【正文】 應(yīng)運(yùn)而生。 一般情況下采集到的數(shù)字圖像是含有噪聲的。圖像在生成和傳輸?shù)倪^(guò)程中灰受 到各種噪聲的干擾，對(duì)信號(hào)的處理、傳輸和存儲(chǔ)造成極大的影響。對(duì)于這種“污染”，如果信噪比 (SNR)低于一定水平，就會(huì)影響圖像場(chǎng)景內(nèi)容的表示，直接導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降。對(duì)于圖像在采集、獲取過(guò)程造成的“污染”，我們雖然盡量提高硬件設(shè)備以獲取質(zhì)量更高的圖像，但圖像傳感器的截止頻率 總是有一定的，受硬件水平和價(jià)格的限制，且圖像在編碼和傳輸過(guò)程中造成的“污染”，必需采取有效的降噪技術(shù)才能提高圖像的質(zhì)量。取出或減輕在獲取數(shù)字圖像中的噪聲稱為圖像去噪。不管在哪種域內(nèi)進(jìn)行去噪，但它們都是基于噪聲和信號(hào)在頻域上的不同分布規(guī)則為依據(jù)的，一般情況下，有用信號(hào)是主要分布在低頻區(qū)域的，而噪聲則是多分布在高頻區(qū)域的，然 而由于圖像的細(xì)節(jié)也是分 布在高頻區(qū)域的，因此如何在減少圖像噪聲的同時(shí)保留圖像的細(xì)節(jié)問(wèn)題便成為圖像去噪技術(shù)的研究目標(biāo)。例如均值濾波器、順序統(tǒng)計(jì)濾波器、維納濾波器等。將圖像從 時(shí)域轉(zhuǎn)換到變換域的變換方法很多，例如傅立葉變換、小波變換等等。 小波變換是在短時(shí)傅立葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種新型的變換方法。 圖像噪聲分類(lèi) 目前大多數(shù)數(shù)字圖像系統(tǒng)中，輸入圖像都是采用先凍結(jié)再掃描方式將多維圖像變成一維電信號(hào)，再對(duì)其進(jìn)行處理、存儲(chǔ)、傳輸?shù)燃庸ぷ儞Q。 噪聲對(duì)圖像信號(hào)幅度、相位的影響非常復(fù)雜，有些噪聲和圖像信號(hào)是相互獨(dú)立不相關(guān)的，而有些則是相關(guān)的，并且噪聲本身之間也可能相關(guān)。一般圖像去噪中常見(jiàn)的噪聲有以下幾種： （ 1）加性噪聲 加性噪聲和圖像信號(hào)強(qiáng)度是不相關(guān)的，如圖像在傳輸過(guò)程中引進(jìn)的“信道噪聲”電視攝像機(jī)掃描圖像的噪聲等。 （ 4）“椒鹽”噪聲 此種噪聲很多，例如在圖像切割過(guò)程中引起的黑圖像上的白點(diǎn)、白圖像上的黑點(diǎn)噪聲等，還有在變換域引入的誤差 ，在圖像反變換時(shí)引入的變換噪聲等。這些噪聲一般都是簡(jiǎn)單的加性噪聲，不會(huì)隨著圖像信號(hào)的改變而改變。 圖像去噪效果的評(píng)價(jià) 。這是因?yàn)橐粋€(gè)圖像經(jīng)過(guò)去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量好壞，對(duì)于人們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。目前由于對(duì)人的視覺(jué)系統(tǒng)性質(zhì)還沒(méi)有充分的理解，對(duì)人的心理因素還沒(méi)有找到定量分析方法。另一類(lèi)是圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來(lái)考慮。它只是一種定性的方法，沒(méi)有定量的標(biāo)準(zhǔn)，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評(píng)價(jià)結(jié)果有一定的不確定性。國(guó)際上通行的有 5 級(jí)評(píng)分的質(zhì)量尺度和妨礙尺度 [3]，如表 所示 。 在有些情況下，也可以提供一組標(biāo)準(zhǔn)圖像作為參考，幫助觀察者對(duì)圖像質(zhì)量做出合適的評(píng)價(jià)。 客觀評(píng)價(jià) 盡管主觀對(duì)去噪后圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)是比較權(quán)威的方式，但是在一些研究場(chǎng)合，或者由于試驗(yàn)條件的限制，也希望對(duì)去噪圖 像質(zhì)量有一個(gè)定量的客觀描述。 對(duì)于彩色圖像逼真度的定量表示是一個(gè)十分復(fù)雜的問(wèn)題 [3]。合理的測(cè)量方法應(yīng)和主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，而且要求簡(jiǎn)單易行。 （ 3） 峰值信噪比 ? ?PSNR ： ? ? NffPSN R 239。f 表示處理后的圖像的灰度， f 表示原始圖像的灰度， N 表示圖像像素的個(gè)數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，峰值信噪比 PSNR 是圖像處理中最常用的圖像質(zhì)量評(píng) 價(jià)的客觀標(biāo)準(zhǔn) 。 近些 年來(lái)，小波理論 得到了非常迅速的發(fā)展，基于小波分析的圖像去噪技術(shù)也隨著小波理論的不斷完善取得了較好的效果。后來(lái)，人們根據(jù)信號(hào)與噪聲在小波變換下模極大值在各尺度上的不同傳播特性，提出了基于模極大值去噪的基本思想?！靶〔ㄊ湛s”被 Donoho 和 Johnstone 證明是在極小化極大風(fēng)險(xiǎn)中最優(yōu)的去噪方法，但在這種方法中最重要的就是確定閾值。從這之后的小波去噪方法也就轉(zhuǎn)移到從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)來(lái)提高去噪的效果。這些方法均取得了較好的效果，對(duì)小波去噪的理論和應(yīng)用奠定了一定的基礎(chǔ)。