【文章內容簡介】 妨設為有兩個不同的實根若證021 ??? ）（）（ xfxf? ? ? ? ThRxxxf ??? 上滿足）在（因為 1,1, 21? ? ，）（，使）（一點至少 01,1, 21 ??????? ?? fxx內無根矛盾。在但這與 )1,1()1)(1(333)( 2 ??????? xxxxf? ?上至多有一個實根，在 11?59 第三節(jié) 泰勒公式 第三節(jié) 泰勒公式 ）00 )(()()(: xxfxfxfThL ????? ?))(()()( 00 xxfxfxf ??? ?＝或：之間與在 0xx?60 泰勒 ( Taylor ) ( 1685 — 1731 ) 英國數學家 61 不論在近似分析或理論分析中，我們總希望能用一個簡單的函數近似地表達一個比較復雜的函數，而在函數中又以多項式較為簡單。若能用多項式來近似表達一個函數會給研究帶來很大方便。那么又怎樣從函數本身找到我們所需要的多項式呢？ 62 在微分應用中知， 此式左端是一函數，而右端是 x 的一次多項式。 即用一次多項式來近似代替函數。 但這種表達式的精度不高，它所產生的誤差僅 是關于 x x0 的高階無窮小，且無法具體估計出 誤差的大小。 為此，我們用滿足一定要求的高次多項式 來近似表達函數，并給出誤差的計算公式。 63 來近似表達 f (x). 64 首先，可定出系數： 65 為此，我們有 Taylor 中值定理： 200000 )(!2)()(!1)()()( xxxfxxxfxfxf ????????)()(! )( 00)(xRxxn xf nnn???? ?66 200000 )(!2)()(!1)()()( xxxfxxxfxfxf ????????)()(!)(00)(xRxxnxfnnn???? ?10)1()()!1()()( ?? ??? nnn xxnfxR ?其中之間與在 0xx?展開 拉格朗日型余項 。 67 余項 Rn(x)又可寫成： ? ?? ??)(0 xR68 ))(()( 0 nn xxOxR ??則誤差這種形式的余項 Rn(x)稱為 皮亞諾型余項 。 69 )(!)0()0()0()( )( nnn xoxnfxffxf ?????? ?稱為 麥克勞林公式 。 70 在一個區(qū)間上的增量與數泰勒中值定理建立了函注)(:xf處的高階導數間的聯系這個函數在區(qū)間內某點71 例 (1) 72 73 74 75 觀察這三條曲線在 x = 0 附近的彌合程度： 誤差不超過 則有 3!31 xxy ??xy sin?.!51!31 53 xxxy ????x f ( x ) 0 76 同理可求得： 77 78 我們已求得了一些函數的麥克勞林公式 , 我們還可以類似得到以下函數麥克勞林公式： 79 利用已知的帶有皮亞諾余項的麥克勞林公式，可以計算一些極限： 80 作 業(yè) P184頁： 33 1, 3, 5, 8(1)(3) 81 第四節(jié) 函數的單調性和曲線的凸性 第四節(jié) 函數的單調性與凸性的判別法 由于中值定理建立了函數在一個區(qū)間上的增量與 函數在這區(qū)間內某點的導數之間的聯系，因此就為我 們提供了一種可能性：利用導數來研究函數值的變化 情況，并由此對函數及其圖形的某些性態(tài)作出判斷。 82 一,函數的單調性判定 (上升 ) （下降） a b a b 函數單調性的判定法：一 .y 0 x 0 x y 83 從幾何上看 , y = f(x) 在 [a, b] 上單增 (或單減 )， 其圖形是一條沿 x 軸正向上升 (或下降 )的曲線。 上升的曲線每點處的切線斜率均為正， 下降的曲線每點處的切線斜率均為負， 。0)( ?? xf即.0)( ?? xf即84 ? ? ??? 上）在（，那么）（）內）如果在（ baxfxfba ,0,1? ? ??? 上）在（，那么）（）內）如果在（ baxfxfba ,0,2間區(qū)間換算成其他各種區(qū)注：此判定方法中的閉也成立。包括無窮區(qū)間 )(? ? 可導，連續(xù)，在在設函數 ),(,)( babaxfy ?定理 1 （單調性判定） 85 ? ? 有）由（，上任取兩點證明：在 ThLxxxxba ?? 2121,）（）（）（）（ 211212 )( xxxxfxfxf ?????? ??，）（）（）內）如果在（ 00,1 ????? ?fxfba00,2 ????? ）（）（）內）如果在（ ?fxfba???? ）（）（）（則 xfxfxf 012???? ）（）（）（則 xfxfxf 01286 點處，的單調增減區(qū)間的分界在可導函數注意： )(.1 0 xf0)( ?? xf必有，其為內僅在有限個孤立點處，在當 0)()(.2 0 baxf ?)