【正文】 化就由曝光后的顆粒密集程度變化所決定，而其曝光顆粒的分布呈現(xiàn)一種隨機(jī)性，在大多數(shù)情況下，顆粒噪聲可用高斯白噪聲作為有效模型。因此，為了簡(jiǎn)便和一般化，采用零均值的高斯白噪聲作為噪聲信號(hào)源。噪聲產(chǎn)生的原因決定了它的分布特性及它和圖像信號(hào)的關(guān)系。 圖像去噪圖像去噪（Image Denoising）即減少減少數(shù)字圖像中噪聲的過程?？臻g域方法主要是在空間域內(nèi)對(duì)圖像像素直接運(yùn)算處理。頻率域方法就是在圖像的某種變換域,對(duì)圖像的變換值進(jìn)行運(yùn)算。這是一種間接處理方法。線性濾波器以其完善的理論基礎(chǔ),數(shù)學(xué)處理方便,易于采用 FFT 和硬件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn),一直在圖像濾波領(lǐng)域占有重要地位,其中以維納濾波器理論和卡爾曼濾波理論為代表，但也有一定的缺點(diǎn)如會(huì)損傷圖像的邊緣信息。非線性濾波器能夠在很好地保持信號(hào)細(xì)節(jié)的同時(shí),去除信號(hào)中噪聲。而且小波變換在圖像去噪方法顯示出很多優(yōu)勢(shì)，去噪的同時(shí)可以保留圖像的邊緣信息?，F(xiàn)有的評(píng)價(jià)方法一般分為主觀和客觀兩種。它只是一種定性的方法，沒有定量的標(biāo)準(zhǔn)，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評(píng)價(jià)結(jié)果有一定的不確定性。(2)客觀評(píng)價(jià)盡管主觀對(duì)去噪后圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)是比較權(quán)威的方式，但是在一些研究場(chǎng)合，或者由于試驗(yàn)條件的限制，也希望對(duì)去噪圖像質(zhì)量有一個(gè)定量的客觀描述。對(duì)于彩色圖像逼真度的定量表示是一個(gè)十分復(fù)雜的問題 [3]。合理的測(cè)量方法應(yīng)和主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，而且要求簡(jiǎn)單易行。5lg10?? （）式中 表示處理后的圖像的灰度， 表示原始圖像的灰度， 表示圖像像素的個(gè)39。 單位為 dB。主觀評(píng)價(jià)和客觀評(píng)價(jià)這兩種圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。峰值信噪比能夠?qū)D像質(zhì)量給出定量的描述。一般我們?cè)诤饬繄D像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，會(huì)將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來綜合考慮。傳統(tǒng)的傅里葉變換屬于一種純頻域的分析方法,其反映的是整個(gè)信號(hào)全部時(shí)間下的整體頻域特征,而不能提供任何局部時(shí)間段上的頻率信息,即無時(shí)域分辨能力。因此,小波分析在信號(hào)與圖像處理、模式語音識(shí)別、地震勘測(cè)、機(jī)器視覺、醫(yī)學(xué)成像、流體力學(xué)、分形、機(jī)械故障診斷、土木結(jié)構(gòu)損傷檢測(cè)等領(lǐng)域取得 6 了很有意義的研究成果。由于小波具有低墑性、多分辨率、去相關(guān)性、選基靈活性等特點(diǎn)，小波理論在去噪領(lǐng)域受到了許多學(xué)者的重視，并獲得了良好的效果。目前，基于小波分析的圖像去噪技術(shù)已成為圖像去噪的一個(gè)重要方法。本文為了分析不同去噪方法的應(yīng)用范圍，將原圖像分別加入高斯噪聲及椒鹽噪聲，運(yùn)用 Matalab 編程實(shí)現(xiàn)均值濾波、中值濾波、小波變換等方法的去噪結(jié)果，并據(jù)此進(jìn)行比較得出相應(yīng)結(jié)論。第二章，第三章分別介紹傅里葉變換﹑小波分析的發(fā)展歷史及前景。為后續(xù)章節(jié)奠定了理論基礎(chǔ)。第五章提出一種基于小波閾值的去噪算法，對(duì)該算法進(jìn)行 Matiab 仿真，并和經(jīng)典的閾值去噪方法比較，給出了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。