【正文】 ………………………………………………… 411 緒論 引言圖像是人類傳遞信息的主要媒介。是反映自然界客觀事物的，是人類認(rèn)識世界和自我的重要途徑。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，原來靠手工完成的圖像處理現(xiàn)在可以完全依靠計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)，為了使計(jì)算機(jī)可以直接對圖像進(jìn)行自動處理，必須對圖像進(jìn)行數(shù)字化，從此數(shù)字圖像處理技術(shù)也隨之應(yīng)運(yùn)而生。一般情況下采集到的數(shù)字圖像是含有噪聲的。圖像在生成和傳輸?shù)倪^程中灰受到各種噪聲的干擾，對信號的處理、傳輸和存儲造成極大的影響。對于這種“污染”，如果信噪比(SNR)低于一定水平，就會影響圖像場景內(nèi)容的表示，直接導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降。對于圖像在采集、獲取過程造成的“污染”，我們雖然盡量提高硬件設(shè)備以獲取質(zhì)量更高的圖像，但圖像傳感器的截止頻率總是有一定的，受硬件水平和價(jià)格的限制，且圖像在編碼和傳輸過程中造成的“污染”，必需采取有效的降噪技術(shù)才能提高圖像的質(zhì)量。取出或減輕在獲取數(shù)字圖像中的噪聲稱為圖像去噪。不管在哪種域內(nèi)進(jìn)行去噪，但它們都是基于噪聲和信號在頻域上的不同分布規(guī)則為依據(jù)的，一般情況下，有用信號是主要分布在低頻區(qū)域的，而噪聲則是多分布在高頻區(qū)域的，然而由于圖像的細(xì)節(jié)也是分布在高頻區(qū)域的，因此如何在減少圖像噪聲的同時(shí)保留圖像的細(xì)節(jié)問題便成為圖像去噪技術(shù)的研究目標(biāo)。例如均值濾波器、順序統(tǒng)計(jì)濾波器、維納濾波器等。將圖像從時(shí)域轉(zhuǎn)換到變換域的變換方法很多，例如傅立葉變換、小波變換等等。 小波變換是在短時(shí)傅立葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新型的變換方法。 圖像噪聲分類目前大多數(shù)數(shù)字圖像系統(tǒng)中，輸入圖像都是采用先凍結(jié)再掃描方式將多維圖像變成一維電信號，再對其進(jìn)行處理、存儲、傳輸?shù)燃庸ぷ儞Q。噪聲對圖像信號幅度、相位的影響非常復(fù)雜，有些噪聲和圖像信號是相互獨(dú)立不相關(guān)的，而有些則是相關(guān)的，并且噪聲本身之間也可能相關(guān)。一般圖像去噪中常見的噪聲有以下幾種：（1）加性噪聲 加性噪聲和圖像信號強(qiáng)度是不相關(guān)的，如圖像在傳輸過程中引進(jìn)的“信道噪聲”電視攝像機(jī)掃描圖像的噪聲等。（4）“椒鹽”噪聲 此種噪聲很多，例如在圖像切割過程中引起的黑圖像上的白點(diǎn)、白圖像上的黑點(diǎn)噪聲等，還有在變換域引入的誤差，在圖像反變換時(shí)引入的變換噪聲等。這些噪聲一般都是簡單的加性噪聲，不會隨著圖像信號的改變而改變。圖像去噪效果的評價(jià)。這是因?yàn)橐粋€(gè)圖像經(jīng)過去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量好壞，對于人們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。目前由于對人的視覺系統(tǒng)性質(zhì)還沒有充分的理解，對人的心理因素還沒有找到定量分析方法。另一類是圖像質(zhì)量的客觀評價(jià)。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來考慮。它只是一種定性的方法，沒有定量的標(biāo)準(zhǔn)，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評價(jià)結(jié)果有一定的不確定性。國際上通行的有5級評分的質(zhì)量尺度和妨礙尺度[3]。在有些情況下，也可以提供一組標(biāo)準(zhǔn)圖像作為參考，幫助觀察者對圖像質(zhì)量做出合適的評價(jià)。 