【文章內(nèi)容簡介】 即有 ? ? ab afbff ??? )()(39。 ? . 區(qū)間套定理證明法 [4] 在用區(qū)間套證明拉格朗日中值定理時，我們先給出能用的三個引理，及其相應的證明 . 引理 1： 設函數(shù) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，且滿足 )()( bfaf ? ，則存在一閉區(qū)間 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 2ab????? 且 )()( ?? ff ? 證：設函數(shù) ? ? )()2( xfabxfx ????? 且 ?????? ?? 2, baax 德州學院 數(shù)學科學學院 2021屆 數(shù)學與應用數(shù)學 畢業(yè)論文 7 根據(jù)已知函數(shù) ??x? 在區(qū)間 ?????? ?2, baa上連續(xù)，且 ? ? )()2()()2( afbafafabafa ???????? )()2()()2()22()2( abafbfbafabbafba ?? ???????????? 若 )2()( bafaf ??，則由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性定理，存在一點?????? ?? 2, baa? ，使得 ? ? 0)()2( ????? ???? fabf 則可以令 2, ab ???? ???? 故存在一閉區(qū)間 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 )()(,2 ???? ffab ???? 且 引理 2: 設 f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，則存在 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 2ab?????且 ? ?ab afbfff ????? )()()(?? ?? 證明：令 ? ? ab afbfxxfxF ????? )()(,)( ?? 顯然 )(xF 在 ? ?ba, 上連續(xù)且 )()( bFaF ? 因此，我們由引理 1可以得出，存在 ? ? ? ?ba, ??? ，使得 2ab????? 且)()( ?? FF ? 即 ?????? ??? )()( ff 所以 ??? ?? ?????? ab afbfff )()()()( 引理 3： 若函數(shù) f 在 ),( ba 內(nèi)一點 0x 可導，對任意兩個數(shù)列 ? ?? ?nn ?? , ，該兩數(shù)列滿足 nn x ?? ?? 0 ，且0limlim xnnnn ?? ???? ??，則 ? ?039。)()(lim xfff nn nnn ????? ?? ??. 根據(jù)上面給出的這三個引理，下面我們開始證明拉格朗日中值定理 . 德州學院 數(shù)學科學學院 2021屆 數(shù)學與應用數(shù)學 畢業(yè)論文 8 證明：因為函數(shù) f 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)，由我們上面給出的引理 2可知，存在 ? ? ? ?ba, ??? ，使得2ab?????且ab afbfff ????? )()()()( ?? ?? 同理，存在 ? ? ? ????? , 11 ? ，使得 211 22 ab ????? ???? 且 ?? ???? ?? ????? )()()()( 11 11 ffff 依次類推，可得 ? ?ba, 上的一系列閉區(qū)間 ? ?? ?nn ??, （ ban ??? 00 。3,2,1 ??? ） 滿足 （ 1） )3,2,1(2 ????? nabnnn ?? （ 2） ? ? ? ? )3,2,1(, 11 ????? nnnnn ???? （ 3） )3,2,1()()()()( ??????? nab afbfff nn nn ?? ?? 則由閉區(qū)間套定理，在 ? ?ba, 存在唯一的一點 ? ?ba,?? ，使得 ??? ?????? nnnn limlim 根據(jù)引理 3，我們可以得出 ? ? ? ? ? ? ? ? ab afbfab afbffff nnn nnn ????????? ???? )()()(l i ml i m39。 ?? ??? 4 拉格朗日中值定理的應用 拉格朗日中值定理是微積分學中重要的定理之一，它在解決許多數(shù)學學問題中有著不可或缺的角色 .為了更好地了解拉格朗日中值定理在數(shù)學各個問題中的應用，我們分別一一列舉出它的用途，以及相應的例題 . 定理在求極限中的應用 拉格朗日中值定理在求極限中有著重要的地位，尤其是它的推廣的泰勒定理在求極限中的地位更為突出 .為了更好的說明該定理在極限中的重要作用，我們下面列舉出幾個例題 . 德州學院 數(shù)學科學學院 2021屆 數(shù)學與應用數(shù)學 畢業(yè)論文 9 例 1 xx xexx c os11lim0 ????? 根據(jù)拉格朗日中值定理的推廣，我們運用泰勒定理來解決這個求極限問題 . 解：原式 = ? ?? ? 324181212222????????? ???xoxxox 例 2 nn afnaf???????????? ??? )()1(lim （其中函數(shù) f 在點 )(aU 可導 ， 且 0)( ?af ） . 根據(jù)拉格朗日中值定理，以及特殊函數(shù)的極限，我們可以利用泰勒定理解決上述極限問題 . 解：原式 = )()(239。 39。)()1(1)()(l i m afafnneaf nonafaf????????????? ?????? 定理在 證明恒等式中的應用 在證明恒等式中，拉格朗日中值定理有著重要的地位 .拉格朗日中值定理的推論在 ))(()()( 039。0 xxfxfxf ??? ? 成立時：當導數(shù) 0)(39。 ?xf 時 ， 函數(shù) ）（ xf 恒等于某一個常數(shù) .利用這個推廣的定理 ， 我們可以證明恒等式 . 例 3[5] 11)1l n()(0???? ? xdtt tx x 在? 有意義 .證明：)(21)()( 2xxx ??? ??? 證明：問題等價于要證明函數(shù) 0)(21)()()( 2 ????? xxxxf ??? 事實上， )()()()( 239。39。39。39。 xxxxxf ??? ???? 德州學院 數(shù)學科學學院 2021屆 數(shù)學與應用數(shù)學 畢業(yè)論文