第 2 章 傅里葉變換 傅里葉變換的發(fā)展 傅里葉變換的提出傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語原名是 Jean Baptiste Joseph Fourier(17681830), 由于 Fourier 對(duì)熱傳遞很感興趣，于 1807 年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了 Fourier 的工作。但為什么要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來的信號(hào)。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。由此傅里葉變換正式走向世界舞臺(tái)。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。(1)傅里葉變換的意義傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。則有下圖 211 式成立，稱為積分運(yùn)算 f(t）的傅立葉變換，將頻率域的函數(shù) F(ω)表示為時(shí)間域的函數(shù) f（t）的積分形式。除此之外，還有其它型式的變換對(duì)。 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似。傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速地算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT） ） 。窗口傅氏變換（又稱短時(shí)傅里葉變換）可以克服傅氏分析不能同時(shí)作時(shí)頻分析的缺點(diǎn)，其主要思想是選取光滑函數(shù) g（t）與信號(hào) f（t）相乘后再進(jìn)行傅氏變換，通常選用能量集中在低頻處的實(shí)偶函數(shù)作窗函數(shù)，從而保證窗口傅氏變換在時(shí)域和頻域均有局域化功能，窗口傅氏變換的時(shí)域、頻域窗口的大小一旦選定就不會(huì)再改變，與頻率無關(guān)。用傅里葉變換對(duì)信號(hào)去噪的基本思想是對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換后使用低通或帶通濾波器濾除噪聲頻率，然后用逆傅里葉變換恢復(fù)信號(hào)，但是傅里葉變換很難將有用信號(hào)的高頻部分和由噪聲引起的高頻干擾有效地區(qū)分開。對(duì)于高頻噪聲和高頻信號(hào)相互混疊的含噪信號(hào)或者非平穩(wěn)信號(hào)的消噪， 采用小波變換去噪會(huì)有很好的效果。隨著信號(hào)從模擬信號(hào)到數(shù)字信號(hào)，信號(hào)處理從模擬信號(hào)處理到數(shù)字信號(hào)處理，18 世紀(jì)末和 19世紀(jì)初誕生的傅里葉變換發(fā)生了巨大的變化?，F(xiàn)代的信息科學(xué)和技術(shù)離不開傅里葉變換的理論和方法。例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成振幅分量和頻率分量。因?yàn)椴粌H傅立葉分析涉及圖像處理的很多方面，傅立葉的改進(jìn)算法，比如離散余弦變換，gabor 與小波在圖像處理中也有重要的分量。 10 第 3 章 小波變換理論基礎(chǔ) 小波的產(chǎn)生 小波變換的背景及意義小波分析 [6]是近年來在應(yīng)用數(shù)學(xué)及工程科學(xué)中迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)方法。小波分析既孕育著豐富的數(shù)學(xué)理論，又是工程應(yīng)用中強(qiáng)有力的工具。其應(yīng)用己遍及信號(hào)和圖像分析處理的多個(gè)研究領(lǐng)域。探討小波的新理論、新方法以及新應(yīng)用已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)界和工程界的一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。小波變換時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì),并且具有邊緣檢測(cè)的能力,因此利用小波變換去除圖像噪聲的同時(shí),可提取并保存對(duì)視覺起主要作用的邊緣信息?，F(xiàn)實(shí)中的圖像，在獲取和傳輸?shù)倪^程中，不可避免會(huì)有不同程度地噪聲污染，為了提高圖像的信噪比，突出圖像的期望特征，以便于對(duì)其進(jìn)行更高層次的處理，圖像的降噪預(yù)處理是很必要的。