客觀評價(jià) 盡管主觀對去噪后圖像質(zhì)量的評價(jià)是比較權(quán)威的方式，但是在一些研究場合，或者由于試驗(yàn)條件的限制，也希望對去噪圖像質(zhì)量有一個(gè)定量的客觀描述。對于彩色圖像逼真度的定量表示是一個(gè)十分復(fù)雜的問題[3]。合理的測量方法應(yīng)和主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，而且要求簡單易行。（3）峰值信噪比： （）式中表示處理后的圖像的灰度，表示原始圖像的灰度，表示圖像像素的個(gè)數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，峰值信噪比是圖像處理中最常用的圖像質(zhì)量評價(jià)的客觀標(biāo)準(zhǔn)。近些年來，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，基于小波分析的圖像去噪技術(shù)也隨著小波理論的不斷完善取得了較好的效果。后來，人們根據(jù)信號與噪聲在小波變換下模極大值在各尺度上的不同傳播特性，提出了基于模極大值去噪的基本思想?！靶〔ㄊ湛s”被 Donoho和Johnstone證明是在極小化極大風(fēng)險(xiǎn)中最優(yōu)的去噪方法，但在這種方法中最重要的就是確定閾值。從這之后的小波去噪方法也就轉(zhuǎn)移到從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)來提高去噪的效果。這些方法均取得了較好的效果，對小波去噪的理論和應(yīng)用奠定了一定的基礎(chǔ)。但如何采取一定的技術(shù)消除圖像噪聲的同時(shí)保留圖像細(xì)節(jié)仍是圖像預(yù)處理中的重要課題。 主要工作小波理論雖經(jīng)過多年發(fā)展，并取得了許多非常重要的研究成果。本文在前人提出的有關(guān)小波應(yīng)用的基礎(chǔ)上，展開更加系統(tǒng)、深入的分析和研究。 第一章為緒論，首先簡單介紹了圖像去噪的意義，噪聲的特性和圖像質(zhì)量的評價(jià)方法。第二章主要介紹連續(xù)小波變換、離散小波變換、小波變換性質(zhì)和多分辨分析。第三章主要對傳統(tǒng)的去噪方法進(jìn)行了總結(jié)和對比，主要列舉了空域?yàn)V波法和頻域低通濾波法，指出其去噪的不足。第五章為結(jié)束語，對全文加以總結(jié)。傅立葉分析為信號的時(shí)域描述和頻域描述之間的相互轉(zhuǎn)換建立了橋梁，其實(shí)質(zhì)是將信號分解成不同頻率的正弦信號的疊加，從而刻畫出信號的頻率結(jié)構(gòu)分布。然而很多非平穩(wěn)信號，如音樂、語音信號等它們的頻域特性都隨著時(shí)間的變化而改變，也就很難表示出這些信號在任一時(shí)刻附近的頻率特征。為了盡可能的反映頻域特征隨時(shí)(空)間的變化，前人做了很多探索，將時(shí)(空)、頻兩域結(jié)合起來對信號予以描述，提出了時(shí)頻局部化分析方法，如短時(shí)傅立葉變換，也稱窗口傅立葉變換，特別是Dennis Gabor選擇Gauss函數(shù)作為最佳窗口函數(shù)，即著名的Gabor變換。但由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無關(guān)而保持不變，所以窗口傅立葉變換只是單一分辨率的分析。針對這種情況，在20世紀(jì)80年代興起的小波分析是一種窗口面積固定但形狀可變的時(shí)頻局部化分析方法，即具有對信號的自適應(yīng)性。特別是近年來，小波變換作為一種數(shù)學(xué)理論和方法在科學(xué)技術(shù)和工程界引起了越來越多的關(guān)注和重視。 小波分析的產(chǎn)生[12] 小波分析的思想最早出現(xiàn)在1910年Haar提出了小波規(guī)范正交基。1946年，Gabor提出窗口Fourier變換，對Fourier變換的不足起到了一定的彌補(bǔ)作用。1965年，Calderon給出了再生公式。1975年，Calderon用他早先提出的再生公式給出了的原子分解，其形式已接近小波展開。1984年，Morlet在分析地震波的局部性時(shí)，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的Fourier變換不具有時(shí)頻局部性，很難達(dá)到實(shí)際需要，因此他首先提出了小波分析的概念，并用于信號分解中。