pbi8_1_6_多元函數(shù)微分學的幾何應用(編輯修改稿)
2025-03-12 15:34 本頁面
【文章內容簡介】 多元函數(shù)微分學的幾何應用 17 因為曲線 Γ是曲面 Σ上過點 M 的 任意 一條 所有這些曲線在點 M 的切線都與同一向量 垂直 , 因此這些切線必共面 , 稱為曲面 Σ在點 M的 n?yxzO?0),( ?zyxF),( 000 zyxM ?n?過點 M且垂直于切 法線 , 又是法線的方向向量 . 向量 n? 稱為曲 法向量 . 切平面 , 由切線形成的這一 平面 , 平面的直線稱為曲面 Σ在 點 M的 面 Σ在點 M的 n?曲線 , 多元函數(shù)微分學的幾何應用 18 )),(),(),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx??曲面在 M(x0, y0 , z0)處的法向量 : 切平面方程為 0))(,())(,())(,(000000000000??????zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為 .),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx?????所以曲面 Σ上在點 M的 多元函數(shù)微分學的幾何應用 19 解 ,3),( 33 azx y zzyxF ???令 切平面方程 法線方程 。0??? azx1010 azayx ?????),0(),( aazyx FFFn ??? )3,0,3( 22 aa ??? 例 處的上點求曲面 ),0(3 33 aaazx y z ???).0( ?a切平面和法線方程,3 yzF x ? ,3 xzF y ? ,33 2zxyF z ??∥ )1,0,1(? .??? ? ?? ay azx0)(1)(0)0(1 ????????? azayx?切平面方程為 0))(,())(,())(,(000000000000??????zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為 ),(),(),( 000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx????? 0),(: ?zyxF曲面方程Mzyx FFFn ),( ,??曲面在 M處的法向量 : 多元函數(shù)微分學的幾何應用 20 842232 222 ?????? yzxzxyzyx在曲面上求一點的坐標 , 使此點處的切平面平行于 yOz平面 . 解 設所求點為 (x, y, z), 則切平面的法向量為 ∥ )32,22,( zyxzyxzyx ??????由題意 , )32,22,( zyxzyxzyx ?????? ∥ )0,0,1(由此得 022 ??? zyx? .0,2 ??? zyx 所求之點 : ).0,2,4()0,2,4( ?? 及???032 ??? zyx),(2 zyx ???n? )( ),22(2 zyx ?? )32(2 zyx ?? 多元函數(shù)微分學的幾何應用 21 曲面在 M處的 切平面方程 為 ,0)())(,())(,( 0000000 ?????? zzyyyxfxxyxf yx曲面在 M處的 法線方程 為 .1),(),( 0000000?????? zzyxfyyyxfxxyx,),(),( zyxfzyxF ??令 ,xx fF ? .1??zF,yy fF ?或 ,))(,())(,(0000000 zzyyyxfxxyxf yx ?????)1,( ??? yx ffn?顯式方程 )),(),(),(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx??2. 曲面方程形為 z = f (x, y)的情形 多元函數(shù)微分學的幾何應用 22 例 過上所有點處的切平面都證明曲面 xyxz e?.一定點 證 00e00 xyxz ?則法向量為 切平面方程為 0)()(e)(e)1( 00000 0000????????? zzyyxxxy xyxy),( yxfz ? )1,( ??? yx ffn?,e)1( 0000 xyxy??n? )( ,e 00xy1?設 (x0, y0, z0)是曲面上任一點 , 0)())(,())(,( 0000000 ?????? zzyyyxfxxyxf yx 多元函數(shù)微分學的幾何應用 23 0]ee)1[(ee)1( 0000000 00000000???????? zyxxyzyxxy xyxyxyxy0?0)()(e)(e)1( 00000 0000????????? zzyyxxxy xyxy0ee)1( 000000 ???? zyxxy xyxy所以這些平面都過 0 0 0xyxz e?原點 . 過上所有點處的切平面都證明曲面 xyxz e?.一定點 多元函數(shù)微分學的幾何應用 24 考研數(shù)學 (一 ), 3分 04222 ????? zyxyxz 與平面曲面的切平面的方程是 ( ). 542 ??? zyx 解 則法向量為 切平面方程為 0)5()2(4)1(2 ?????? z
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