所以傳統(tǒng)的低通濾波方法在對(duì)保留圖像細(xì)節(jié)的要求方面沒有得到滿意的效果。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專家學(xué)者的重視，并取得了非常好的效果。小波分析方法的起源可以追溯到上個(gè)世紀(jì)初——1910 年 Haar 的工作。由于 Haar 基的不連續(xù)性，因而未能得到廣泛的應(yīng)用。1975 年，Calderon 用他在早年發(fā)現(xiàn)的再生公式給出了拋物型空間上 H 的原子分解，它的離散形式已接近小波展開，但是如何由此來組成正交系的結(jié)論還是無法得到。隨后，理論物理學(xué)家 Grossman 對(duì) 11 Morlet 給出的小波進(jìn)行了研究，并驗(yàn)證了小波按一個(gè)確定函數(shù)的伸縮，平移系展開的可行性，為小波分析的形成開了先河。在 Meyer 提出了小波變換之后，Lemarie 和 Battle 又分別的給出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。與此同時(shí)，Daubechies 構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基，并把信號(hào)處理的概念與泛函分析理論聯(lián)系起來了，成為小波研究領(lǐng)域中的經(jīng)典文獻(xiàn)之一。Ameodo 及 Grasseau 等人于 1988 年將小波變換應(yīng)用于混沌動(dòng)力學(xué)以及分形理論來研究湍流及分形生長(zhǎng)現(xiàn)象。同時(shí)，Beylkin、Coifman 等將小波變換應(yīng)用于算子理論。1992 年，Donoho 給出了插值小波和小波變換等。1994 年，基于 r 元的多分辨分析由 Goodman 等人提出，并建立小波的基本理論框架，給出樣條多小波的例子。renaz Aldroubi ，使小波理論更加完善。理論基礎(chǔ)的堅(jiān)實(shí)使得應(yīng)用更為廣泛和深入；相反，這些應(yīng)用研究也大大的推動(dòng)了小波理論的不斷豐富和完善?；谛〔ㄗ儞Q的圖像去噪技術(shù)己成為圖像去噪的一個(gè)重要方法，并具有實(shí)際的意義。目前，小波圖像去噪方法的熱點(diǎn)主要有以下幾個(gè)方面：(1)長(zhǎng)期以來，基于小波閾值的圖像去噪方法始終都是小波圖像去噪領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。(2)不同的圖像去噪方法有各自不同的適用范圍，它們可以解決不同類型的噪聲濾除問題。其中，將小波變換與均值濾波、中值濾波的結(jié)合去噪，能充分利用各自的優(yōu)點(diǎn)，較好的改善濾波性能，既能去除圖像中的噪聲又能很好的保持邊緣信息。人們對(duì)閾值的選擇進(jìn)行了研究，并提出了多種不同的閾值確定方法，同時(shí)，人們針對(duì)閾值函數(shù)的選取也進(jìn)行了一些研究，并給出了不同的閾值函數(shù)，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。(5)在利用小波變換進(jìn)行圖像去噪前對(duì)圖像數(shù)據(jù)的前期和后期處理都是不可忽略，除此之外，對(duì)去噪圖像效果的質(zhì)量評(píng)價(jià)問題也是小波去噪領(lǐng)域中的一個(gè)很重要的研究方向。在分析曲線奇異性時(shí)可分離的小波變換存在著一定的局限性，張量積小波一般只側(cè)重原始圖像在水平、垂直和對(duì)角方向的特征，對(duì)其它方向上的特征卻很難得到準(zhǔn)確描述，盡管不可分離的小波能有效地解決該問題，但仍不能很好地描述曲線奇異性，所以有必要在高維中尋求更加有效的分析方法。目前，小波圖像去噪方法取得的成功在拓展小波去噪方法的應(yīng)用領(lǐng)域的同時(shí)將大大拓展其它研究領(lǐng)域的發(fā)展，而且必將從更多的應(yīng)用領(lǐng)域中反饋出新的問題，進(jìn)而會(huì)豐富小波去噪的內(nèi)容，并進(jìn)一步推動(dòng)小波去噪技術(shù)的發(fā)展。傅里葉變換是一種頻域分析方法，適合處理平穩(wěn)信號(hào)的去噪問題,一直是信號(hào)處理領(lǐng)域中最完美、應(yīng)用最廣泛、效果最好的一種分析手段。相反，當(dāng)一個(gè)函數(shù)用 函數(shù)展開時(shí)，它在時(shí)間域的定位性是完全準(zhǔn)確的，?