【正文】 ?tf 的在任一時(shí)間點(diǎn)附近的 性態(tài)。 （ 7）從框架角度來(lái)說(shuō)傅里葉變換是一種非冗余的正交緊框架，而小波變換卻可以實(shí)現(xiàn)冗余的非正交非緊框架。 1974 年 Tukey 首先將非線性的濾波算法（中值濾波）應(yīng)用于圖像處理，由于該方法在保護(hù)圖像細(xì)節(jié)的同時(shí)能有效地濾除沖激噪聲，因此在圖像去噪領(lǐng)域得到了較為廣泛地應(yīng)用。半徑越大，則圖像的模糊程度也越大。但是對(duì)一些細(xì)節(jié)多，特別是點(diǎn)、線、尖頂細(xì)節(jié)多的圖像不宜采用中值濾波的方法。與平均濾波器相比，中值濾波器從總體上來(lái)說(shuō)，它能夠較好地保留原圖像中的躍變部分。級(jí)聯(lián)的方法有兩種：一種是中值濾波級(jí)聯(lián)線性濾波，簡(jiǎn)稱 ML 型，如式 所示 ： ? ? ? ?? ?? ???? wjiM yxfm edyxg ,1 , （ ） 另一種是線性濾波級(jí)聯(lián)中值濾波，簡(jiǎn)稱 LM 型，如式 33 所示： ? ? ? ?? ? ??????? ?? wjiM yxfm edyxg ,1 , （ ） 如果圖像是由許多灰度值相近的小塊組成，采用 ML 型濾波效果較好。下面簡(jiǎn)單介紹一下頻域中常見(jiàn)的低通濾波器。一個(gè)階為 n ，截止頻率為 0D 的巴特沃思低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為： ? ?? ?? ? nDvuDvuH 20,1 1, ?? （ ） 與理想低通濾波器相比，巴特沃思低通濾波器保留有較多的高頻分量，所以對(duì)噪聲的平滑效果不如理想低通濾波器。如果一個(gè)信號(hào)的能量在小波變換域集中于少數(shù)系數(shù)上，那么，這些系數(shù)的取值大于在小波變換域內(nèi)能量分散在大量系數(shù)上的信號(hào)或噪聲的小波系數(shù)值。 （ 1） 模極大值檢測(cè)法 [25] 信號(hào)的奇異性是指信號(hào)某處有間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。從信號(hào)學(xué)的角度看，小波去噪是一個(gè)信號(hào)濾波的問(wèn)題，由于在去噪后，還能夠成功地保留圖像特征，所以小波去噪實(shí)際上也是特征提取和低通濾波功能的綜合。這兩類消噪方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊緣細(xì)節(jié)信息，造成圖像模糊。 0D 越小，同心環(huán)半徑越大，模糊程度愈厲害。 頻域低通濾波法 [23] 對(duì)于一幅圖像來(lái)說(shuō)在分析其頻率特性時(shí)，它的邊緣，突變部分以及顆粒噪聲往往代表圖像信號(hào)的高頻分量，而大面積的圖像背景區(qū)則代表圖像信號(hào)的低頻分量。但是對(duì)于大面積 的噪聲污染，例如高斯分布的白噪聲，在均方誤差準(zhǔn)則下，中值濾波的能力卻不及均值濾波。當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，則將位于中間位置的兩個(gè)數(shù)值的平均值稱為這 n 個(gè)數(shù)值的中值，記作 ? ?naaamed ,..., 21 。因此在許多應(yīng)用場(chǎng)合，選用中值濾波來(lái)克服這些問(wèn)題。也就是說(shuō)，用某一像素鄰域內(nèi)各像素的灰度平均值來(lái)代替該像素原來(lái) 的灰度值。變換域法是在圖像的變換域上進(jìn)行處理，對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng) 的處理，然后進(jìn)行反變換達(dá)到圖像去噪的目的。而在小波變換中，變換系數(shù)? ?baWT , 雖然也是依賴于信號(hào)在時(shí)間窗內(nèi)的情況，但時(shí)間寬度是隨尺度 a 的變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析的能力。