1985年，Meyer創(chuàng)造性地構(gòu)造出了規(guī)范正交基，后被稱為Meyer基。后來信號分析專家Mallat提出了多分辨分析的概念，給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析為基礎(chǔ)提出了著名的快速小波算法——Mallat算法。通過小波分析，可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號分解成不同頻率的塊信號，能夠有效地解決諸如數(shù)值分析、信號分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語音識別、計(jì)算機(jī)視覺、CT成像、機(jī)械故障診斷等問題。 小波變換 連續(xù)小波變換[13，14]（1）連續(xù)小波基函數(shù)所謂小波(Wavelet)，即存在于一個(gè)較小區(qū)域的波。根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點(diǎn)。 將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子(亦稱尺度因子)為，平移因子為，并記平移伸縮后的函數(shù)為，則: （）并稱為參數(shù)和小波基函數(shù)。定義小波母函數(shù)的窗口寬度為，窗口中心為，則可以求得連續(xù)小波基函數(shù)的窗口中心及窗口寬度分別為： （） 設(shè)是的傅立葉變換，頻域窗口中心為，窗口寬度為，的傅立葉變換為，則有: （）所以此時(shí)頻域窗口中心及窗口寬度分別為： （）由此可見，連續(xù)小波的時(shí)、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數(shù)，均隨著的變化而伸縮，并且還有 （）即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的，這正是Heisenberg測不準(zhǔn)原理。 小波基函數(shù)的相平面（2）連續(xù)小波變換將空間的任意函數(shù)在小波基下進(jìn)行展開，稱其為函數(shù)的連續(xù)小波變換CWT，變換式為： （）當(dāng)小波的容許性條件成立時(shí)，其逆變換為： （）其中為的容許性條件。可見小波變換對函數(shù)在小波基上的展開具有多分辨率的特性，這種特性正是通過縮放因子和平移因子來得到的。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：① 線性性：一個(gè)多分量信號的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。③ 伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為。⑤ 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號的重構(gòu)分式不是唯一的。2）小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù)并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降特性，以便獲得空間局域化。也就是說，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。對于變量超過一個(gè)的函數(shù)來說，這個(gè)變換的維數(shù)也將增加。 離散小波變換[15] 計(jì)算機(jī)中的圖像信息是以離散信號形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。需要注意的是這里的離散化都是針對連續(xù)的尺度因子和連續(xù)平移因子的，而不是針對時(shí)間的。（1）尺度與位移的離散化對連續(xù)小波基函數(shù)尺度因子和平移因子進(jìn)行離散化可以得到離散小波變換，從而減少小波變換系數(shù)的冗余度。該二進(jìn)尺度分解的原理在二十世紀(jì)三十年代由 Littlewood 和 Paley 在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了研究證明。 