【導(dǎo)讀】正如1807年法國的熱學(xué)工程師提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無。幸運(yùn)的是，早在七十年代，表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和。史上非常類似于現(xiàn)在的小波基；1986年著名數(shù)學(xué)家偶然構(gòu)造出一個(gè)真正的小波基，對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、窗口Fourier變換。等運(yùn)算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析，解決了Fourier變。里程碑式的進(jìn)展。的處理將產(chǎn)生不利影響。在圖像處理中，圖像去噪是一個(gè)永恒的主題，為了抑制噪聲，改善圖像質(zhì)量，便于更高層次的處理，必須對圖像進(jìn)行去噪預(yù)處理。其中圖像的小波閾值去噪方法可以說是眾多圖像去噪方法的佼佼者。像小波分解后，各個(gè)子帶圖像的不同特性選取不同的閾值，從而達(dá)到較好的去噪目的。噪聲的效果較好，但對于混有脈沖噪聲的混合噪聲的情形處理效果并不理想。在信號處理過程中，通過MATLAB. 學(xué)習(xí)小波變換的基礎(chǔ)知識，對基于小波變換的圖像去噪做初步了解。第15周：答辯前資格審查。

　　

【正文】 仍不斷有新的方法出現(xiàn)，而且也可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)為如何最大限度地獲得信號的先驗(yàn)信息 [18]，并用這些信息來確定更合適的 閾值 或 閾值 向量，以達(dá)到更高的去噪效率 。 另外，除了 閾 值收縮方法外， Kivnac， John和 Xu 等人還提出了不同的去噪方法 [l9]，例如利用 LiPschitz 指數(shù)的方法和基于最大后驗(yàn) 概率 MAP的比例收縮法等，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。 小波去噪的研究現(xiàn)狀 在數(shù)學(xué)上，小波去噪問題的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問題，即如何在有小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對原圖像的最佳逼近，以完成原圖像和噪聲的區(qū)分。這個(gè)問題可以表述為： ? ?? ?sopt ff ?? ?? m ina r g ? ?? ?代表最優(yōu)解o p tff optopt ?? 為噪聲圖像為原圖像 nsns fffff ,?? ? ? ? ?? ?Jj Jjs pa nWffI 212 ,?? ??? ，為實(shí)際圖像 ? ?的函數(shù)空間影射為 WIT ?? ?? 由此可見，小波去噪方法也就是尋找實(shí)際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到原圖像的最佳恢復(fù)。從信號的角度看，小波去噪是一個(gè)信號濾波的問題，而且盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于在去噪后，還能成功地保留圖像特征，所以在這一點(diǎn)上優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器。由此可見，小波實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其等效框圖如圖 22所題目 15 示。 圖 22 小波去噪的等效框圖 在 早期，人們通過對邊緣進(jìn)行某些處理，以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊。在這一點(diǎn)上，雖然這種方法同小波去噪很相似，但是小波變換之所以能夠很好地保留邊緣，是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的多分辨率特性，小波變化后，由于對應(yīng)圖像特征 (邊緣等 ) 處的系數(shù)幅值變大，而且在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特征提取和保護(hù)。相對早期的方法而言，小波噪聲對邊緣等特征的提取和保護(hù)是有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論背景的，因而便于系統(tǒng)的理論分析。在許多國內(nèi)外研究學(xué)者的努力下，小波去噪技術(shù)在信號處理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。早期的小波去噪工作類似有損壓縮技術(shù)，即先 對含噪信號進(jìn)行正交小波變換，再選定一個(gè)固定的閾值與小波系數(shù)比較進(jìn)行取舍，低于此閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，然后進(jìn)行小波重構(gòu)恢復(fù)原信號，上述算法中的閾值選取完全取決于經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用[2428]。 1992年，由 Zhong提出了小波模極大值方法 [40]，具體來說，就是利用有用信號與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分析中呈現(xiàn)不同的奇異性，用計(jì)算機(jī)自動實(shí)現(xiàn)由粗到精的跟蹤并消除各尺度下屬于噪聲的模極大值，然后利用屬于有用信號的模極大值重構(gòu)小波，模極大值方法可使信噪比提高 47dB。由于受到各種因素的干擾， 這種跟蹤是很困難的，在實(shí)際工作中需要一些經(jīng)驗(yàn)性的判據(jù)。奇異點(diǎn)重建信號分為過零點(diǎn)重建小波變換和模極大值重建小波變換，其缺點(diǎn) :用過零點(diǎn)或極大值來重建信號只是一種逼近，結(jié)果不太精確。 1995年， Stanford大學(xué)的學(xué)者 閾值處理來恢復(fù)噪聲中的信號 [2427]，稱為 “ 小波收縮 ” 。