數(shù)學(xué)分析第四篇多元函數(shù)微分學(xué)(編輯修改稿)
2025-07-04 19:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 問題本身的性質(zhì)來判定，如不是實(shí)際問題，可用二階微分判別。3) 對(duì)于條件極值的一般情形，求函數(shù)在約束條件（其中均具有一階連續(xù)偏函數(shù)，且雅可比（Jacobi）矩陣的秩為m)下的極值步驟如下： ①作拉格朗日函數(shù)②分別令得到相應(yīng)的方程組。③解上述方程組得到可能的條件極值點(diǎn)，再對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行判定。(五)多元函數(shù)幾何應(yīng)用1. 平面曲線的切線與法線平面曲線由方程給出，它在點(diǎn)的切線與法線的方程為：切線方程：，法線方程：。2. 空間曲線的切線與法平面1) 空間曲線由參數(shù)方程表出，假定不全為零，則曲線在處的切線方程式為：。曲線在處的法平面方程式為：.2) 空間曲線由方程式組給出.當(dāng)中至少一個(gè)不為零時(shí)，曲線在點(diǎn)的切線方程為：，曲線在點(diǎn)的法平面方程為：。3. 空間曲線的切平面與法線設(shè)曲面由方程給出，是曲面上一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，且不同時(shí)為零，則曲面上點(diǎn)處的切平面方程為：，曲面上點(diǎn)處的法線方程為：。四、基本例題解題點(diǎn)擊【例1】設(shè) 是區(qū)域上有界的次齊次函數(shù)（）。問極限是否存在？若存在，試求其值。【提示】 是次齊次函數(shù)是指【解】 令。同時(shí)設(shè)。則.因，故.從而=【例2】證明 在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，但在點(diǎn)不可微?！咀C明】顯然。，則有.即，但如果沿直線趨于零，有故，因此在點(diǎn)不可微。 ■【例3】設(shè)是連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)，證明滿足方程?！咀C明】 設(shè)，則.于是。 ■【例4】設(shè)，其中和為可微分兩次的函數(shù). 證明：，其中 ，為拉普拉斯算子.【提示】計(jì)算時(shí)要計(jì)算三個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，而中地位是一樣的，故可以考慮利用對(duì)稱性，從而減少計(jì)算量?！咀C明】 ，. 由對(duì)稱性即得，.于是 . ■【例5】.【證明】 由得，于是有，同理可得，. . ■【例6】設(shè)為由方程組（其中為參數(shù)）所定義的函數(shù)，求當(dāng)時(shí)和.【證明】.當(dāng)時(shí)，解出得，因此 . ■【例7】 求函數(shù)在下最小值。【解】 作拉格朗日函數(shù)令，即解得唯一駐點(diǎn) 將它們代入得。因此在下最小值為。 ■【例8】設(shè)在全平面上二次可微且恒不為零，證明的充分必要條件是滿足方程.【證明】 ，由于在全平面上二次可微且恒不等于零，不妨設(shè)，令，則有.下面證明，實(shí)際上由可得，因此.這說明結(jié)論成立. ■【例9】求函數(shù)一階和二階的偏導(dǎo)數(shù)，其中.【證明】等式兩邊微分，得 ①故有 .于是，.再將①式微分一次，得.故有 .于是 . ■【例10】設(shè)可微函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)()滿足, 點(diǎn)是曲面上一點(diǎn)，且. 求此曲面在點(diǎn)處的切平面方程。【提示】 是一次齊次函數(shù)，弄清楚齊次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的特征很重要?！窘狻坑梢阎?，對(duì)任意的點(diǎn)有，.................(*)將(*)兩邊對(duì)求導(dǎo)得：...................(**)在(**)中令得：故當(dāng)時(shí)，故令, 則法線方向?yàn)?故處法線方向?yàn)?從而曲面在點(diǎn)處的切平面方程為.
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