拉格朗日中值定理證明中輔助函數(shù)的構造及應用(編輯修改稿)
2025-07-21 22:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 一輔助函數(shù)： （2）可以驗證在上滿足羅爾中值定理條件，具體證明同上. 用行列式構造輔助函數(shù) 行列式不僅是高等代數(shù)中最基本工具，具有很強的操作性. 而且在數(shù)學分析中葉也很廣泛地應用. 這樣就有機的將一個函數(shù)用行列式表示出來了，大大簡化了數(shù)學分析繁雜的證明過程.證明：構造輔助函數(shù) 常見函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)的（由連續(xù)函數(shù)的判定條件），在開區(qū)間內(nèi)是可微的，并且，同理可得： ==即函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理的第三個條件，于是又由羅爾定理， 而對求導 即 . 區(qū)間套定理是數(shù)學分析中的一個重要的定理，它同聚點定理、有限覆蓋定理、確界原理、數(shù)列的單調有界定理和柯西收斂準則一樣反映了實數(shù)的完備性，也是學習實變函數(shù)、復變函數(shù)、現(xiàn)就利用閉區(qū)間套構造性證明拉格朗日中值定理.證明：設函數(shù)圖形的兩個端點分別為和(如圖2).如果線段和曲線所圍成的閉區(qū)域不是凸集（凸集即在區(qū)域內(nèi)任意兩點連線均在此區(qū)域內(nèi)）則截取線段的一部分平行線段與一部分曲線圍成的凸集（目的是保證以后所構造的區(qū)間構成閉區(qū)間套），（最長平行線段），與所取凸集的兩個交點的橫坐標分別為、則（圖2中），其斜率均為 設這些直線段與區(qū)域邊界曲線的坐標分別為這些坐標構成的區(qū)間上又滿足 且 即可得 定理得證 借助待定系數(shù)法構造輔助函數(shù)借助待定系數(shù)法也可以構造一個新的輔助函數(shù)（要與有關），使它滿足羅爾定理的條件三（即在兩端點的函數(shù)值相等的條件）.設為待定系數(shù)，令 要使 則需要 即 所以，可做輔助函數(shù)為 得到與（2）式一樣的輔助函數(shù)證明：作輔助函數(shù) 經(jīng)檢驗， ， 且滿足羅爾定理的另外兩個條件.故至少存在一點，使 即得 . 借助定積分構造輔助函數(shù)在不等式的證明中，常常從要證明的結論出發(fā)，采用逆推的方法尋求證明的思路. 照此，可以從拉格朗日的結論出發(fā).這里作一個約定：在上存在，則 ， 成立對在上的可積性不作討論.設要構造的輔助函數(shù)的導數(shù)為 其中 則輔助函數(shù)為 得到與（1）式相同的輔助函數(shù)，證法相同，略. 借助不定積分構造輔助函數(shù)為了尋求證明拉格朗日中值定理的輔助函數(shù)，從要證的結出發(fā)也可考慮借助不定積分求其原函數(shù) （為任意常數(shù)）經(jīng)驗證，當 ，即可使 因此，可作輔助函數(shù)為 證明：作輔助函數(shù) 經(jīng)檢驗 ，且 滿足羅爾定理的另外兩個條件，故至少存在一點使 即得到 . 借助坐標軸旋轉變換構建輔助函數(shù)以上幾種輔助函數(shù)的構造，、.,在
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