，因此在圖像去噪領(lǐng)域得到了較為廣泛地應(yīng)用。 空域?yàn)V波 （ 1） 均值濾波 對(duì)一些圖像進(jìn)行線性濾波可以去除圖像中某些類(lèi)型的噪聲，如采用鄰域平均法的局部均值濾波器就非 常適合用于去除掃描圖像中的顆粒噪聲。鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。 均值濾波的思想是：對(duì)于給定一幅 NN? 的圖像 ? ?yxf , ，圖像中的每個(gè)像素點(diǎn)? ?yx, ，去噪后的圖像 ? ?yxg , ，去噪后圖像中的每個(gè)像素的灰度級(jí)由包含 ? ?yx, 鄰域的幾個(gè)像素的灰度級(jí)的平均值所決定。也就是說(shuō)，用某一像素鄰域內(nèi)各像素的灰度平均值來(lái)代替該像素原來(lái) 的灰度值。即用下式得到處理后的圖像： ? ? ? ?? ???? wjiM yxfyxg ,1 , （ ） 式中 。1,... ,2,1,0, ?? Nyx w 是以點(diǎn) ? ?yx, 為中心的鄰域的集合， M 是 w 內(nèi)坐標(biāo)的總數(shù)。圖像鄰域平均法的處理效果與所用的鄰域半徑有關(guān)。半徑越大，則圖像的模糊程度也越大。此外，圖 像鄰域平均法算法簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，但它的主要缺點(diǎn)是在降低噪聲的同時(shí)使圖像產(chǎn)生模糊，特別在邊緣和細(xì)節(jié)處，鄰域越大，模糊越厲害。 另外，從實(shí)現(xiàn)難易程度上看，線性平滑濾波器比較容易實(shí)現(xiàn)，在信號(hào)頻譜和噪 聲頻譜具有顯著不同特征時(shí)，表現(xiàn)出較好的性能。然而，在實(shí)際的圖像處理過(guò)程中，線性濾波器也不能完全去除脈沖噪聲。因此在許多應(yīng)用場(chǎng)合，選用中值濾波來(lái)克服這些問(wèn)題。 (2） 中值濾波 中值濾波是一種非線性濾波 [21， 22]，由于它在實(shí)際運(yùn)算過(guò)程中并不需要圖像的統(tǒng)計(jì)特性，所以比較方便。中值濾波首先是被應(yīng)用在一維信號(hào)處理技術(shù)中，后 來(lái)被二維圖像信號(hào)處理技術(shù)所引用。在一定的條件下，可以克服線性濾波器所帶來(lái)的圖像細(xì)節(jié)模糊，而且對(duì)濾除脈沖干擾及圖像掃描噪聲最為有效。但是對(duì)一些細(xì)節(jié)多，特別是點(diǎn)、線、尖頂細(xì)節(jié)多的圖像不宜采用中值濾波的方法。 中值濾波的基本原理是把數(shù)字圖像或數(shù)字序列中一點(diǎn)的值用該點(diǎn)的一個(gè)鄰域中各點(diǎn)值的中值代替。 對(duì)于給定的 n 個(gè)數(shù)值 ? ?naaa ,..., 21 ，將它們按大小順序排列。當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，位于中間位置的數(shù)值稱(chēng)為這 n 個(gè)數(shù)值的中值。當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，則將位于中間位置的兩個(gè)數(shù)值的平均值稱(chēng)為這 n 個(gè)數(shù)值的中值，記作 ? ?naaamed ,..., 21 。中值濾波就是圖像濾波后某個(gè)像素的輸出等于該像素鄰域中各個(gè)像素灰度的中值。對(duì)于二維信號(hào)進(jìn)行中值濾波時(shí)，濾波窗口也是二維的，但這種二維窗口可以有各種不同的形狀，例如線狀、方形、圓形、十字形、圓環(huán)形等。 一般在實(shí)際使用窗口時(shí)，窗口的尺寸一般先用小窗口，然 后再逐漸增大窗口，直到其濾波效果滿(mǎn)意為止。與平均濾波器相比，中值濾波器從總體上來(lái)說(shuō)，它能夠較好地保留原圖像中的躍變部分。相比較于局部均值濾波，中值濾波有以下優(yōu)點(diǎn)： ①降噪效果比較明顯； ②在灰度值變化比較小的情況下，可以得到很好的平滑效果； ③降低了圖像邊界的模糊程度，但有時(shí)會(huì)失掉圖像中的細(xì)節(jié)和小塊的目標(biāo)區(qū)域。在有些情況下，中值濾波在降低了噪聲的同時(shí)也抑制了信號(hào)。