導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-05-04 02:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 從上題的解答我們可看出:用導(dǎo)數(shù)來(lái)探討y= f(x)圖像與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題,有以下幾個(gè)步驟:構(gòu)造函數(shù)y= f(x)。求導(dǎo)f(x)。研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值。畫(huà)出函數(shù)y= f(x)的草圖,觀察與x軸的交點(diǎn)情況,列出不等式或方程。解不等式或方程,得解。4 研究導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用不等式證明的問(wèn)題，其綜合性強(qiáng)、思維量大，因此歷來(lái)是高考的難點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)．通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題． 例10 求證：不等式在上成立．分析:通過(guò)作差，構(gòu)造函數(shù)， 和， 再通過(guò)對(duì)和求導(dǎo)來(lái)判斷。證明:構(gòu)造函數(shù)，則，得知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即成立。又?gòu)造函數(shù)，則，得知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即成立。綜上所述，原命題成立。 例11 設(shè)為任一常數(shù)，試證：當(dāng)時(shí)， 證明:當(dāng)時(shí)，取， 因，所以只要證明當(dāng)時(shí)， 或 令，解得穩(wěn)定點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)， 時(shí)， 所以，是的最小值點(diǎn)。 即有 ， ， 故當(dāng)時(shí)，成立。 注:利用最值證明不等式，如果函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，要證在上有成立，不妨證明在上的最小值；要證在上有成立，不妨證明在上的最大值。5 研究導(dǎo)數(shù)在恒等式的證明中的應(yīng)用在初等數(shù)學(xué)中一類(lèi)等式的證明，：推論1：在區(qū)間I上，若，則.推論2：在區(qū)間I上，若，則.：首先選擇 （或及），計(jì)算并檢驗(yàn)（或），從而推出，再在待證的恒等式的未知數(shù)允許值內(nèi)取某特殊值，從而確定常數(shù)C。 例12 試證時(shí)。 證明:令時(shí)， ， ， 令時(shí)，則， 又， 因此時(shí)。 例13 求證 解：， 兩邊都有是關(guān)于X的函數(shù)，求導(dǎo)得： ，用常規(guī)方法求數(shù)列（級(jí)數(shù)）的和，有時(shí)技巧性很高，或者計(jì)算十分繁瑣，如果借助導(dǎo)數(shù)這一工具，常可化繁為簡(jiǎn)，化難為易。 例14 求。 解：由 ， 即， 對(duì)上面恒等式兩邊取x的導(dǎo)數(shù)得 ， 令時(shí)， 即所求的和，如果能根據(jù)不同的情況，利用不同的二項(xiàng)展開(kāi)式的微分式，以下一些問(wèn)題便可仿例證明之： ， ， ，對(duì)于一些較復(fù)雜的組合問(wèn)題，用中學(xué)傳統(tǒng)方法技巧性較高，考慮構(gòu)造二項(xiàng)式，讓我們求證，我們也可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)方便解決一些數(shù)列和組合的求和問(wèn)題，再例如，概率論中研究二項(xiàng)項(xiàng)時(shí)遇到計(jì)算以下的和的問(wèn)題。 例15 利用公式推導(dǎo)公式 證明：視a為變量，對(duì)的兩邊求導(dǎo)，得 ，反過(guò)來(lái)，可由推 由推出；或者由后者推出前者，. 其實(shí)，可以推出 另一類(lèi)僅含三角函數(shù)的恒等式。6 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列方面的應(yīng)用數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的部分，也是個(gè)難點(diǎn)。事實(shí)上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題。介紹導(dǎo)數(shù)在一類(lèi)數(shù)列求和問(wèn)題中的應(yīng)用，以開(kāi)闊視野。 例16 求下列數(shù)列之和： （1）； （2）； （3）. 分析:（1）由，可設(shè)， 則，而上 式兩端求導(dǎo)，并整理得①，（2）比較（1）（2）兩式中的通項(xiàng)可發(fā)現(xiàn)，只需對(duì)兩端同乘以，再對(duì)求 導(dǎo)便可得到 ，（3）由可知只需對(duì)式兩端繼續(xù)求導(dǎo)便可得到 ，
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