(),()0(0 ???? 或內仍為，則在或余點均 ba的點不及劃分函數的單調區(qū)間用 ???? )(0)(.3 0 xfxf如來劃分 ,3xy ?如：xy ?處在如 ?? kxxy 22s in ???87 例 ? ?上的單調性，在例：判定 ?20s i n xxy ??0co s120 ???? xy）內，解：在（ ?? ? ???? ?20s i n ，在xxy88 的單調性確定函數例 3 2: xy ?,),(: 上連續(xù)在解 ????y,32320331xxyx ?????時且當不存在時當 yx ?? 089 利用單調性證明不等式 利用單調性證明不等式 xex x ??? 10例：證明當1190 ）（）（令證 xexf x ??? 1:)(.00 一定要求零點）（ ?f???????????????00001）（）（）（xfxxfxexf x?????????????0000001xfxfxexf x）（）（）（）（）（ xe x ??? 191 例 xxx132,1: ??? 時證明當例,132: xxxf ???）（令證0111 22 ??????xxxxxxf ）（??? 時當 1x0)1( ?f易見??? )()1( xfx0132: ??? xx即 0)1()( ?? fxf92 只有一個實根試證方程例 xx ?s i n:,s i n)(: xxxf ??設證,下證唯一性,),2,1,0,2 且都是孤立的個別點????? kkx ???? )( xf0)( ?xxf 有實根所以等號成立當且僅當(0c o s1)( ???? xxf??????????0)0()(00)0()(0fxfxfxfx時時.0 是唯一實根?,0)0( ?f顯然93 例 1s i n2,20: ???? x xx ?? 有時證明例? ? 時，則當令證 2π0s i n:: ??? xx xxf? ? 0)t a n(c o ss i nc o s 22 ?????? xxxxxxxxxf?? ? 單調減少，在 )2π,0(xf?.π2)2π(,1s i nlim0????fx xx?又 ,2π0 時當 ??? x,)00()()2π( ??? fxff .1s i n2 ???xx?94 xxxxx s i nt an,2π0: ????? 有時證明例? ? 時，當設證： 2π02s i nt an ????? xxxxxf? ? 2co ss ec 2 ???? xxxf?? ? xxxxf s i nta ns e c2 2 ?????0)co s2(s i ns ec 33 ??? xxx? ? 單調增加，在 )2π,0(xf ?? ? ? 02110 ?????f且0)0()( ????? fxf ? ? 單調增加，在 )2π,0(xf?0)0( ?f?又 0)0()( ??? fxf 題設得證?95 作業(yè) 作 業(yè) P194頁： 34(A) 1, 4(2)(4) P195頁： 34(B) 1(2), 2, 4(1)(3), 5 96 二,曲線的凸性與拐點 1,曲線的凸性 曲線的凸性與拐點二 .Ⅰ ,曲線的凸性 同樣單增的函數，有時彎曲的方向不一樣。 x y 0 x y 0 下凸 x1 x2 弦上弧下 ,則曲線為下凸； 上凸 x1 x2 弦下弧上 ,則曲線為上凸 。 )10()1()(,2112121????????txtxtxxtxxxx 間的任一點為介于97 )()()()( 221212 xfxxxxxfxfy ?????弦的方程為代入上式有：把 21)1( xtxtx ???)()()1( 21 xftxfty ???定義：由此我們給出凸函數的98 1定義 內有定義，在設函數 Ixxf ?)(有對若 )1,0(),(, 2121 ????? txxIxx)()()1())1(( 2121 xtfxftxtxtf ?????內是下凸的；在則稱 Ixf )()()()1())1(( 2121 xtfxftxtxtf ?????內是上凸的。在則稱 Ixf )(凸（上凸），則稱在整個定義區(qū)間上是下若 )( xf 凸）的。其圖像曲線是下凸（上99 2 21 xx ?P Q (I) (II) 特別地 ,若取弦的中點 Q ),( 2 )2()1(2 21 xfxfxx ??與曲線弧上的相應點 P ) ) ,(,( 2 212 21 xxxx f ??2)()(22121 )( xfxfxxf ?? ?定義 1* 設 f(x)在區(qū)間 I上連續(xù) ,對