高數(shù)微分學與中值定理(編輯修改稿)
2024-11-12 06:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 反函數(shù)的導數(shù)公式，那么就解決了所有初等函數(shù)的求導問題，并所得更多一些。 3反函數(shù)求導法則 （注意只要求在一段區(qū)間可逆）。 注 1：這個結(jié)果可以特別容易的從幾何直觀上觀察到。坐標平面上的一條曲線，若在某點處有切線。那么在顛倒兩個變量之后，即把原來的橫軸換成縱軸，曲線也變換到與對角線對稱的位置上，該切線的斜率，恰好是原來斜率的倒數(shù)。只要原來的斜率不是 0，那么變換之后的切線斜率也就存在（不是無窮大）。 注 2： 利用這個法則，需要注意的是，直接利用反函數(shù)求導法則得到的表達式，其導函數(shù)中的變量是因變量符號，所以需要利用原來的函數(shù)關(guān)系，將其變換為自變量表示的函數(shù)。 【 例 220】 求反正弦函數(shù) y= arcsin x 的導數(shù)． 【 例 221】 求反正切函數(shù) y= arctan x 的導數(shù)． 【 例 】 求對數(shù)函數(shù)的導函數(shù) 注：在變換過程中，注意到 y= arcsin x中的 y僅在正負 /2之間，所以 cosy只取正值。類似考慮 arccosx導數(shù)公式中變量代換的符號取法。 ? 其它反三角函數(shù)的導數(shù)公式作為練習。 現(xiàn)在可以說：初等函數(shù)的導數(shù)都在掌握之中了！ 而且從已知的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可以看出，初等函數(shù)的導數(shù)還是初等函數(shù)。 不過，某些初等函數(shù)的導函數(shù)的定義域會有一些變化，即導函數(shù)的定義域有可能比原函數(shù)的定義域少一些點。比如： x的 ，其導數(shù)在 0點無定義。 但是正如前面介紹初等函數(shù)的時候曾經(jīng)指出，某些重要的函數(shù)關(guān)系，不見得可以直接表示為初等函數(shù)，比如有：隱函數(shù)和參數(shù)表示的函數(shù)關(guān)系。 然而這些函數(shù)關(guān)系的表達，又往往都是借助于初等函數(shù)列出的方程。那么是否也可以建立某些求導計算法則，避免只從定義出發(fā)求導呢？ 4隱函數(shù)求導法則 ?（暫時不證明） 設有函數(shù)關(guān)系 y=f（ x） 由方程 F（ x， y） =0給出。 其方程隱含著這樣的關(guān)系： F（ x， f（ x）） =0。 ),( yxF x? 如果，在式子 F（ x， y） 中，將 y看作常量，對 F求對于自變量 x的導數(shù)，所得公式記為： ； ),( yxF y? 將 x看作常量，對 F求對于自變量 y的導數(shù)，所得公式記為： 。那么隱函數(shù)求導法則表示為： ),(),( yxFyxF yx ???dxdy =0,或者 0limx??（3） 。 yxyxFFyxFyxFxfdxdy??????????),(),()( 注： 在這個公式中， f(x)的導函數(shù)表達式中往往會有兩個變量，尤其是含有因變量 的事，畢竟原來就不能將函數(shù)關(guān)系以顯函數(shù)的方式表達出來。 但是能夠給出關(guān)系式，總是很有意義的。 上面給出的法則，是以抽象的公式給出的，下面通過具體計算，領會這個法則是怎樣應用的。 ： 【 例 222】 已知函數(shù) y=y(x)由方程 確定，求 c o s ( ) 0xye x y? ??.dydx 【 例 223】 求橢圓 在點 處的 切線方程和法線方程． 22149xy?? 3222（ ， ） 計算函數(shù)乘法的導數(shù)，尤其是在乘積因式很多的情況下，往往非常繁瑣。 利用兩邊取對數(shù)，可以將乘積積變?yōu)榧臃ā? 注意到，由于在 y=f(x)的兩邊都取對數(shù)，所得到的公式，在形式上就是一個隱函數(shù)。 這時利用隱函數(shù)求導法則，往往可使某些導數(shù)的計算簡化。 下面給出幾道例題： 【 例 225】 .)0()1( dxdyxxxy x ，求，設 ??? 【 例 224】 .,1c o s3 dxdyxxey x 求設??5 參數(shù)式函數(shù)的求導法則 ：參數(shù)式函數(shù)關(guān)系，一種間接或局部的函數(shù)關(guān)系表達方式。往往有更廣泛的應用范圍。 注 1： 如果將 y 看做 x的函數(shù)，求導數(shù) (dy/dx），那么只要 x 對 t 的瞬時變化率（導數(shù)）不為零，參數(shù)求導的公式就有效。事實上，這時候，起碼在一段區(qū)間上， y 確實是 x 的函數(shù)。 注 2： 這里涉及幾個導數(shù)，要搞清楚的是，作為曲線切線斜率的導數(shù)，到底是在哪個坐標平面上的曲線的切線斜率。 ( sin )( 1 c o s )xaya??????? ??? 【 例 227】 設半徑為 a的動圓在 x軸上無滑動的滾動，A是圓周上的一個定點，開始時點 A在原點 O處．設參變量為 ，如圖 26所示．則點 A的軌跡方程為 ?該曲線稱為擺線或旋輪線．證明擺線上任一點 A(x,y)處的法線必通過圓與 x軸相切的切點 B． ?A B O x y a?2圖 26 【 例 229】 設雨滴為球體狀，若雨滴聚集水
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