【正文】 （ ） 式中 。此外，圖 像鄰域平均法算法簡單，計算速度快，但它的主要缺點是在降低噪聲的同時使圖像產生模糊，特別在邊緣和細節(jié)處，鄰域越大，模糊越厲害。 (2） 中值濾波 中值濾波是一種非線性濾波 [21， 22]，由于它在實際運算過程中并不需要圖像的統(tǒng)計特性，所以比較方便。 中值濾波的基本原理是把數字圖像或數字序列中一點的值用該點的一個鄰域中各點值的中值代替。中值濾波就是圖像濾波后某個像素的輸出等于該像素鄰域中各個像素灰度的中值。相比較于局部均值濾波，中值濾波有以下優(yōu)點： ①降噪效果比較明顯； ②在灰度值變化比較小的情況下，可以得到很好的平滑效果； ③降低了圖像邊界的模糊程度，但有時會失掉圖像中的細節(jié)和小塊的目標區(qū)域。這是因為濾波窗口 (即鄰域 )中如果多數圖像點被噪聲污染，中值濾波的輸出仍然是某 個被噪聲污染了的像素，而均值濾波卻對噪聲進行了求均值運算，在某種程度上對噪聲進行了平滑。如果噪聲是以孤立的點的形式出現(xiàn)，這些點對應的像素數較少，而圖像則是由像素數較多、面積較大的小塊構成，則采用 LM 型濾波效果較好。根據此特點使用濾波的方法濾除其高頻部分也就能夠去除噪聲，使圖像得到一定的平滑。 （ 1） 理想低通濾波器（ ILPF） 一個 2D 理想低通濾波器的轉移函數滿足下列條件： ? ? ? ?? ???? ??00,0 ,1, DvuD DvuDvuH ?如如 （ ） 式中 0D 是一個非整數，稱為理想低通濾波器的截止頻率。正是由于理想低通濾波器存在此“振鈴”現(xiàn)象，致使其平滑效果不理想。 （ 3）指數低通濾波器（ ELPF） 指數低通濾波器的轉移函數為： ? ? ? ?? ?? ?2, 0e x p, nDvuDvuH ?? （ ） 因為指數低通濾波器具有比較平滑的過濾帶，經此平滑后的圖像“振鈴”效應不明 顯，與理想低通濾波器和巴特沃思低通濾波器相比，指數低通濾波器具有更快的衰減特性，因此指數低通濾波器濾波后的圖像比巴特沃思低通濾波器處理的圖像稍微模糊。因此，提出了基于小波變換的去噪方法研究。含有噪聲的圖像經過小變換后，圖像信號和噪聲信號表現(xiàn)出不同的特征：信號的能量主要集中在一些亮線上，而大部分系數的值逼近于 0；噪聲的分布 和信號的分布相反，它的系數均勻分布于整個尺度空間，幅度相差不大 (在大尺度下會對噪聲起到一定的平滑作用 )。其流程圖如圖 所示。顯然，無限次可導的函數是光滑的或者說是沒有。根據對小波系數處理方式的不同，常見的去噪方法可分為三類 ： ①模極大值檢測法；②小波系數相關去噪法；③閾值去噪法。 常見的去噪方法 小波去噪的實質是尋找從實際信號空間到小波函數空間的最佳映射，從而得到原信號的最佳恢復。 4 基于小波變換的圖像去噪技術 小波變換在時頻域具有很好的局部性，其變尺度的特性使得小波變換對確定的信號具有一種“集中”的能力 [24]。對于經典去噪方法來說，要么完全在頻率域，要么完全在空間域。與理想低通濾波器不同，它的通帶與阻帶之間沒有明顯的不連續(xù)性，因此它在空域中的響應 “振鈴”效應不明顯，模糊程度減少。這是因為? ?vuH , 在 0D 處由 1 突變到 0，這種理想的 ? ?vuH , 的時域形式即 ? ?vuH , 對應的沖激響應 ? ?yxh , 在空域中表現(xiàn)為同心環(huán)的形式，并且此同心環(huán)半徑與 0D 成反比 。利用 ? ?vuH , 使 ? ?vuF , 的高頻分量得到抑制，然后得到 ? ?vuG, ，后再經過反變換就得到降噪后的圖像 ? ?yxg , 了。而且，濾波后的圖像清晰明亮、便于觀察?；旌蠟V波器的思想是對圖像信號進行級聯(lián)式的濾波處理，或稱為迭代處理。也就是說，中值濾波在去除脈沖噪聲的同時較好地保持了圖像的邊緣細節(jié)信息，解決了多數線性濾波在去噪的同時模糊圖像這一缺點，復原效果較好。 一般在實際使用窗口時，窗口的尺寸一般先用小窗口，然 后再逐漸增大窗口，直到其濾波效果滿意為止。當 n 為奇數時，位于中間位置的數值稱為這 n 個數值的中值。在一定的條件下，可以克服線性濾波器所帶來的圖像細節(jié)模糊，而且對濾除脈沖干擾及圖像掃描噪聲最為有效。然而，在實際的圖像處理過程中，線性濾波器也不能完全去除脈沖噪聲。圖像鄰域平均法的處理效果與所用的鄰域半徑有關。 均值濾波的思想是：對于給定一幅 NN? 