【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 設(shè)f(x)在[a, b]上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f 162。162。(x)0, 則f(x)在[a, b]上的圖形是凹的。 (2)若在(a, b)內(nèi)f 162。162。(x)0, 則f(x)在[a, b]上的圖形是凸的. 簡(jiǎn)要證明 只證(1). 設(shè)x1, x2206。[a, b], 且x1x2, 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在[a, b]上的圖形是凹的. 拐點(diǎn): 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn). 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域。 (2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f`162。162。 (x)。 (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。 (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時(shí)省略. 例1. 判斷曲線y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因?yàn)樵诤瘮?shù)y=ln x的定義域(0, +165。)內(nèi), y162。162。0, 所以曲線y=ln x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y162。=3x 2, y162。162。=6x . 由y162。162。=0, 得x=0. 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí), y162。162。0, 所以曲線在(165。, 0]內(nèi)為凸的。 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí), y162。162。0, 所以曲線在[0, +165。)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 22x+14的拐點(diǎn). 解: y=6x 2+6x12, . 令y162。162。=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y162。162。0。 當(dāng)時(shí), y162。162。0, 所以點(diǎn)(, )是曲線的拐點(diǎn). 例4. 求曲線y=3x 44x 3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 44x 3+1的定義域?yàn)?165。, +165。)。 (2),。 (3)解方程y162。162。=0, 得, 。 (4)列表判斷: (165。, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +165。) f 162。162。(x) + 0 0 + f(x) 200。 1 199。 11/27 200。 在區(qū)間(165。, 0]和[2/3, +165。)上曲線是凹的, 在區(qū)間[0, 2/3]上曲線是凸的. 點(diǎn)(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點(diǎn). 例5 問曲線y=x 4是否有拐點(diǎn)？ 解 y162。=4x 3, y162。162。=12x 2. 當(dāng)x 185。0時(shí), y162。162。0, 在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點(diǎn). 例6. 求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?165。, +165。)。 (2) , 。 (3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x=0。 (4)判斷: 當(dāng)x0當(dāng), y162。162。0。 當(dāng)x0時(shí), y162。162。0. 因此, 點(diǎn)(0, 0)曲線的拐點(diǎn). 167。3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值 一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義, x0206。(a, b). 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x) f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值。 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值. 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值, 那只是就x0 附近的一個(gè)局部范圍來說, f(x0)是f(x)的一個(gè)最大值。 如果就f(x)的整個(gè)定義域來說, f(x0)不一定是最大值. 關(guān)于極小值也類似. 極值與水平切線的關(guān)系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo), 且在x0 處取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導(dǎo)數(shù)為零, 即f 162。(x0)=0. 證 為確定起見, 假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明). 根據(jù)極大值的定義, 在x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi), 對(duì)于任何點(diǎn)x , f(x) f(x0)均成立. 于是 當(dāng)x x0 時(shí), 因此 f 162。(x0)。 當(dāng)x x0 時(shí), 因此 。 從而得到 f 162。(x0) = 0 . 簡(jiǎn)要證明: 假定f(x0)是極大值. 根據(jù)極大值的定義, 在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有f(x) f(x0). 于是 , 同時(shí) ,從而得到f 162。(x0) = 0 . 駐點(diǎn): 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f 162。(x) = 0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn). 定理１就是說: 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn). 但的過來, 函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). 考察函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況. 定理２(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f 162。(x)0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f 162。(x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值。 (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f 162。(x)0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f 162。(x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值。 (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f 162。(x)不改變符號(hào), 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理２162。 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù), 在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, x0)內(nèi)f 162。(x)0, 在(x0, b)內(nèi)f 162。(x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值。 (2)如果在(a, x0)內(nèi)f 162。(x)0, 在(x0, b)內(nèi)f 162。(x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值。 (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內(nèi) f 162。(x)的符號(hào)相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2162。162。(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0d, x0)200。(x0, x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(x0d, x0)內(nèi)f 162。(x)0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f 162。(x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值。 (2)如果在(x0d, x0)內(nèi)f 162。(x)0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f 162。(x)0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值。 (3)如果在(x0d, x0)及(x0, x0+d)內(nèi) f 162。(x)的符號(hào)相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2也可簡(jiǎn)單地這樣說: 當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時(shí), 如果f 162。(x)的符號(hào)由負(fù)變正, 那么f(x)在x0處取得極大值。 如果f 162。(x)的符號(hào)由正變負(fù), 那么f(x)在x0處取得極小值。 如果f 162。(x)的符號(hào)并不改變, 那么f(x)在x0處沒有極值 (注: 定理的敘述與教材有所不同) . 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù)f 162。(x)。 (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。 (3)列表判斷(考察f 162。(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn), 如果是極值點(diǎn), 還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還