兩者的離散化形式都可以實(shí)現(xiàn)正交變換，都滿足時(shí)頻域的能量守恒定律。 與正交小波變換不同的是，雙正交小波變換的重構(gòu)濾波器與分解濾波器不相同。也就是說(shuō)，除了 Haar 小波外，緊支集正交小波不可能具有任何對(duì)稱性，此時(shí)與其對(duì)應(yīng)的 FIR 濾波器 H 和 G 不可能具有線性相位，這樣就會(huì)產(chǎn)生相位失真。 f (x , y) LL11 LL2 LH2 HL2 HH2 LH1 HL1 HH1 (a) 圖像的小波樹(shù)形分解 LL2 HL2 LH2 HH2 HL1 LH1 HH1 (b) 圖像小波分解的塔型結(jié)構(gòu) fAj G H 12? 12? G H G H 21? 21? 21? 21? fDj 11? fDj 12? fDj 13? fAj 1? X 與濾波器 X 卷積 H 低通濾波器 G 高通濾波器 12? 從兩列中取一列 21? 從兩行中取一行 圖 圖像的小波重構(gòu)算法 圖 示意了小波分解圖像的一步重構(gòu)過(guò)程，小波分解圖像的重構(gòu)是先對(duì)列或行進(jìn)行升 2 采樣 (在相鄰列或行間插入一零列或零行 )，然后再按行、按列與一維的低通或高通濾波器進(jìn) 行卷積，這樣遞推下去便可重構(gòu)原圖像。也就是說(shuō)這三部分反應(yīng)的都是細(xì)節(jié)信息。 圖像的小波變換及其 Mallat 算法 圖像是二維信號(hào)，二維多分辨率分析與一維類似，但空間 )(2RL 變成 )*(2 RRL ，一 維中引入的尺度函數(shù) )(x? 變?yōu)?),( yx? 。 0 8/? 4/? 2/? ? V3 W3 W2 W1 V2 V1 V0 圖 多分辨率分析的濾波器組分解樹(shù) 多分辨率分析中的這種樹(shù)形分解有其不可替代的優(yōu)點(diǎn)。 圖 多分辨率頻帶的逐級(jí)剖分 基于上述考慮，我們可以用一對(duì) FIR 濾波器去實(shí)現(xiàn)上述的多分辨率分解。這樣利用尺度函數(shù) ??t? 和小波函數(shù) ??x? 構(gòu)造信號(hào)的低通濾波器和高通濾波器。在離散化時(shí)通常對(duì)尺度因子 a和平移因子 b 按冪級(jí)數(shù)進(jìn)行離散化，即取 mm bbaa 00 , ?? （ m 為整數(shù)， ,10?a 但一般都假定 10?a ），得到離散小波函數(shù)為： ? ? ? ? ? ?0011, 00 000 nbtat maa bnatanm mm ??? ?? ??? （ ） 其對(duì)應(yīng)系數(shù)為： ? ? ? ? ? ?dtttftfC nmnmnm , , ?? ????????? （ ） （ 2）二進(jìn)制小波變換 二進(jìn)小波變換是一種特殊的離散小波變換，特別地令參數(shù) 20?a ， 10?b ，則有 ? ?ntmnm m ?? ?? 22 2, ?? 。 一個(gè)一維函數(shù) ??tf 的連續(xù)小波變換是一雙變量的函數(shù)，變量比 ??tf 多一個(gè)，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因?yàn)樗蟮拇鎯?chǔ)量和它代表的信息量都顯著增加了。 ④ 自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度因子 a 和不同平移因子 b 的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。將不同 a 、 b 值下的時(shí)頻窗口繪在同一個(gè)圖上，就得到小波基函數(shù)的相平面（如圖 所示）。 小波變換 連續(xù)小波變換 [13， 14] （ 1）連續(xù)小波基函數(shù) 所謂小波 (Wavelet)，即存在于一個(gè)較小區(qū)域的波。 1984 年， Morlet 在分析 地震波的局部性時(shí)，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的 Fourier 變換不具有時(shí) 頻局部性，很難達(dá)到實(shí)際需要，因此他首先提出了小波分析的概念，并用于信號(hào)分解中。 