也就是說(shuō)，中值濾波在去除脈沖噪聲的同時(shí)較好地保持了圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息，解決了多數(shù)線性濾波在去噪的同時(shí)模糊圖像這一缺點(diǎn)，復(fù)原效果較好。但是對(duì)于大面積 的噪聲污染，例如高斯分布的白噪聲，在均方誤差準(zhǔn)則下，中值濾波的能力卻不及均值濾波。這是因?yàn)闉V波窗口 (即鄰域 )中如果多數(shù)圖像點(diǎn)被噪聲污染，中值濾波的輸出仍然是某 個(gè)被噪聲污染了的像素，而均值濾波卻對(duì)噪聲進(jìn)行了求均值運(yùn)算，在某種程度上對(duì)噪聲進(jìn)行了平滑。 （ 3） 均值濾波與中值濾波結(jié)合 均值濾波與中值濾波結(jié)合會(huì)產(chǎn)生混合濾波器?；旌蠟V波器的思想是對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行級(jí)聯(lián)式的濾波處理，或稱(chēng)為迭代處理。級(jí)聯(lián)的方法有兩種：一種是中值濾波級(jí)聯(lián)線性濾波，簡(jiǎn)稱(chēng) ML 型，如式 所示 ： ? ? ? ?? ?? ???? wjiM yxfm edyxg ,1 , （ ） 另一種是線性濾波級(jí)聯(lián)中值濾波，簡(jiǎn)稱(chēng) LM 型，如式 33 所示： ? ? ? ?? ? ??????? ?? wjiM yxfm edyxg ,1 , （ ） 如果圖像是由許多灰度值相近的小塊組成，采用 ML 型濾波效果較好。如果噪聲是以孤立的點(diǎn)的形式出現(xiàn)，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像素?cái)?shù)較少，而圖像則是由像素?cái)?shù)較多、面積較大的小塊構(gòu)成，則采用 LM 型濾波效果較好。 混合型濾波器與均值濾波器和中值濾波器相比較，無(wú)論是 ML 型還是 LM 型濾波器的濾波效果都比使用單純的中值濾波器和均值 濾波器的濾波效果要明顯。而且，濾波后的圖像清晰明亮、便于觀察。 頻域低通濾波法 [23] 對(duì)于一幅圖像來(lái)說(shuō)在分析其頻率特性時(shí)，它的邊緣，突變部分以及顆粒噪聲往往代表圖像信號(hào)的高頻分量，而大面積的圖像背景區(qū)則代表圖像信號(hào)的低頻分量。根據(jù)此特點(diǎn)使用濾波的方法濾除其高頻部分也就能夠去除噪聲，使圖像得到一定的平滑。由卷積定理知識(shí)可知空間域的卷積就等于變換域里信號(hào)和濾波器的頻域形式相乘，即有： ? ? ? ? ? ?vuFvuHvuG , ? （ ） 其中， ? ?vuF , 是含噪聲圖像的傅里 葉變換 ? ?vuG, 是平滑后圖像的傅里 葉變換，? ?vuH , 是低通濾波器傳遞函數(shù)。利用 ? ?vuH , 使 ? ?vuF , 的高頻分量得到抑制，然后得到 ? ?vuG, ，后再經(jīng)過(guò)反變換就得到降噪后的圖像 ? ?yxg , 了。下面簡(jiǎn)單介紹一下頻域中常見(jiàn)的低通濾波器。 （ 1） 理想低通濾波器（ ILPF） 一個(gè) 2D 理想低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)滿(mǎn)足下列條件： ? ? ? ?? ???? ??00,0 ,1, DvuD DvuDvuH ?如如 （ ） 式中 0D 是一個(gè)非整數(shù)，稱(chēng)為理想低通濾波器的截止頻率。 ? ?vuD, 代表從點(diǎn) ? ?vu,到頻率平面的原點(diǎn)的距離，有： ? ? ? ? 2122, vuvuD ?? （ ） 理想低通濾波器在處理過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象。這是因?yàn)? ?vuH , 在 0D 處由 1 突變到 0，這種理想的 ? ?vuH , 的時(shí)域形式即 ? ?vuH , 對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng) ? ?yxh , 在空域中表現(xiàn)為同心環(huán)的形式，并且此同心環(huán)半徑與 0D 成反比 。 0D 越小，同心環(huán)半徑越大，模糊程度愈厲害。正是由于理想低通濾波器存在此“振鈴”現(xiàn)象，致使其平滑效果不理想。 （ 2）巴特沃思低通濾波器（ BLPF） 巴特沃思低通濾波器又稱(chēng)作最大平坦濾波器。