齊次化原理的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-21 22:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 證明見(jiàn)附錄1。下面驗(yàn)證齊次化原理，在方程（）中，⑴、當(dāng)時(shí)，⑵、由含參變量積分的微分公式得，當(dāng)時(shí)，⑶、同理可得，證明完畢。通過(guò)驗(yàn)證，我們可以得出齊次化原理的可行性，下面我們就利用這個(gè)原理來(lái)解決在波動(dòng)方程求解中將的非齊次方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程來(lái)進(jìn)行求解的問(wèn)題。（2）非齊次方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用對(duì)于初值問(wèn)題（ii），我們可以利用齊次化原理把非齊次方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程來(lái)求解。即，若已知是齊次方程 （）的解，那么便是初值問(wèn)題（ii）的解。在方程 （）中，令，則方程便可轉(zhuǎn)化為， （）容易看出，（）與初值問(wèn)題（i）是同類問(wèn)題，于是下面我們直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾求解公式求出方程（）的解，再替換變量得到（）的解，即。由達(dá)朗貝爾公式可知，（）的解為，于是根據(jù)齊次化原理，就得出初值問(wèn)題（ii）的解，即 （）下面驗(yàn)證（）是初值問(wèn)題（ii）的解，由含參變量積分的微分公式，可得到，于是有，又容易得知，于是可以證明，就是初值問(wèn)題（ii）的解。綜上可知，方程（）的解由疊加原理可以表示為，在非齊次波動(dòng)方程的初值問(wèn)題求解中，首先將方程分解簡(jiǎn)化為泛定方程齊次、初始條件非齊次及泛定方程非齊次、初始條件齊次的兩個(gè)方程。然后通過(guò)齊次化原理，將非齊次方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程，并且求出了齊次方程的解的表達(dá)式，即達(dá)朗貝爾公式。應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式及齊次化原理得出了非齊次的解的表達(dá)式。最后通過(guò)疊加原理，得出了方程的最終解的表達(dá)式。 波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的求解上一節(jié)我們研究了在波動(dòng)方程的初值問(wèn)題中，如何運(yùn)用齊次化原理將非齊次方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程進(jìn)行求解的問(wèn)題。在初邊值問(wèn)題中，齊次化原理同樣成立。下面我們繼續(xù)討論在波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題中，如何運(yùn)用齊次化原理將非齊次方程轉(zhuǎn)化為其相應(yīng)的齊次方程，并求出方程解的表達(dá)式。 齊次波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的求解類似于上一節(jié)初值問(wèn)題的求解，我們先解決齊次方程初邊值的求解問(wèn)題。齊次波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題具有以下形式， （）由于邊界條件是齊次的，所以可以運(yùn)用分離變量法對(duì)其進(jìn)行求解。在方程（）中，令 （）其中， 是僅與相關(guān)的函數(shù)，是僅與相關(guān)的函數(shù)。將（）帶入方程（），則有，于是存在一個(gè)常數(shù)，使得 （）成立。于是就可以得到兩個(gè)常微分方程 （）以及， （）再考慮相關(guān)的邊界條件，于是就有方程 （）對(duì)于方程（）的解，隨著以及的不同情況而不同，于是我們分三種情況討論它的解。1） 當(dāng)時(shí)，方程（）的通解可以表示為，要讓它滿足邊界條件，則有由于于是只能有，即方程只有平凡解。2） 當(dāng)時(shí)，方程的通解可以表示為，要使其滿足邊界條件，則只有3） 當(dāng)時(shí)，方程的通解有以下形式，由邊界條件可得。再由可知，若，則只有于是就有， （）從而可得到一組非零解 （）然后將代入到方程（）中，就可以得到它的通解， （）其中，為任意常數(shù)。于是有這樣方程（）的解就可以寫(xiě)成 （）下面我們求出滿足初始條件的。對(duì)關(guān)于進(jìn)行求導(dǎo)，可得于是根據(jù)方程的初始條件，有根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)性質(zhì)，有將代入（）即可得到方程（）的用級(jí)數(shù)形式表示的解。 非齊次波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的求解與齊次化原理的應(yīng)用在上一節(jié)中，我們通過(guò)運(yùn)用分離變量法成功求解出齊次波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題解得表達(dá)式，然而在非齊次的情況下，我們還是要先將非齊次方程轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的齊次方程來(lái)進(jìn)行處理。本節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)介紹如何應(yīng)用齊次化原理解決非齊次波動(dòng)方程。在本節(jié)中，我們同樣首先把方程化簡(jiǎn)為一個(gè)齊次方程與一個(gè)非齊次方程，再運(yùn)用齊次化原理把非齊次方程的求解轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程的求解，即通過(guò)分離變量法求出齊次方程的解，進(jìn)而得出非齊次方程的解，最后通過(guò)疊加原理得到最終的解的表達(dá)式。非齊次波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題具有以下形式： （）方程是線性的，同樣可以應(yīng)用疊加原理進(jìn)行求解，從而我們可以把方程分解為，（I）（II）于是，若已知（I）與（II）的解分別為，則方程（）的解為，對(duì)于方程（I），我們可以直接利用（）的結(jié)論，得出它的解為： （）其中，下面我們引出齊次化原理，并求解方程（II）。（1）齊次化原理若是初邊值問(wèn)題 （）的解，則是方程 （）的解。在波動(dòng)方程的初值問(wèn)題中，我們已經(jīng)驗(yàn)證了齊次化原理是成立的。接下來(lái)我們只需驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，的值即可。因?yàn)?，所以所以，齊次化原理在波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題中也是成立的。（2）非齊次方程的求解對(duì)方程（II）應(yīng)用齊次化原理，可知，若是初邊值問(wèn)題 （）的解，則就是方程（II）的解。在方程（）中，令，則方程便可化為 （）由于方程（）的泛定方程與邊界條件都是齊次的，于是便可以歸結(jié)為與方程（I）是同類方程來(lái)求解。直接利用（）的結(jié)論，可以得出方程（）的解為， （）其中，把代入（）即可得到方程（）的解， （）其中于是方程（II）的解為， （）其中于是，根據(jù)疊加原理，初邊值問(wèn)題（）的解為其中， 非齊次邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用，我們討論了齊次化原理在波動(dòng)方程的初值以及初邊值問(wèn)題中的應(yīng)用，即齊次化原理在邊界為齊次的情況下是成立的。下面我們簡(jiǎn)單介紹在波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題中邊界條件是非齊次的情形下，如何轉(zhuǎn)化方程進(jìn)而求解方程。波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題非齊次邊界條件的情形，即 （）這里要求是具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并且。根據(jù)疊加原理，這個(gè)問(wèn)題可以分解為（I）、（II）（）以及（III）所以方程（）的解為。我們?cè)谏弦还?jié)中已經(jīng)得出了，所以下面我們求解問(wèn)題（III）的解。其實(shí)問(wèn)題（III）也可以轉(zhuǎn)化為問(wèn)題（I）和（II）的形式來(lái)求解，就是說(shuō)只要找到一個(gè)合適輔助函數(shù)把非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件來(lái)求解即可。我們令 （）容易看出，（）就是一個(gè)滿足方程（）的邊界條件
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