齊次化原理的應(yīng)用畢業(yè)論文(已修改)
2025-07-06 22:23 本頁(yè)面
【正文】 西南交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 第Ⅵ頁(yè)齊次化原理的應(yīng)用畢業(yè)論文目 錄第1章 緒論 1 齊次化原理 1 論文研究的主要內(nèi)容及意義 1第2章 常微分方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用 3 用常數(shù)變易法求解一階線性非齊次微分方程 3 齊次化原理與一階線性微分方程的求解 4 齊次化原理的推廣 6 小結(jié) 7第3章 波動(dòng)方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用 8 初值問題的求解 8 齊次初值問題的求解 8 非齊次初值問題的求解與齊次化原理的應(yīng)用 10 初邊值問題的求解 14 齊次初邊值問題的求解 14 非齊次初邊值問題的求解與齊次化原理的應(yīng)用 17 非齊次邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用 20 小結(jié) 20第4章 熱傳導(dǎo)方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用 22 初值問題的求解 22 齊次初值問題的求解 22 非齊次初值問題的求解與齊次化原理的應(yīng)用 23 初邊值問題的求解 25 齊次初邊值問題的求解 25 非齊次初值問題的求解與齊次化原理的應(yīng)用 27 其他邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用 29 小結(jié) 31結(jié)論 32致謝 33參考文獻(xiàn) 34附錄 35 西南交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 第37頁(yè)第1章 緒論齊次化原理可以廣泛地應(yīng)用于各種微分方程的求解中，研究其在不同微分方程求解過程中的具體應(yīng)用，有助于我們更好地求解微分方程。 齊次化原理齊次化原理也稱之為Duhamel原理，從物理的角度還可以稱之為沖量原理。利用它可以使非齊次方程的求解歸結(jié)為相應(yīng)的齊次方程的求解，類似于常微分方程中的常數(shù)變易法。齊次化原理最初被廣泛地應(yīng)用于非齊次線性雙曲型以及拋物型偏微分方程的求解中，對(duì)于數(shù)學(xué)物理方程等學(xué)科的研究具有重要意義。此后，齊次化原理被推廣應(yīng)用到了非齊次線性常微分方程以及常微分方程組的求解中。于是齊次化原理對(duì)于非齊次的常微分方程的求解也具有很大的研究意義。 論文研究的主要內(nèi)容及意義本畢業(yè)論文主要圍繞齊次化原理在各種微分方程求解中的應(yīng)用來展開討論。在偏微分方程中，波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程以及調(diào)和方程是三個(gè)具有很強(qiáng)實(shí)際背景意義的二階線性偏微分方程，研究這三類方程的求解對(duì)于整個(gè)偏微分方程都有著重大意義。而對(duì)于調(diào)和方程，一般都用函數(shù)對(duì)其進(jìn)行求解，本文不予以討論。在偏微分方程方面，本論文重點(diǎn)介紹齊次化原理在波動(dòng)方程以及熱傳導(dǎo)方程的初值問題以及初邊值問題求解過程中的應(yīng)用。此外，對(duì)于波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程的初值以及初邊值問題的齊次情形，本文也給出了詳細(xì)的求解過程。齊次化原理也是求解非齊次線性常微分方程的一種方法，于是本文也就常微分方程以及方程組的求解與齊次化原理的應(yīng)用進(jìn)行了概要性的描述。本論文的主要內(nèi)容共有3章，分別是線性常微分方程、波動(dòng)方程以及熱傳導(dǎo)方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用。本論文第一章是緒論。第二章主要研究一階線性常微分的求解與齊次化原理的應(yīng)用。首先用最熟知的常數(shù)變易法求解一階線性非齊次常微分方程，并在已知初值條件情況下，求出滿足條件的解；然后用齊次化原理將已知初值條件的一階線性非齊次方程的求解轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程來求解，最終得出非齊次方程的解。兩種方法得出的結(jié)論是一致的。在這一章中，齊次化原理還被推廣到了高階線性常微分方程以及方程組的求解中。第三章是波動(dòng)方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用。