的圖像 ? ?yxf , ，圖像中的每個像素點? ?yx, ，去噪后的圖像 ? ?yxg , ，去噪后圖像中的每個像素的灰度級由包含 ? ?yx, 鄰域的幾個像素的灰度級的平均值所決定。線性方法提出較早，具有較完備的理論基礎，均值濾波是其典型代表（均值濾波適合于噪聲為零均值的高斯噪聲）。去噪既可以在空域進行也可以在頻域（變換域）進行，前者即是在原圖像上直接進行數據運算，對像素的灰度值進行處理。我們希望在對低頻信號分析時，頻域用高分辨率，在對高頻信號分析時，頻域用低分辨率，該等 Q 結構恰好符合該要求。 （ 5）在短時傅里葉變換中，變換系數 ? ??,wGf 主要依賴于信號在時間窗內的情況，一旦時間窗函數確定，則分辨率也就確定了。一個重要的經驗就是根據待分析信 號和小波函數的相似性選取，而且此時要考慮小波的消失矩、正則性、支撐長度等參數。兩者相比較主要有以下不同： （ 1）傅里葉變換的實質是把能量有限信號 ??tf 分解到以 ? ?jwte 為正交基的空間上去；而小波變換的實質是把能量有限的信號 ??tf 分解 到由小波函數所構成的空間上去。關于雙正交小波濾波器的構造設計方法、完全重構條件等問題，文獻 [1719]等均作了詳細闡述。與之對應，雙正交小波分解和重構的濾波器可以有四個：分解低通濾波器、分解高通濾波器、重構低通濾波器和重構高通濾波器。為 了彌補這一缺點，于是就出現(xiàn)了雙正交小波的理論。然而 Haar 小波過于簡單，多數應用場合其 性能不佳。 CQF 濾波器具有很強的正交性，所以也叫正交濾波器。圖像小波分解的重構算法如圖 所示。圖 形象地表示了二維圖像的多分辨率小波分解。因此以上的三個正交基中都至少包含一個帶通的 )(x? 或 )(y? ，所以它們都是帶通的。對于每一個 Zj? ,函數系}),()()(),({ 2, Zmnyxyx mjnjmnj ?? ??? 構成 ? ?ZjjV ?2 的規(guī)范正交基，這里下標 j， n， m的含義是： )0(),2()2(2),(, ???? jmynxyx jjjmnj ??? （ ） 我們將 ? ?ZjjV ?2稱為 )*(2 RRL 的可分離多分辨率分析。以上的分析從子空間、頻率空間的角度闡明了多分辨率分析的概念，同時，分析了多分辨率分析和濾波器組之間的密切關系。樹形分解適應由粗到精的多分辨率分析的過程。第二級 H0的真實頻帶雖是 )4/(0 sT?? ，但其歸一頻率仍然是 2/0 ?? ，因為第二級輸入的采樣間隔 是 2Ts，所以有 2/2*)4/( ?? ?ss TT 。正是因為如此，圖中在濾波后才可以加入降 2采樣，降 2采樣的目的是為了尋求各級濾波器的一致性。圖中假設原信號的總歸一頻帶為 ??0 ，從圖中可以看出， 0V 被逐級分解后各子空間所占頻 帶的變化情況： )2/0(1 ??V 、 )2/(1 ?? ?W 、 )4/0(2 ??V 、 )2/4/(2 ?? ?W 、 )8/0(3 ??V 、)4/8/(3 ?? ?W 。 圖 嵌套的多分辨率子空間 假設原信號的頻率空間為 0V ，經第一級分解后 0V 被分解成兩個子空間：低頻的1V 和高頻的 1W ；經第二級分解后 1V 被分解成低頻的 2V 和高頻的 2W 。尺度函數??t? 的傅里葉變換 ??w?? 具有低通濾波的特性，小波函數 ??x? 的傅里葉 變換 ??w?? 具有高通濾波特性。 多分辨率分 析與濾波器組 Mallat 在構造正交小波基時提出了多分辨率分析（ MultiResolution Analysis）的概念，從空間概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構造方法以及正交小波的快速算法—— Mallat 算法。 （ 1）尺度與位移的離散化 對連續(xù)小波基函數 ??tba,? 尺度因子 a 和平移因子 b 進行離散化可以得到離散小波變換 ? ?baWTf , ，從而減少小波變換系數的冗余度。 離散小波變換 [15] 計算機中的圖像信息是以離散信號形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。也就是說，小波應具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數。 2）小波變換的核函數即小波基函數 ??tba,? 并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關的 )。 ③ 伸縮共變性：若 ??tf 的小波變化為 ? ??,aWTf ，則 ??ctf 的小波變換為 ? ? 0,1 ?cccaWT fc ? ?？梢娦〔ㄗ儞Q對函數 ??tf 在小波基上的展開具有多分辨率的特性，這種特性正是通過縮放因子 a 和平移因子 b 來得到的。 定義小波母函數 ??t? 的窗口寬度為 t? ，窗口中心為 0t ，則可以求得連續(xù)小波基函數 ??tba,? 的窗口中心及窗口寬度分別為： tatbatt aba ????? ?,0, , （ ） 設 ??w?? 是 ??t? 的傅立葉變換，頻域窗口中心為 0w ，窗口寬度為 w? ， ??t? 的傅立葉變換為 ? ?wba,? ，則有 : ? ? ? ?aweaw jwbba ?? ??, （ ） 所以此時頻域窗口中心及窗口寬度分別為： w abaaba ???? 1,01, , （ ） 由此可見，連續(xù)小波的時、頻窗口中心和寬度均是尺度因子 a 的函數，均隨著a 的變化而伸縮，并且還有 wtwt baba ??????? , （ ） 即連續(xù)小波基函數的窗口面積是不變的，這正是 Heisenberg 測不準原理。另一方面，根據可容許 性條件可知 ? ? 00 ??ww?，即直流分量為零，因此小波又具有正負交替的波動性。因此，小波分析在圖像去噪方面有著廣泛地應用。 1986 年 Meyer 和 Lemarie 提出了多尺度分析的思想。 1981 年，Stromberg 對 Haar 系進行了改造，為小波分析奠定了基礎。后來 Calderon,Zygmund,Stein 和 Weiss 等人將LP 理論推廣到高維，并建立了奇異積分算子理論。尤其在工程應用領域，特別是在 信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別、量子物理、地震勘測、流體力學、電磁場、 CT 成像、機器視覺、機械狀態(tài)監(jiān)控與故障診斷、分形、數值計算等領域被認為近年來在工具和方法上的重大突破 。信號的頻率和周期是成反比的，要獲取信號高頻成份的細致分辨應該使用較窄的時 (空 )間窗，要獲取信號低頻成份的粗疏分辨 ，應該使用較寬的 (空 )間窗，顯然窗口傅立葉變換不具備這種“彈性”。這種情況下，就暴露出經典傅立葉分析的局限性，時、頻兩域不能截然分開，同時在任何有限頻段上信息無法刻畫任意小范圍內的空域信號 [11]。 2 小波分析理論基礎 傅立葉分析是 19 世紀 20 年代法國數學家 Fourier 提出的一種經典時頻分析理 論， 1965 年 Cooley， Turkey 提出的快速傅立葉變換算法推動傅立葉分析從理論走向實踐，使其在信號處理等諸多領域獲得廣泛應用。并介紹了圖像小波變換情況，為以后幾個章節(jié)中圖像小波去噪奠定 一定的 理論基礎。首先對傳統(tǒng)的去噪技術進行了一定的介紹；然后在此基礎上，本文提出了 基于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法 ，通過實驗結果表明該方法的正確性， 其去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)的小波圖像去噪。目前，基于小波分析的圖像去噪技術已成為圖像去噪的一個重要方法。影響比較大的方法有以下這么幾種： Eero 和 Edward 提出的基于最 大后驗概率的貝葉斯估計準則確定小波閾值的方法 [6]； Elwood 等在處理斷層圖像時提出了三種基于小波相位的去噪方法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值法以及尺度相位變動閾值法；學者Kozaitis 結合小波變換和高階統(tǒng)計量的特點提出了基于高階統(tǒng)計量的小波閾值去噪方法 [7]； 等利用原圖像和小波變換域中圖像的相關性用 GCV(general crossvalidation)法對圖像進行去噪； 和 Woolsey 等人提出結合維納濾波器和小波閾值的方法對信號進行去噪處理 [8]， Va sily Strela 等人將一類新的特性良好的小波 (約束對 )應用于圖像去噪的方法 [9]；同時，在 19 世紀 60 年代發(fā)展的隱馬爾科夫 模型 (Hidden Markov Model)，是通過對小波系數建立模型以得到不同的系數處理方法；后又有人提出了雙變量模型方法 [10]，它是利用觀察相鄰尺度間父系數與子系數的