而在頻域卻無任何定位性(或分辨能力)。對(duì)于一些常見時(shí)變信號(hào)的分析，通常需要提取某一時(shí)間段或瞬間的頻域信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息，因此尋求一種介于傅里葉分析和 分析之間的具有一定的時(shí)間和頻率分辨率的基函數(shù)來 13 分析時(shí)變信號(hào)一直是信號(hào)處理界及數(shù)學(xué)界人士長(zhǎng)期以來努力的目標(biāo)。這在一定程度上解決了對(duì)信號(hào)非平穩(wěn)信號(hào)分析的問題。高頻信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間很短而低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，因此我們希望對(duì)高頻信號(hào)采用小時(shí)窗分析，對(duì)低頻信號(hào)采用大時(shí)窗分析，這種變時(shí)窗的要求同 STFT 的固定時(shí)窗, STFT 的局部化思想而且克服了窗口大小不隨頻率變化缺乏離散正交基的缺點(diǎn)，是一種比較理想的進(jìn)行信號(hào)處理的數(shù)學(xué)工具。與傅里葉變換相比較主要有以下不同 [8]：（1）傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào) 分解到以 為正交基的空間上??tf??jwte去；而小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限的信號(hào) 分解到由小波函數(shù)所構(gòu)成的空間上去。（2）傅里葉變換用到的基本函數(shù)只有 ， 或 ，具有唯一性；??wtsin??tcos??itexp小波分析用到的小波函數(shù)則不是唯一的，同一個(gè)工程問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。（3）在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅里葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式，但在時(shí)域中，傅里葉變換沒有局部化能力，即無法從信號(hào) 的傅里葉變換 中看??tf??wF出 的在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。（4）在小波分析中，尺度 的值越大相當(dāng)于傅里葉變換中 的值越小。而在小波變換中，變換系數(shù) 雖??baWT,然也是依賴于信號(hào)在時(shí)間窗內(nèi)的情況，但時(shí)間寬度是隨尺度 的變化而變化的，所以a小波變換具有時(shí)間局部分析的能力。（6）若用信號(hào)通過濾波器來解釋，小波變換與短時(shí)傅里葉變換不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅里葉變換來說，帶通濾波器的帶寬 與中心頻率 無關(guān)；相反，小波變換帶w?通濾波器的帶寬 則正比于中心頻率 ，即:w? ( 為常數(shù) ) ()CQw?也就是濾波器有一個(gè)恒定的相對(duì)帶寬，稱之為等 Q 結(jié)構(gòu)（Q 為濾波器的品質(zhì)因數(shù)， Q=中心頻率/帶寬） 。（7）從框架角度來說傅里葉變換是一種非冗余的正交緊框架，而小波變換卻可以實(shí)現(xiàn)冗余的非正交非緊框架。這種定性的描述意味著小波具有兩種性質(zhì):A、具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅；B、在有限時(shí)間范圍內(nèi)平均值為 0。它的傅里葉變換呈現(xiàn)為帶通濾波器的頻率特性，即小波在時(shí)域和頻域上的分析都是局部化的。以 Ψ (a,b) (t),為核函數(shù)的積分變換就是積分小波變換或稱連續(xù)小波變換。它是小波變換和窗口傅里葉變換的根本區(qū)別。（1）連續(xù)小波變換 [9，10]任意的函數(shù) f (t) ∈ L 2( R)的連續(xù)小波變換為： （）??????dtabttxdttxttxbaCWTf RbaRba ??????????????2\1,可見，連續(xù)小波變換的結(jié)果可以表示為平移因子 a 和伸縮因子 b 的函數(shù)。如果小波函數(shù)滿足“容許”條件，那么連續(xù)小波變換的逆變換是存在的 （）????dtatbaCWTftx 2,0