與理想低通濾波器不同，它的通帶與阻帶之間沒(méi)有明顯的不連續(xù)性，因此它在空域中的響應(yīng) “振鈴”效應(yīng)不明顯，模糊程度減少。一個(gè)階為 n ，截止頻率為 0D 的巴特沃思低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為： ? ?? ?? ? nDvuDvuH 20,1 1, ?? （ ） 與理想低通濾波器相比，巴特沃思低通濾波器保留有較多的高頻分量，所以對(duì)噪聲的平滑效果不如理想低通濾波器。 （ 3）指數(shù)低通濾波器（ ELPF） 指數(shù)低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為： ? ? ? ?? ?? ?2, 0e x p, nDvuDvuH ?? （ ） 因?yàn)橹笖?shù)低通濾波器具有比較平滑的過(guò)濾帶，經(jīng)此平滑后的圖像“振鈴”效應(yīng)不明 顯，與理想低通濾波器和巴特沃思低通濾波器相比，指數(shù)低通濾波器具有更快的衰減特性，因此指數(shù)低通濾波器濾波后的圖像比巴特沃思低通濾波器處理的圖像稍微模糊。 綜上所述，圖像的經(jīng)典去噪方法主要有兩大類(lèi)，一 類(lèi) 是基于空間域的處理方法， 一 類(lèi) 是基于頻域的處理方法。對(duì)于經(jīng)典去噪方法來(lái)說(shuō)，要么完全在頻率域，要么完全在空間域。這兩類(lèi)消噪方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊緣細(xì)節(jié)信息，造成圖像模糊。因此，提出了基于小波變換的去噪方法研究。小波分析由于在時(shí)域頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)和多分辨率分析的特點(diǎn) ，能有效地把信號(hào)和噪聲區(qū)別開(kāi)來(lái)，與傳統(tǒng)的去噪方法相比較，有著無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn)，成為信號(hào)分析的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。 4 基于小波變換的圖像去噪技術(shù) 小波變換在時(shí)頻域具有很好的局部性，其變尺度的特性使得小波變換對(duì)確定的信號(hào)具有一種“集中”的能力 [24]。如果一個(gè)信號(hào)的能量在小波變換域集中于少數(shù)系數(shù)上，那么，這些系數(shù)的取值大于在小波變換域內(nèi)能量分散在大量系數(shù)上的信號(hào)或噪聲的小波系數(shù)值。含有噪聲的圖像經(jīng)過(guò)小變換后，圖像信號(hào)和噪聲信號(hào)表現(xiàn)出不同的特征：信號(hào)的能量主要集中在一些亮線上，而大部分系數(shù)的值逼近于 0；噪聲的分布 和信號(hào)的分布相反，它的系數(shù)均勻分布于整個(gè)尺度空間，幅度相差不大 (在大尺度下會(huì)對(duì)噪聲起到一定的平滑作用 )。這一特性為基于小波變換的圖像去噪提供了依據(jù) 。 常見(jiàn)的去噪方法 小波去噪的實(shí)質(zhì)是尋找從實(shí)際信號(hào)空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，從而得到原信號(hào)的最佳恢復(fù)。從信號(hào)學(xué)的角度看，小波去噪是一個(gè)信號(hào)濾波的問(wèn)題，由于在去噪后，還能夠成功地保留圖像特征，所以小波去噪實(shí)際上也是特征提取和低通濾波功能的綜合。其流程圖如圖 所示。 圖 小波去噪過(guò)程 小波分解 小波逆變換 小波系數(shù)處理 原始圖像 小波圖像 處理后小波圖像 去噪圖像 由圖 可知，尋求基于小波變換的去除噪聲最佳方法的過(guò)程，實(shí)際上也就是尋求最佳的小波系數(shù)處理方法的過(guò)程。根據(jù)對(duì)小波系數(shù)處理方式的不同，常見(jiàn)的去噪方法可分為三類(lèi) ： ①模極大值檢測(cè)法；②小波系數(shù)相關(guān)去噪法；③閾值去噪法。 （ 1） 模極大值檢測(cè)法 [25] 信號(hào)的奇異性是指信號(hào)某處有間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。顯然，無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù)是光滑的或者