在此基礎(chǔ)上，他們提出了軟閾值和硬閾值的準(zhǔn)則，并從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度出發(fā)，不斷完善這一理論。他們算法的去噪效果超過了一般的線性去噪技術(shù)，算法中的閾值選取取決于噪聲能量的大 小，換句話說，是取決于帶噪信號的信噪比的。和固定閾值算法一樣，分解后的每一層小波系數(shù)和這一閾值比較后進(jìn)行非線性處理，要么保留或收縮，要么歸零。有文獻(xiàn)表明 [34]，與 Mallat的模極大值法相比較，閾值法去噪后有噪信號的信噪比提高10dB以上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，閾值法去噪效果優(yōu)于模極大值法，而且實(shí)現(xiàn)起來更為簡單。 這之后的小波去噪方法主要是從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)，提高去噪的效果。比較有影響的方法有： Eero moncelli和 E 準(zhǔn)則確 定小波閾值的方法 [31]。 Elwood ，提出了三種基于小波相位去噪方法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值和尺度相位變動閾值法 [32]；學(xué)者 Kozaitis結(jié)合小波變換和高階統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)，提出對一維信號進(jìn)行去噪和信號重建的基于高階統(tǒng)計(jì)量的小波閾值去噪方法題目 16 [33]； GCV(general cross validation)法對圖像進(jìn)行去噪 [34]. Woolsey等提出結(jié)合維納濾波器和小波閾值的方法對信號進(jìn)行去 噪[35],VasilyStrela等人將一類新的特性良好多小波 (約束對 )應(yīng)用于圖像去噪的方法 [34]，這些方法均取得了良好的效果，對發(fā)展小波去噪的理論和應(yīng)用起著重大的作用。 小波去噪方法 小波去噪的方法有多種，如利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪、利用小波變換模極大值的方法去噪、利用信號小波變換后空域相關(guān)性進(jìn)行信噪分離、非線性小波 閾值 方法去噪、平移不變量小波去噪法，以及多小波去噪等等。歸結(jié)起來主要有三類 :模極大值檢測法、 閾值 去噪法和屏蔽 (相關(guān) )去噪法。其中最常用的就是 閾值 法去噪，本文主要研 究 閾 值去噪。 題目 17 第四 章 小波閾值去噪及 MATLAB 仿真 小波閾值去噪概述 閾值去噪法簡述 1992 年，斯坦福大學(xué)的 Donoho D L 和 Johnstone 教授提出一種具有良好的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化特性的去噪方法，稱作“ Wavelet Shrinkage”（即閾值收縮法）。 該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小波變換后具有不同的統(tǒng)計(jì)特性：圖像本身的能量對應(yīng)著幅值較大的小波系數(shù) ,主要集中在高頻（ LL ）； 噪聲能量則對應(yīng)著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。根據(jù)該特征，設(shè)置一個(gè)閾值門限，認(rèn)為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成份為有用的信號，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成份為噪聲，予以剔除，這樣就可以達(dá)到去噪的目的。 去噪時(shí)，通常認(rèn)為低通系數(shù)含有大量的圖像能量，一般不作處理，只對剩余三個(gè)高通部分進(jìn)行處理。因此，一次閾值去噪并不能完全去除噪聲，還需要對未作處理的低頻部分（ LL ）再次進(jìn)行小波分解和閾值去噪，直到實(shí)際圖像與估計(jì)圖像的偏差達(dá)到最小值。 但 是，隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來越少，并且趨于分散，去噪的效果將逐漸降低。一般來說，進(jìn)行 34層小波分解和去噪就可以達(dá)到滿意的去噪效果。 小波閾值去噪方法 小波閾值去噪的基本思路是： （ 1）先對含噪信號 ??kf 做小波變換，得到一組小波系數(shù) kjW, ； （ 2）通過對 kjW, 進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)系數(shù) kjW,^ ，使得 kjW,^ 與 kjW, 兩者的差值盡可能??； （ 3）利用 kjW,^ 進(jìn)行小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號 ??kf 即為去噪后的信號。 題目 18 Donoho提出了一種非常簡潔的方法對小波系數(shù) kjW, 進(jìn)行估計(jì)。對 ??kf 連續(xù)做幾次小波分解后，有空間分布不均勻信號 ??ks 各尺度上小波系數(shù) kjW, 在某些特定位置有較大的值，這些點(diǎn)對應(yīng)于原始信號 ??ks 的奇變位置和重要信息，而其他大部分位置的 kjW, 較小；對于白噪聲 ??kn ，它對應(yīng)的小波系數(shù) kjW, 在每個(gè)尺度上的分不都是均勻的，并隨尺度的增加， kjW, 系數(shù)的幅值減小。因此，通常的去噪辦法是尋找一個(gè)合適的數(shù) ? 作為閾值（門限），把低于λ的小波函數(shù) kjW, （主要由信號 ??kn 引起），設(shè)為零，而對于高于 ? 的小波函數(shù) kjW, （主要由信號 ??ks 引起），則予以保留或進(jìn)行收縮，從而得到估計(jì)小波系數(shù) kjW,^ ，它可理解為基本由信號 ??ks 引起的，然后對 kjW,^ 進(jìn)行重構(gòu)，就可以重構(gòu)原始信號。 