但如何采取一定的技術(shù)消除圖像噪聲的同時(shí)保留圖像細(xì)節(jié)仍是圖像預(yù)處理中的重要課題。 主要工作 小波理論雖經(jīng)過(guò)多年發(fā)展，并取得了許多非常重要的研究成果。 本文 在前人提出的有關(guān)小波應(yīng)用的基礎(chǔ)上 ，展開(kāi)更加系統(tǒng)、深入的分析和研究。 第一章為緒論，首先簡(jiǎn)單介紹了圖像去噪的意義，噪聲的特性和圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)方法。 第二章主要介紹連續(xù)小波變換、離散小波變換、小波變換性質(zhì)和多分辨分析。 第三章 主要對(duì)傳統(tǒng)的去噪方法進(jìn)行了總結(jié)和對(duì)比，主要列舉了空域?yàn)V波法和頻域低通濾波法，指出其去噪的不足。 第五章 為結(jié)束語(yǔ)，對(duì)全文加以總結(jié)。傅立葉分析為信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述之間的相互轉(zhuǎn)換建立了橋梁，其實(shí)質(zhì)是將信號(hào)分解成不同頻率的正弦信號(hào)的疊加 ，從而刻畫(huà)出信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)分布。然而很多非平穩(wěn)信號(hào)，如音樂(lè)、語(yǔ)音信號(hào)等它們的頻域特性都隨著時(shí)間的變化而改變，也就很難表示出這些信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻率特征。為了盡可能的反映頻域特征隨時(shí) (空 )間的變化，前人做了很多探索，將時(shí) (空 )、頻兩域結(jié)合起來(lái)對(duì)信號(hào)予以描述，提出了時(shí)頻局部化分析方法，如短時(shí)傅立 葉變換，也稱窗口傅立葉變換，特別是 Dennis Gabor 選擇 Gauss 函數(shù)作為最佳窗口函數(shù)，即著名的 Gabor 變換。但由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無(wú)關(guān)而保持不變，所以窗口傅立葉變換只是單一分辨率的分析。 針對(duì)這種情況，在 20 世紀(jì) 80 年代興起的小波分析是一種窗口面積固定但形狀可變的時(shí)頻局部化分析方法，即具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。特別是近年來(lái)，小波變換作為一種數(shù)學(xué)理論和方法在科學(xué)技術(shù)和工程界引起了越來(lái)越多的關(guān)注和重視。 小波分析的產(chǎn)生 [12] 小波分析的思想最早出現(xiàn)在 1910 年 Haar 提出了小波規(guī)范正交基。 1946 年， Gabor 提出窗口 Fourier 變換，對(duì) Fourier變換的不足起到了一定的彌補(bǔ) 作用。 1965 年， Calderon 給出了再生公式。 1975 年， Calderon用他早先提出的再生公式給出了 1H 的原子分解，其形式已接近小波展開(kāi)。 1984 年， Morlet 在分析 地震波的局部性時(shí)，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的 Fourier 變換不具有時(shí) 頻局部性，很難達(dá)到實(shí)際需要，因此他首先提出了小波分析的概念，并用于信號(hào)分解中。 1985 年， Meyer 創(chuàng)造性地構(gòu)造出了規(guī)范正交基，后被稱為 Meyer 基。后來(lái)信號(hào)分析專(zhuān)家 Mallat 提出了多分辨分析的概念，給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析為基礎(chǔ)提出了著名的快速小波算法 —— Mallat 算法。通過(guò)小波分析，可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻率的塊信號(hào)，能夠有效地解決諸如數(shù)值分析、信號(hào)分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、 CT 成像、機(jī)械故障診斷等問(wèn)題。 小波變換 連續(xù)小波變換 [13， 14] （ 1）連續(xù)小波基函數(shù) 所謂小波 (Wavelet)，即存在于一個(gè)較小區(qū)域的波。 根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點(diǎn) 。 將小波母函數(shù) ??t? 進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子 (亦稱尺度因子 )為 a ，平移因子為 b ，并記平移伸縮后的函數(shù)為 ??tba,? ，則 : ? ? ? ? 0。由于 a 和 b 均取連續(xù)變換的值，因此又稱為連續(xù)小波基函數(shù)，它們是由同一母函數(shù) ??t? 經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。將不同 a 、 b 值下的時(shí)頻窗口繪在同一個(gè)圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面（如圖 所示）。 另外，在小 波變換過(guò)程中必須保持能量成比例，即 : ? ? ? ???? ? RR fR ada dxxfCdbbaWT 22,2 ? （ ） 由 CWT 的定義可知，小波變換和傅立葉變換一樣，也是一種積分變換，其中? ?baWTf , 為小波變換系數(shù)。