【正文】 （）其中，再把代入（）即可得出方程（）的解 （）其中于是，由齊次化原理可求得方程（II）的解， （）其中，最后，根據(jù)疊加原理，可得到方程（）的解其中， 其他邊界條件情形下齊次化原理的應(yīng)用在前面兩節(jié)中，我們分別討論了熱傳導(dǎo)方程的初值問題以及初邊值問題，且邊界條件都是齊次的。其實齊次化原理還可以推廣到更多的情形，下面我們概要介紹在其他邊界條件下，齊次化原理同樣成立。（1）其他齊次邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用，我們給出的齊次邊界條件為：。其實在以下三種情況下，齊次化原理同樣成立。1） 2） 3）由于以上邊界條件都是齊次的，故都可以用分離變量法對相應(yīng)的齊次方程進行求解，再運用齊次化原理得出非齊次方程的解。（2）非齊次邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用非齊次邊界條件的非齊次方程， （）這里要求有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。此方程為線性方程，故可以分解為（）中的方程（I）、（II）以及（III）故而方程（）的解為我們已經(jīng)得出了，所以只要求出方程（III）的解即可。類似于波動方程中非齊次邊界問題的求解，我們引入適當(dāng)?shù)淖兞堪逊驱R次邊界轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件，再運用齊次化原理進行求解。令 （）顯然，它是一個滿足方程（III）中邊界條件的函數(shù)。再令 （）于是它滿足于非齊次方程以及齊次初始條件同時，顯然滿足齊次邊界條件。因此根據(jù)疊加原理以及齊次化原理求出，進而由（）求出方程（3）的解。 小結(jié)結(jié) 論本論文主要是圍繞齊次化原理在線性常微分方程、波動方程以及熱傳導(dǎo)的求解過程中的應(yīng)用展開討論，并且就求解的相關(guān)方程證明了齊次化原理的可行性。每一章節(jié)的最后都做了相應(yīng)的推廣，概要性地給出在其他情形下齊次化原理的應(yīng)用。本文主要的工作有，對比后可知兩種方法求出的解是相同的。，對齊次化原理進行了推廣，它在高階線性微分方程以及方程組的求解中同樣適用。（用傅里葉變換求解出了熱傳導(dǎo)方程）齊次情形初值問題的解，引出齊次化原理并對其進行證明，然后應(yīng)用齊次化原理將非齊次初值問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的齊次情形進行求解，再根據(jù)疊加原理，得到了非齊次情形下波動方程（熱傳導(dǎo)方程）初值問題的解。（熱傳導(dǎo)方程）齊次情形下初邊值問題的解，再應(yīng)用齊次化原理將非齊次情形的初邊值問題進行求解。、熱傳導(dǎo)方程的非齊次邊界條件下，對齊次化原理進行了概要性推廣。當(dāng)然，由于本身知識欠缺的問題，論文還有很多不足之處：，齊次化原理還可以應(yīng)用于常系數(shù)微分方程的求解本論文沒有深入討論； ，本論文只討論了一維的情形，齊次化原理可以推廣到高維非齊次方程的求解中； ，本文只探討了簡單的在非齊次邊界條件下，如何將非齊次邊界轉(zhuǎn)化為齊次邊界，進而利用齊次化原理進行求解，沒有更深入的展開。 本論文研究的齊次化原理適用于非齊次高階線性常微分方程（組）、波動方程以及熱傳導(dǎo)方程的求解，不乏一般性，在常系數(shù)微分方程以及一般的雙曲方程、拋物方程中，齊次化原理同樣成立。故本論文具有一定的研究價值以及實際意義。 致 謝我的畢業(yè)論文經(jīng)過十幾個星期的不懈努力終于完成，在此，我首先要感謝我尊敬的導(dǎo)師楊晗教授，是他的耐心敦促與悉心教導(dǎo)才讓我順利完成這篇論文！同時也要感謝學(xué)院其他老師，因為他們無私奉獻，循循善誘，給予了我很多的數(shù)學(xué)熏陶，讓我感受到了數(shù)學(xué)之美。當(dāng)然還有我那些可愛的同學(xué)們，他們熱情大度，面對我提出的疑問都盡可能地給我解答。從最初的選題到資料文獻的查閱再到論文框架的制定，楊晗老師都給出了很多寶貴的意見與建議，甚至細(xì)微到教我們?nèi)绾尾殚嗁Y料文獻。對于我們論文完成的進度，老師更是認(rèn)真負(fù)責(zé)，每周見面都會仔細(xì)檢查我們的進度，并提出他的見解，督促我們完成指導(dǎo)紀(jì)要。對于論文中遇到的難題他總會很耐心地指導(dǎo)。溫文爾雅是老師性格的深度，博學(xué)多才是老師智慧的廣度，出類拔萃是老師學(xué)識的高度。感謝老師從大一開始的悉心教導(dǎo)，從您身上看到的不僅僅是淵博的學(xué)識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度還有為人處世的那份從容與優(yōu)雅，當(dāng)然還有那份虔誠與上進。最后，對每一位幫助過我的人，衷心地說一聲：謝謝。也祝大家在今后的日子身體健康，萬事如意，前程似錦，鵬程萬里！參考文獻[1]谷超豪、李大潛、陳恕行、鄭宋穆、譚永基，數(shù)學(xué)物理方程，第二版，高等教育出版社，2002年7月。[2]曹春娟、張翠英、趙連生，線性偏微分方程的理論與應(yīng)用，北京兵器工業(yè)出版社，2008年1月。[3]田立平，數(shù)學(xué)物理方程及其反問題研究，北京機械工業(yè)出版社，2010年1月。[4]方瑛、徐忠昌，數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)，北京科學(xué)出版社，2007年。[5]（美） BleeckerDavid、（美）CsordasGeorge、李俊杰（譯），基礎(chǔ)偏微分方程Basic partial differential equations,高等教育出版社，2006年6月。[6]王高雄、周之銘、朱思銘、王壽松，常微分方程，第三版，高等教育出版社，2006年7月。[7]林武忠、汪志鳴、張九超，常微分方程，北京科學(xué)出版社，2003年。[8]向長合，齊次化（Duhamel）原理的一般形式，重慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2000年3月，第17卷第1期。[9]盛佩君，用齊次化原理解線性非齊次微分方程，工科數(shù)學(xué)JOURNAL OF MATHEMATICS TOR TECHNOLOGY，1992年5月，第8卷第1期。[10]徐利治、孫廣潤，廣義Duhamel原理及其應(yīng)用（I），曲阜師范大學(xué)學(xué)報，1988年7月，第14卷第3期。附 錄附錄1：含參變量積分的微分公式證明 證明 由于根據(jù)微分和積分中值定理，可分別得到其中，因此有令，因為是連續(xù)的，故證畢。附錄2：傅里葉變換的基本性質(zhì)性質(zhì)1：傅里葉變換是線性變換，即對于任意的常數(shù)，有性質(zhì)2：平移性 設(shè)是的傅里葉變換，為實常數(shù)，則性質(zhì)3：相似性 若是的傅里葉變換，為實常數(shù)，且，則性質(zhì)4：微分性 假定連續(xù)且在上分段光滑，當(dāng)時，則當(dāng)均為絕對可積時，有。推廣到高階的情形，如果和它前階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，第階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù)，及其直到階導(dǎo)數(shù)都絕對可積，并且當(dāng)時和它前階導(dǎo)數(shù)都趨于零，則性質(zhì)5：多項式性 若都在上絕對可積，則性質(zhì)6：卷積性 函數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的卷積，則