【文章內(nèi)容簡介】 3xz???????????????22xzx,y26?33yz???????????????22yzy,x18??再求 yxz???23?????????????22xzy,xy12?calculus 22xz??例 22 yxlnz ?? 滿足方程 .yz 022????證 ),yxl n (z 2221 ?? xz?? yz??22xz??22yz??,yx x 22 ?? ,yx y 22 ??22222 2)yx(xx)yx(????? ,)yx(xy22222???22222 2)yx(yy)yx(????? .)yx(yx22222???22xz??22yz???22222)yx(xy???22222)yx(yx??? .0?calculus 證 xu??21??32222)zyx(x??? ,rx3??22xu??31r?? 22243zyxxrx????31r???? 523rx由自變量的對稱性知 22yu??31r?? ?? 523rz31r???? 523ry22zu??22xu??22yu???22zu???33r?? 52223r)zyx( ??? .0?例 ru1? 滿足方程 22xu??22yu??? .zu 022????)zyxr( 222 ???(拉普拉斯方程 ) calculus 39。39。39。39。0039。39。 39。39。0 0 0 0( , )( , )( , ) , ( , )( , ) ( , )xyyxx y y xz f x yf x yf x y x y Df x y f x y???設(shè) 函 數(shù) 在 區(qū) 域 D 內(nèi) 連 續(xù) ， 并 且 存 在一 階 偏 導(dǎo) 數(shù) 及 二 階 混 合 偏 導(dǎo) 數(shù) 和如 果 在 某 點 這 兩 個 二 階混 合 偏 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) ， 則 必 有定理 1 calculus .t a n 222xzyzxzyxz??????? 求設(shè)解 答 calculus 167。 多元函數(shù)的全微分 一、 全微分的定義與計算 設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 某鄰域內(nèi)有定義， 分別給 yx, 一增量 , yx ?? 函數(shù)相應(yīng)的全增量 ),(),(( yxfyyxxfz ???????若全增量可表示為 : ),( ?oyBxAz ??????其中 BA, 僅與 yx, 有關(guān)，與 yx ?? , 無關(guān)， ,)()( 22 yx ?????則稱函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 處可微 . 定義 1 calculus yBxA ???稱為函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 處的全微分 . 即 yBxAdz ????記作 dz )y,x(df,若函數(shù) ),( yxfz ? 在區(qū)域 D內(nèi)各點處都可微 , 則稱函數(shù)在 D內(nèi)可微 . calculus 定理 1 若函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),( yx 處可微分 . 則該函數(shù) 在點 ),( yx 的偏導(dǎo)數(shù) yzxz???? , 必定存在 , 且 yyzxxzdz ????????證 由 ),( ?oyBxAz ?????? 特別 ,0??y |,x| ?? ?),(),( yxfyxxf ??? | ) ,(| xoxA ????xyxfyxxfx ??????),(),(lim0A????xz 同理可證 Byz ???類似于一元函數(shù) ,記 ,dxx ?? ,dyy ??或 yfxfdzyx ?? ????calculus 注意 若函數(shù) 在點 ),( yxfz ? 存在 ),( yx 處的偏導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在該點不一定可微 . 例 證明函數(shù) ?????????000),( 22yxyxxyyxf不同時為在原點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在 ,但不可微 . 解 函數(shù) ),( yxf 在原點的全增量 )0,0()0,0( fyxfz ???????22 yxyx??????calculus ),(f x 00?00000 ???? x),(f),x(fl i mx xxxx000lim20??????,0?)0,0(yf ? yyyy000lim20?????,0?00000 ???? y),(f)y,(flimy函數(shù) ),( yxf 在原點的全微分 0)0,0()0,0( ????? dyfdxfdz yx而 22 yxyxdzz????????且 2200 limlim yxyxdzz?????????? ?? ?不存在 所以由定義知函數(shù)在原點不可微 . calculus 定理 2 (充分條件 ) 若函數(shù) )y,x(fz ? 