小波分析的產(chǎn)生 [12] 小波分析的思想最早出現(xiàn)在 1910 年 Haar 提出了小波規(guī)范正交基。為了盡可能的反映頻域特征隨時(shí) (空 )間的變化，前人做了很多探索，將時(shí) (空 )、頻兩域結(jié)合起來(lái)對(duì)信號(hào)予以描述，提出了時(shí)頻局部化分析方法，如短時(shí)傅立 葉變換，也稱窗口傅立葉變換，特別是 Dennis Gabor 選擇 Gauss 函數(shù)作為最佳窗口函數(shù)，即著名的 Gabor 變換。 第三章 主要對(duì)傳統(tǒng)的去噪方法進(jìn)行了總結(jié)和對(duì)比，主要列舉了空域?yàn)V波法和頻域低通濾波法，指出其去噪的不足。 主要工作 小波理論雖經(jīng)過(guò)多年發(fā)展，并取得了許多非常重要的研究成果?！靶〔ㄊ湛s”被 Donoho 和 Johnstone 證明是在極小化極大風(fēng)險(xiǎn)中最優(yōu)的去噪方法，但在這種方法中最重要的就是確定閾值。f 表示處理后的圖像的灰度， f 表示原始圖像的灰度， N 表示圖像像素的個(gè)數(shù)。 客觀評(píng)價(jià) 盡管主觀對(duì)去噪后圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)是比較權(quán)威的方式，但是在一些研究場(chǎng)合，或者由于試驗(yàn)條件的限制，也希望對(duì)去噪圖 像質(zhì)量有一個(gè)定量的客觀描述。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來(lái)考慮。 圖像去噪效果的評(píng)價(jià) 。 噪聲對(duì)圖像信號(hào)幅度、相位的影響非常復(fù)雜，有些噪聲和圖像信號(hào)是相互獨(dú)立不相關(guān)的，而有些則是相關(guān)的，并且噪聲本身之間也可能相關(guān)。例如均值濾波器、順序統(tǒng)計(jì)濾波器、維納濾波器等。對(duì)于這種“污染”，如果信噪比 (SNR)低于一定水平，就會(huì)影響圖像場(chǎng)景內(nèi)容的表示，直接導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降。是反映自然界客觀事物的，是人類認(rèn)識(shí)世界和自我的重要途徑。鑒于此 ,本文提出了一種基于小波多分辨率分析和最小均方誤差準(zhǔn)則的自適應(yīng)閾值去噪算法。對(duì)于小波變換模極大值去噪法 ,詳細(xì)介紹了其去噪原理和算法 ,分析了去噪過(guò)程中參數(shù)的選取問(wèn)題 ,并給出了一些選取依據(jù) 。薅 罿膈膅蒁羈袇莁莇羇肀 畢業(yè) 論文 基于小波 變換的圖像 去噪 方法 的研究 學(xué)生姓名： 蘭瑞青 學(xué)號(hào)： 07050441X55 學(xué) 院： 信息商務(wù)學(xué)院 系 名： 專 業(yè)： 指導(dǎo)教師： 2020 年 5 月信息與通信工程系 郎文杰 電氣工程及其自動(dòng)化 基于 小波 變換的圖像去噪 方法 的 研究 摘要 圖像是人類傳遞信息的主要媒介。詳細(xì)介紹了小波系數(shù)相關(guān)性去噪方法的原理和算法 。該方法利用小波閾值去噪基本原理 ,在基于最小均方誤差算法 LMS 和 Stein 無(wú)偏估計(jì)的前提下 ,引出了一個(gè)具有多階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的閾值函數(shù) ,利用其對(duì)閾值進(jìn)行迭代運(yùn)算 ,得到最優(yōu)閾值 ,從而得到更好的圖像去噪效果。早期人們?yōu)榱苏鎸?shí)反映自然景物和人物的原貌，對(duì)拍攝到的黑 白照片進(jìn)行手工上色，這就是最原始的圖像處理技術(shù)。除了視覺(jué)質(zhì)量上下降外，噪聲還可能掩蓋一些重要的圖像細(xì)節(jié)，使圖像的熵增大，從而對(duì)于圖像數(shù)據(jù)的有效壓縮起到了一定的妨礙作用。