本章主要論述了波動(dòng)方程初值問題以及初邊值問題的求解。在初值問題的求解中，首先運(yùn)用達(dá)朗貝爾解法給出齊次方程的求解，并得出了達(dá)朗貝爾表達(dá)式。在非齊次初值問題中，引出并證明了齊次化原理，然后應(yīng)用齊次化原理將非齊次方程轉(zhuǎn)化為齊次方程進(jìn)行求解，然后根據(jù)疊加原理最終得出了非齊次方程的解，并對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證。類似于初值問題，波動(dòng)方程的初邊值問題也是首先求出齊次方程的解，用的是分離變量的方法。對(duì)于非齊次方程，也是利用齊次化原理進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，最終得出非齊次方程的解，并進(jìn)行了驗(yàn)證。本章的最后還對(duì)非齊次邊界條件的非齊次方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用進(jìn)行了概要性討論。第四章主要論述的是熱傳導(dǎo)方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用。對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，一般是利用傅里葉變換來求解的，但是對(duì)于非齊次的情形，傅里葉變換則顯得頗為復(fù)雜，于是本論文利用齊次化原理對(duì)其進(jìn)行求解，簡(jiǎn)化了求解過程。對(duì)于熱傳導(dǎo)方程的齊次初值問題本論文利用傅里葉變換得出解的表達(dá)式，進(jìn)而求解非齊次初值問題時(shí)，引入齊次化原理并對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，證明齊次化原理在熱傳導(dǎo)方程求解中依然成立，然后利用齊次化原理得出了非齊次方程的解。對(duì)于初邊值問題，類似于波動(dòng)方程，運(yùn)用分離變量法對(duì)齊次問題進(jìn)行了求解，再利用齊次化原理得出非齊次情形的解。本章的最后也對(duì)在其他邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)要的論述。本論文對(duì)齊次化原理的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的研究與歸納，基于本身知識(shí)的欠缺，本論文肯定存在一定的不足，但是對(duì)于齊次化原理在線性常微分方程（組）以及波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程的求解中，本論文還是有著重要的研究?jī)r(jià)值與實(shí)際意義的。第2章常微分方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用 常微分方程在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中，占據(jù)著極其重要的地位，在現(xiàn)實(shí)生活中，存在著大量滿足常微分方程的數(shù)學(xué)模型，人們可以通過應(yīng)用這樣的模型來解決未知的問題。所以常微分是可以解決很多實(shí)際問題的一種重要工具。這樣的一種性質(zhì)，直接決定了掌握常微分方程求解方法的重要性。常微分方程一般可以分為線性以及非線性微分方程，本章就線性微分方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用進(jìn)行討論。本章首先運(yùn)用常數(shù)變易法求出一階線性非齊次微分方程的通解以及在已知初始條件情況下滿足方程的特解，然后引出齊次化原理再予以證明，隨后運(yùn)用齊次化原理求出滿足方程以及初始條件的解，兩種方法得出的結(jié)論是一致的。最后將齊次化原理進(jìn)行推廣，將其應(yīng)用到了高階線性非齊次微分方程以及線性方程組的求解中。 用常數(shù)變易法求解一階線性非齊次常微分方程常數(shù)變易法是求解線性非齊次常微分方程最常用的一種方法，具體過程是在求出相應(yīng)的齊次方程通解后，再將齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)，最后得出滿足非齊次方程的通解。下面，我們用常數(shù)變易法求解一階線性非齊次常微分方程。一階線性非齊次常微分方程具有以下形式， （）其中，是的連續(xù)函數(shù)。首先求出齊次方程的通解。通過分離變量，得到兩邊積分，其中為任意常數(shù)。于是，令，得到 （）其中為任意常數(shù)。下面運(yùn)用常
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