在點 的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) )y,x(yz,xz???? ,則函數(shù)在該點可微 . 且 dyyzdxxzdz ??????若函數(shù) dzzudyyudxxudu ?????????)z,y,x(fu ? 在點 可微 )z,y,x(則 dzudyudxudu zyx ???calculus 解 yyzxxzdz ?? ?????? xye xy ?? yxe xy ??20210 22 . ???? 250 e.?例 xyez ? 在點 (2,1) 處當(dāng) , ???? yx時的全微分和全增量 . )1,2(),( ffz ?????)1( ?? eecalculus 例 : )1,0().3(,2s i n).2(,).1( 22 ???????? xxxueyxuyyxz yzyz解 (1). dyyzdxxzdz ?????? xydx2? dyyx )2( 2 ??dzzudyyudxxudu ?????????).2(dx? dyzey yz )2c o s21( ?? dzye yz?dzzudyyudxxudu ?????????).3(dxyz x yz 1?? xd yzx yz ln? xd zyx yz ln?calculus 例 ,yxv,xyu,vs i nez u ???? 求 .yz,xz????解 xz??vsine u? y? ve u c os? 1?)]c o s ()s i n ([ yxyxye xy ????yvvzyuuz????????????vsine u? x? vcose u? 1?)]c o s ()s i n ([ yxyxxe xy ????yz??vuzxyxvvzxuuz????????????calculus 2s in , 2 , , ,x zzz e y x s t y t sst??? ? ? ???求例 2. 設(shè) 解 : z z x z ys x s y s? ? ? ? ???? ? ? ? ?si n .2 c os .2xxe y t e y s??? ? ? ?2 2 22 sin c o sste t t s s t s??? ? ? ???z z x z yt x t y t? ? ? ? ???? ? ? ? ?sin .2 c o s .1xxe y s e y??? ? ? ?2 2 22 2 sin c o sste s t s t s??? ? ? ???yxzstcalculus 例 yzxzxyyxfz?????? ,),( 22 求xyvyxu ??? ,22設(shè) ),( vufz ?則xz??yz??xu uvuf ???? ),( xv vvuf ???? ),(yu uf ???? yv vf ????yfxf vu ?????? 2xfyf vu ??????? 2calculus 若函數(shù) )x(v),x(u ?? ?? 都在點 x 處可導(dǎo) , 函數(shù) ),( vufz ? 在對應(yīng)點 ),( vu 處可微 , 則復(fù)合函數(shù) )]x(),x([fz ??? 在點 x 處可導(dǎo) , 且 dxdvvzdxduuzdxdz ????????全導(dǎo)數(shù) 推論 1. zvuxdxdz ? ???? uf ? ???? vfcalculus 函數(shù) )y,x(fz ? )x(y ??而則復(fù)合函數(shù) ))x(,x(fz ?? 在點 x 的導(dǎo)數(shù) dxdyyzxzdxdz ???????全導(dǎo)數(shù) 推論 2. zyxx以上公式都可推廣到中間變量或自變量多于兩個的情形 . 說明 dxdz xf ?? ? ???? yfcalculus 例 5. .c o s,s i n tveutuvz t ???? 求 dtdz解 dtdztzdtdvvzdtduuz???????????tev ??)ts i n(u ??? tcos?tc o s)ts i nt( c o se t ???zvut例 4. ,ty,ts i nx,ez yx 32 ??? ? 求 dtdz解 dtdzdtdyyzdtdxxz ????????tc ose yx 2?? 22 32 t)(e yx ??? ?).tt( c o se tts i n 22 63 ?? ?zyxtcalculus 解 :設(shè) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , 0u f t v g t u?? gt v則z = f t = u因此 d z z d u z d vd t u d t v d t??????? ? ? ?1 lnvvv u f t u u g t? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1lngtgtg t f t f tf t f t g t? ????例 6. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 , ,gtd f t f t f t g tdt ????求 其中 均可導(dǎo)calculus 且 存在