對角化矩陣的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 03:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 陣可對角化,否則就認(rèn)為矩陣不能可對角化,其中.定理 設(shè)為數(shù)域上的一個(gè)階的矩陣,且它為可對角化的，是的相互不同的特征根,則一定會(huì)有階的滿足 (1)； (2)是單位矩陣； (3)； (4),其中.證明 （1）如果可對角化,那么在數(shù)域上一定會(huì)存在一個(gè)可逆矩陣,并且它的階數(shù)為階，滿足,其中的重?cái)?shù)為,由于矩陣,將它記為,因此，,將其記為,其中,所以.(2)如果每個(gè)為對角形的冪矩陣,那么,故.(3)如果,那么,故.(4)當(dāng)時(shí),為零矩陣,故.例1 在數(shù)域上，若已知的三個(gè)特征根分別是,則一定會(huì)有一個(gè),滿足,其中,將矩陣,記,則其中,于是,并且滿足： (1)； (2)； (3)； (4).可以通過一個(gè)比較具體的可對角化矩陣,很直觀地反映上述所說的性質(zhì)是成立的. 矩陣對角化的方法 運(yùn)用矩陣初等變換的方法在數(shù)域上,一個(gè)維空間,研究和探討它能否可以找到一組基，并且在此基的作用下，所有的矩陣都是對角化的矩陣；發(fā)現(xiàn)這種基存在時(shí), 如何去探索它是一個(gè)線性代數(shù)學(xué)上相當(dāng)重要的問題,可以利用矩陣的初等變換的方法來解決此問題.當(dāng)發(fā)現(xiàn)矩陣不能夠?qū)崿F(xiàn)對角化的時(shí)候,同樣可以經(jīng)過相近的一系列變換后，化簡出矩陣,可有矩陣,做如下的初等變換,則可以將矩陣化簡為對角形矩陣,并且可以求得或由求的一系列特征值. 求解齊次方程組的方法設(shè)矩陣是實(shí)對稱矩陣,則求證交矩陣使得的問題,一般的解法為： (1)求其特征值； (2)求其對應(yīng)的特征向量； (3)寫出矩陣及. 從而可以求出正交矩陣,可以避免了商的繁瑣運(yùn)算. 定理 設(shè)是實(shí)對稱矩陣,則有,對應(yīng)于,記由生成的一個(gè)空間,且由生成的空間.2對角化矩陣的應(yīng)用例2 設(shè)在數(shù)域上，有一個(gè)二維的線性空間,是這個(gè)線性空間的一組基,那么線性變換在這組基的作用下的矩陣,試通過上述給出的條件計(jì)算出矩陣.解 通過分析上述的條件，我們應(yīng)該先計(jì)算線性變換在線性空間的另一組基作用下的矩陣,令,則,易知,再運(yùn)用上面得出的幾個(gè)關(guān)系,即.例3 設(shè)有一個(gè)實(shí)對稱矩陣，且它的階數(shù)為階，已知,對應(yīng)于,求解．解 根據(jù)矩陣是階實(shí)對稱矩陣的條件,我們可以推出矩陣可以對角化的結(jié)論,即得出矩陣是由三個(gè)線性無關(guān)的特征向量組成的結(jié)論,并且對應(yīng)于,因?yàn)樗驼?即,所以可以求出,則,于是.例4 請判斷下述三個(gè)矩陣是否會(huì)相似.解 我們可以很容易的得出三個(gè)矩陣的特征值分別都是(二重),其中矩陣已經(jīng)是對角陣,可以推出,因?yàn)?是一個(gè)二重的特征值,但是卻只有一個(gè)特征向量與之所對應(yīng),得出,通過，,得出,通過上述所推出的結(jié)論，我們可知矩陣有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量,即矩陣與矩陣這兩個(gè)矩陣相似.例 設(shè)有一個(gè)實(shí)對稱矩陣，并且它的階數(shù)為階，滿足,求出的全部特征值． 解 假設(shè)為矩陣的一個(gè)特征值,而我們令
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