導數(shù)在初等數(shù)學中的應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-05-04 02:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 從上題的解答我們可看出:用導數(shù)來探討y= f(x)圖像與x軸的交點問題,有以下幾個步驟:構造函數(shù)y= f(x)。求導f(x)。研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值。畫出函數(shù)y= f(x)的草圖,觀察與x軸的交點情況,列出不等式或方程。解不等式或方程,得解。4 研究導數(shù)在不等式中的應用不等式證明的問題，其綜合性強、思維量大，因此歷來是高考的難點．利用導數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價變形后，結合不等式的結構特征，構造相應的函數(shù)．通過導數(shù)運算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉化為函數(shù)問題． 例10 求證：不等式在上成立．分析:通過作差，構造函數(shù)， 和， 再通過對和求導來判斷。證明:構造函數(shù)，則，得知在上單調(diào)遞增，又因為，所以，即成立。又構造函數(shù)，則，得知在上單調(diào)遞增，又因為，所以，即成立。綜上所述，原命題成立。 例11 設為任一常數(shù)，試證：當時， 證明:當時，取， 因，所以只要證明當時， 或 令，解得穩(wěn)定點， 當時， 時， 所以，是的最小值點。 即有 ， ， 故當時，成立。 注:利用最值證明不等式，如果函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，要證在上有成立，不妨證明在上的最小值；要證在上有成立，不妨證明在上的最大值。5 研究導數(shù)在恒等式的證明中的應用在初等數(shù)學中一類等式的證明，：推論1：在區(qū)間I上，若，則.推論2：在區(qū)間I上，若，則.：首先選擇 （或及），計算并檢驗（或），從而推出，再在待證的恒等式的未知數(shù)允許值內(nèi)取某特殊值，從而確定常數(shù)C。 例12 試證時。 證明:令時， ， ， 令時，則， 又， 因此時。 例13 求證 解：， 兩邊都有是關于X的函數(shù)，求導得： ，用常規(guī)方法求數(shù)列（級數(shù)）的和，有時技巧性很高，或者計算十分繁瑣，如果借助導數(shù)這一工具，常可化繁為簡，化難為易。 例14 求。 解：由 ， 即， 對上面恒等式兩邊取x的導數(shù)得 ， 令時， 即所求的和，如果能根據(jù)不同的情況，利用不同的二項展開式的微分式，以下一些問題便可仿例證明之： ， ， ，對于一些較復雜的組合問題，用中學傳統(tǒng)方法技巧性較高，考慮構造二項式，讓我們求證，我們也可以用導數(shù)來方便解決一些數(shù)列和組合的求和問題，再例如，概率論中研究二項項時遇到計算以下的和的問題。 例15 利用公式推導公式 證明：視a為變量，對的兩邊求導，得 ，反過來，可由推 由推出；或者由后者推出前者，. 其實，可以推出 另一類僅含三角函數(shù)的恒等式。6 導數(shù)在數(shù)列方面的應用數(shù)列是高中數(shù)學中一個重要的部分，也是個難點。事實上數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關系，運用導數(shù)來解決數(shù)列的有關問題。介紹導數(shù)在一類數(shù)列求和問題中的應用，以開闊視野。 例16 求下列數(shù)列之和： （1）； （2）； （3）. 分析:（1）由，可設， 則，而上 式兩端求導，并整理得①，（2）比較（1）（2）兩式中的通項可發(fā)現(xiàn)，只需對兩端同乘以，再對求 導便可得到 ，（3）由可知只需對式兩端繼續(xù)求導便可得到 ，
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