根據(jù) a 、 b 的不同，可以得到小波變換下不同時(shí)、頻寬度的信息，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào) ??tf 的局部化分析。 ② 平移不變性：若 ??tf 的小波變換為 ? ?baWTf , ，則 ? ???tf 的小波變換為? ???baTWf , 。 ④ 自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度因子 a 和不同平移因子 b 的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。也就是說(shuō)，信號(hào) ??tf 的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換則是一一對(duì)應(yīng)的。 小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。另外，它還要滿足平均值為零。 一個(gè)一維函數(shù) ??tf 的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比 ??tf 多一個(gè)，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因?yàn)樗蟮拇鎯?chǔ)量和它代表的信息量都顯著增加了。 若 ??tf 是一個(gè)二維函數(shù)， 則它的連續(xù)小波變換是： ? ? ? ? ? ?d x d yttfbbaWT abyabxayxf yx ?????? ????? ?? , 211 ? （ ） 其中， xb ， yb 表示在兩個(gè)維度上的平移，二維連續(xù)小波逆變換為： ? ? ? ? ? ?yxabyabxyxfadaC dbdbbbaWTyxf yx? ?? ???? ????????? , 01 3 ?? （ ） 同樣的方法可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量函數(shù)上。而 最基本的離散化方法就是二進(jìn)制離散，一般將這種經(jīng)過(guò)離散化的小波及其變 換叫做二進(jìn)小波和二進(jìn)變換。這兒限制尺度因子 a 總是正數(shù)。在離散化時(shí)通常對(duì)尺度因子 a和平移因子 b 按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取 mm bbaa 00 , ?? （ m 為整數(shù)， ,10?a 但一般都假定 10?a ），得到離散小波函數(shù)為： ? ? ? ? ? ?0011, 00 000 nbtat maa bnatanm mm ??? ?? ??? （ ） 其對(duì)應(yīng)系數(shù)為： ? ? ? ? ? ?dtttftfC nmnmnm , , ?? ????????? （ ） （ 2）二進(jìn)制小波變換 二進(jìn)小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù) 20?a ， 10?b ，則有 ? ?ntmnm m ?? ?? 22 2, ?? 。 離散小波變換為： ? ? ? ? ? ?dtttfnmnmWTnmf ????????? , ? （ ） 離散二進(jìn)小波變換為： ? ? ? ? ? ?dtttfnmnmWT nmf ????????? , ? （ ） 二維離散小波變換： 我們考慮二維尺度函數(shù)是可分離的情況，也就是： ? ? ? ? ? ?2121, xxxx ??? ?? （ ） 設(shè) ? ?ix? 是與 ? ?ix? 對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則有： ? ? ? ? ? ?21211 , xxxx ??? ? （ ） ? ? ? ? ? ?21212 , xxxx ??? ? （ ） ? ? ? ? ? ?21213 , xxxx ??? ? （ ） 以上三式就建立了二維小波變換的基礎(chǔ)。 Mallat 算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。多分辨率分析具有如下性質(zhì) [16]： (1) 單調(diào)性 jj VV ??1 ， Zj? ； （ ） (2) 逼近性 ? ?0?? ? jZj V ， )(2 RLV jZj ?? ? ； （ ） (3) 伸縮性 ZjVxfVxf jj ???? ? ,)2()( 1； （ ） (4) 平移不變性 ZnVnxfVxf ????? ,)()( 00 ； （ ） (5) Riesz 基 存在函數(shù) )(x? )(2 RL? ，使得 ? ?Znnx ?? ),(? 構(gòu)成 0V 的 Riesz 基，即對(duì)任一0)( Vxf ? ，存在唯一的 ? ?Zn ?, ，使在均方收斂意義下成立 )()( nxcxf Zn n ?? ?? ? （ ） 且存在 0, ?BA ，使 dxxfBcdxxfA RZn nR 222 )()( ??? ?? ? （ ） 由以上可以看出，所有的閉子空間 ? ?ZjVj ?, 都是由同一尺度的函數(shù) ? ?0V??? 伸縮后平移系列張成的的尺度空間，稱 ??t? 為多分辨率分析的尺度函數(shù)。這樣利用尺度函數(shù) ??t? 和小波函數(shù) ??x? 構(gòu)造信號(hào)的低通濾波器和高通濾波器。 多分辨率分析可形象地表示為一組嵌套的多分辨率子空間（如圖 所示）。這種子空間的分解過(guò)程可以記為： NNN WVVWVVWVVWVV ???????? ? 1332221110 , ? （ ） 其中符號(hào) ? 表示兩個(gè)子 空間的“正交和”； fV 代表與分辨率 j?2 對(duì)應(yīng)的多分辨率分析子空間；與尺度函數(shù)相對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)的伸縮和平移構(gòu)成的矢量空間 jW 是jV 的正交補(bǔ)空間