為了進(jìn)一步提高去噪的效果，在變換域中進(jìn)行降噪處理成為有效的方法，圖像變換域去噪就是對(duì)圖像進(jìn)行某一種變換，然后將圖像從時(shí)域變換到變換域中，再對(duì)變換域中的圖像變換系數(shù)按照某種方法進(jìn)行處理，最后再對(duì)處理后的系數(shù)按照某種方法進(jìn)行反變換，這樣就實(shí)現(xiàn)了將圖像去除圖像噪聲的目的。因此要有效降低圖像中的噪聲，必須針對(duì)不同的具體情況采用不同方法，否則就很難獲得滿意的去噪效果。 圖像去噪效果的評(píng)價(jià) 在圖像去噪的處理中，常常需要評(píng)價(jià)去噪后圖像的質(zhì)量。 主觀評(píng)價(jià) 主觀評(píng)價(jià)通常有兩種 [2]：一種是作為觀察者的主觀評(píng)價(jià)，這是由選定的一組人對(duì)圖像直接用肉眼進(jìn)行觀察，然后分別給出其對(duì)所觀察 的圖像的質(zhì)量好或壞的評(píng)價(jià)，再綜合全組人的意見(jiàn)給出一個(gè)綜合結(jié)論。圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)由于著眼點(diǎn)不同而有多種方法，這里介紹的是 一種經(jīng)常使用的所謂的逼真度測(cè)量。 PSNR 單位為 dB。 1995 年， Stanford 大學(xué)的學(xué)者 和 提出了通過(guò)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行非線性閾值處理來(lái)降低信號(hào)中的噪聲 [5]。但小波分析的應(yīng)用潛力仍然很大，仍舊存在著一些需要解決問(wèn)題。 第四章 介紹 了小波去噪的發(fā)展歷程和小波去噪的分類 ，在此基礎(chǔ)上對(duì)傳統(tǒng)的小波去噪技術(shù)進(jìn)行了一定的改進(jìn)，提出 基 于小波閾值的混合濾波圖像去噪方法 ，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性，并對(duì) 小波變換的圖像去噪有關(guān)問(wèn)題 進(jìn)行了 分析 ，提出在去噪過(guò)程中應(yīng)注意的一些事項(xiàng)。窗口傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是信號(hào)分析窗口面積和形狀均固定的時(shí)頻局部化分析，一定程度上克服了傅立葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間 — 頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號(hào)的分析中起到了很好的作用。 20 世紀(jì) 30 年代， Littlewood 和 Paley 對(duì) Fourier 級(jí)數(shù)建立了二進(jìn)制頻率分量分組理論（ LP 理論），即最早的多尺度分析思想。隨后， Grossman對(duì) Morlet 的方法進(jìn)行了研究。小波函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：設(shè)??t? 為一 平方可積函數(shù)，即 ?? ? ?RLt 2?? ，若其傅立葉變換 ??w?? 滿足： ? ? ?? ? ?dwC R ww 2?? （ ） 時(shí)，則稱 ??t? 為一個(gè)基本小波或小波母函數(shù)，并稱上式是小波函數(shù)的可容許條件。 圖 小波基函數(shù)的相平面 （ 2）連續(xù)小波變換 將 ??RL2 空間的任 意函數(shù) ??tf 在小波基下進(jìn)行展開(kāi)，稱其為函數(shù) ??tf 的連續(xù)小波變換 CWT，變換式為： ? ? ? ? ? ?dttffbaWT a btRabaf ?????? ? ?? 1, （ ） 當(dāng)小波的容許性條件成立時(shí)，其逆變換為： ? ? ? ? ? ??? ???? ????? ?? dbbaWTtf a btfadaC ?? ,21 （ ） 其中 ? ? ?? ? ?dwCR ww 2??為 ??t? 的容許性條件。 ⑤ 冗余性：連續(xù)小波變換中存在