多分辨率分析與濾波器組Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨率分析（MultiResolution Analysis）的概念，從空間概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法——Mallat算法。小波變換是一種多分辨率分析的有利工具。尺度函數(shù)的傅里葉變換具有低通濾波的特性，小波函數(shù)的傅里葉變換具有高通濾波特性。則可以對信號進(jìn)行不同尺度下的分解。W1W2W3V3 嵌套的多分辨率子空間假設(shè)原信號的頻率空間為，經(jīng)第一級分解后被分解成兩個(gè)子空間：低頻的和高頻的；經(jīng)第二級分解后被分解成低頻的和高頻的。由離散小波框架可得到子空間的以下特性： （）這一結(jié)果表明：分辨率為20=1的多分辨率分析子空間可以用有限個(gè)子空間來逼近。圖中假設(shè)原信號的總歸一頻帶為，從圖中可以看出，被逐級分解后各子空間所占頻帶的變化情況：、。設(shè)和分別為理想的低通和理想的高通濾波器，利用其對原始信號x(n)（其正半軸歸一頻帶在 之間）。正是因?yàn)槿绱?，圖中在濾波后才可以加入降2采樣，降2采樣的目的是為了尋求各級濾波器的一致性。例如，第一級H0的真實(shí)頻帶是（Ts為輸入的采樣間隔），其歸一頻率為（注：歸一頻率=真實(shí)頻率*采樣間隔）。H1H022H1H022H1H022x(n)V0V1V2V3 多分辨率分析的濾波器組分解樹多分辨率分析中的這種樹形分解有其不可替代的優(yōu)點(diǎn)。然而，采用這里的樹形分解時(shí)，各級濾波器是一樣的，其計(jì)算量小。不過樹形分解也有其缺點(diǎn)，就是當(dāng)樹形分解的級數(shù)較大時(shí)，輸出的延時(shí)較長。在和為理想濾波器的情況下，重建濾波器仍可采用和在這樣的逐級重建的過程中就實(shí)現(xiàn)了對信號由粗到精的重建。 圖像的小波變換及其Mallat算法 圖像是二維信號，二維多分辨率分析與一維類似，但空間變成，一維中引入的尺度函數(shù)變?yōu)?。?)說明了二維尺度函數(shù)的可分離性。因、都是低通的尺度函數(shù)，所以平滑的低通空間。它們構(gòu)成了 的規(guī)范正交基。也就是說這三部分反應(yīng)的都是細(xì)節(jié)信息。 對于任一二維圖像信號，在分辨率下有： （）上式表明，在分辨率上將圖像分解成、 和四個(gè)子圖，其中代表原圖像在分辨率上的近似（即圖像的低頻部分，不妨用LL來表示），則代表這種近似的誤差（即圖像的高頻部分或“細(xì)節(jié)”部分）；對應(yīng)于垂直方向的高頻成分，即水平的邊緣（細(xì)節(jié)）信息（不妨用LH表示）；對應(yīng)于水平方向的高頻成分，即垂直的邊緣（細(xì)節(jié)）信息（不妨用HL表示）；則對應(yīng)于對角方向的高頻成分（不妨用HH表示）。可以看到，在每一分解層上，圖像均被分解為LL, LH, HL和HH的四個(gè)頻帶；下一層的分解僅對低頻分量LL進(jìn)行分解。HGXGHHG與濾波器X卷積H低通濾波器G高通濾波器在相鄰兩列間插入一列零在相鄰兩行間插入一行零 圖像的小波重構(gòu)算法，小波分解圖像的重構(gòu)是先對列或行進(jìn)行升2采樣(在相鄰列或行間插入一零列或零行)，然后再按行、按列與一維的低通或高通濾波器進(jìn)行卷積，這樣遞推下去便可重構(gòu)原圖像。 圖像的雙正交小波變換 在進(jìn)行圖像的小波分解時(shí)，可以采用一維的CQF（Conjugate Quadrature Filter：共軛正交濾波器）濾波器組、Daubechies小波濾波器組等。采用這些正交濾波器，可以方便地實(shí)現(xiàn)二維圖像的正交小波變換及其逆變換。Daubechies也證明，如果、是多尺度分析的尺度函數(shù)和正交小波函數(shù)，、是實(shí)的和緊支的，且有一個(gè)對稱或反對稱軸，則一定是一個(gè)Haar小波。也就是說，除了Haar小波外，緊支集正交小波不可能具有任何對稱性，此時(shí)與其對應(yīng)的FIR濾波器H和G不可能具有線性相位，這樣就會產(chǎn)生相位失真。而圖像的邊緣是圖像的一個(gè)重要特征。 在雙正交小波的情形下，采用兩個(gè)不同的小波基和，用來分解，用來重構(gòu)。同時(shí)，也采用兩個(gè)尺度函數(shù)和，二者相互對偶且正交