估計(jì)小波系數(shù)的方法如下，?。? ? ?Nlog2?? ? (51) 定義： ????? ??? ??kjkjkjkj WWWW,^ ,0 , (52） 稱之為硬閾值估計(jì)方法。一般軟閾值估計(jì) 定義為 ? ?? ?????? ? ??? ? ??kjkjkjkj W WkWjWs ig nW,^ ,0 , (53) 基于 MATLAB 的小波去噪函數(shù)簡介 常用的圖像降噪方式是小波閾值降噪方法。這是一種實(shí)現(xiàn)簡單而效果較好的降噪方法，閾值降噪方法的思想很簡單，就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進(jìn)行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計(jì)方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟 閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真等現(xiàn)象：而軟閾值處理相對較光滑，但可能會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。 題目 19 小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲：相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講 ,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。 MATLAB中實(shí)現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方面。 1 閾值獲取 MATLAB 中實(shí)現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有 ddencmp、 select、 wbmpen 和 wdcbm2。這里主要介紹函數(shù)ddencmp。 函數(shù) ddencmp的功能是獲取降噪或壓縮的默認(rèn)值。該函數(shù)是降噪和壓縮的導(dǎo)向函數(shù)，它給出一維或二維信號使用小波或小波包進(jìn)行降噪和壓縮一般過程的所有默認(rèn)值。 其語法格式為： [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（ IN1， IN2， X） [THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（ IN1，‘ wv’ ， X） [THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]= ddencmp（ IN1，‘ wp’ ， X） 2 閾值降噪 MATLAB中實(shí)現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有 wden、 wdencmp、 wpdencmp、 wthresh、 wpthcoef和 wthcoef2。這里主要介紹函數(shù) wdencmp。 其語法格式為： [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。gbl39。,X,39。wname39。,N,THR,SORH,KEEPAPP) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。lvd39。,X,39。wname39。,N,THR,SORH) [XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。lvd39。,C,L,39。wname39。,N,THR,SORH) 函數(shù) wdencmp的功能是使用小波進(jìn)行降噪。該函數(shù)是二維小波降噪的導(dǎo)向函數(shù)。它使用小波對信號或圖像執(zhí)行降噪過程。 wname是所用的小波函數(shù)。 gbl（ global）表示每層都采用同一個(gè)閾值進(jìn)行處理。 lvd表示每層用不同的閾值進(jìn)行處理。 N表示小波分解的層數(shù)。 THR為閾值向量，長度為 N。SORH表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為‘ s’和‘ h’）。參數(shù) KEEPAPP取值為 1是，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾 值量化。 XC是降噪后的信號， [CXC,LXC]是 XC的小波分解結(jié)構(gòu)， PHRF0和 PERFL2是恢復(fù)和壓縮 L2的范數(shù)百分比。如果 [C， L]是 x的小波分解結(jié)構(gòu)，則 PERFL2=100?（ CXC向量的范數(shù) /C向量的范數(shù)） 2；如果 X是一維信號，小波 wname是一個(gè)正交小波，則 PERFL2= 22 /XC100 X 。 小波去噪與常用去噪方法的對比試驗(yàn) 題目 20 圖像系統(tǒng)中的常見噪聲 一般在圖像中常見的噪聲有 : 按噪聲幅度分布形狀 而分，成高斯分布的稱為高斯噪聲，主要由阻性元器件內(nèi)部產(chǎn)生。 按噪聲和信號之間的關(guān)系分為加性噪聲和乘性噪聲。加性噪聲與輸入圖像信號無關(guān) ,含噪圖像可表示為 ),(),(),( yxnyxgyxf ?? 。乘性噪聲往往隨圖像信號的變化而變化其含噪圖像可表示為),(),(),(),( yxgyxnyxgyxf ?? 椒鹽 (Salt and pepper)噪聲 :主要是圖像切割引起的黑圖像上的白點(diǎn)噪聲或光電轉(zhuǎn)換過程中產(chǎn)生泊松噪聲。 量化噪聲：此類噪聲與輸入圖像信號無關(guān) ,是量化過程存在量化誤差，再反映到接收端而產(chǎn)生，其大 小顯示出數(shù)字圖像和原始圖像差異。 本文為了分析不同去噪方法的應(yīng)用范圍，將原圖像分別加入高斯噪聲及椒鹽噪聲，運(yùn)用 Matalab 編程實(shí)現(xiàn)兩種不同濾波方法的去噪結(jié)果，并據(jù)此進(jìn)行比較得出相應(yīng)結(jié)論。 下