【文章內(nèi)容簡介】 元和多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（10分鐘）；（4） 例題（30分鐘）；（5） 全微分形式的不變性（20分鐘）。說明：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是微分運(yùn)算中的最基本的法則，務(wù)必熟練應(yīng)用。四、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題一、 概念定義：設(shè)在P（x，y）的某鄰域U內(nèi)有定義，對，若：，其中，A，B為與，無關(guān)的常數(shù)，則稱在P（x，y）點(diǎn)的全微分存在，或者稱其在該點(diǎn)是可全微分的，記其全微分為，且。同一元函數(shù)類似，在這里規(guī)定，，即：。二、 概念的關(guān)系定理1：可微函數(shù)一定連續(xù)。（〖注〗：不連續(xù)的函數(shù)一定不可微。）證明：設(shè)在P（x，y）處可微分，則：∴∴在P（x，y）處連續(xù)。定理2：可微函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)一定存在，且證明：設(shè)在P（x，y）處可微分，則，對，因?yàn)锳、B與、無關(guān)，所以令，上式依然成立。既∴ 同理：令，得到：?！? 【注】（1）、討論函數(shù)在P（x，y）處是否可微的方法：若：=0，則在P（x，y）處可微分。否則不可微分。【例】：討論，在（0，0）處是否可微分。 解：由前面可知：==0∴ ∴ ，該極限不存在?！?在（0，0）處不可微。（2）、證明函數(shù)不可微的一些特殊方法： 函數(shù)不連續(xù)一定不可微； 如果一個偏導(dǎo)數(shù)不存在，則不可微。 上面例題的證明方法2：因?yàn)楹瘮?shù)在（0，0）點(diǎn)不連續(xù)，所以肯定不可微。 定理3：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)可微分。 證明： ，由Lagrange中值定理： = =，其中∵ 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) ∴ ， 其中，代入：由于：∴ ∴ 函數(shù)可微。〖綜合〗：函數(shù)在（x，y）點(diǎn)的關(guān)系〖例題〗：，在（0，0）點(diǎn)可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，但是偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)；在（0，0）點(diǎn)；在（0，0）。【例】設(shè)，（1）求； （2）求 解：∴ ∴ 【例】求的全微分解：， 顯然這三個函數(shù)在空間中任意一點(diǎn)（x，y，z）點(diǎn)軍連續(xù)，∴在每一點(diǎn)均可微，其全微分：。第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、內(nèi)容要點(diǎn) 1．復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 設(shè)，則，且 2．復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 設(shè)，則，且 3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形 設(shè)，則，且二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1． 會求復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形2． 理解并會求復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形3． 會求復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形教學(xué)注意點(diǎn)：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則實(shí)際上是一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的推廣，都是所謂的鏈鎖法則，要求學(xué)生掌握其本質(zhì)，重點(diǎn)要掌握和理解復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形。在具體求導(dǎo)時，最好能畫出變量之間關(guān)系的樹形圖。三、教學(xué)設(shè)計與安排時間分配：（1） 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（10分鐘）；（2） 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（10分鐘）；（3） 復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元和多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（10分鐘）；（4） 例題（30分鐘）；（5） 全微分形式的不變性（20分鐘）。說明：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是微分運(yùn)算中的最基本的法則，務(wù)必熟練應(yīng)用。四、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題一、 全導(dǎo)數(shù)定理1：設(shè)，在點(diǎn)x處可導(dǎo)，在x對應(yīng)的點(diǎn)（u，v）處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。則一元函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，稱其為全導(dǎo)數(shù)。且或者……公式（1）。稱公式（1）為全導(dǎo)數(shù)公式。 證明：由于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則可微?！?，又u，v關(guān)于x可導(dǎo)。從而。代入可得：。 【例】：（1）、，求。 解：， 且：， ∴ 二、 復(fù)合函數(shù)微分法定理2：設(shè)函數(shù)， ，在點(diǎn)（x，y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在其對應(yīng)的點(diǎn)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)（x，y）處有對關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)，且有下列公式：……公式（2）記憶方法：如圖〖注〗：連線相乘，分線相加。【例】，，求解： 【注】在實(shí)際解題過程中，我們防止出現(xiàn)不便，所以一般習(xí)慣有以下記號：，其中1，2是根據(jù)題設(shè)中，u和v在函數(shù)中排在第個來決定，此點(diǎn)務(wù)必記清楚。定理3：設(shè)函數(shù)， ，在點(diǎn)（x，y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，則：函數(shù)在點(diǎn)（x，y）處也有偏導(dǎo)數(shù)。且：其中：，，等等。記憶方法：如圖〖法則〗連線相乘，分線相加?！咀ⅰ浚菏嵌瘮?shù)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)。而是四元函數(shù)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)。【例】：，，其中有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)。求 解：令，又因?yàn)?，又：。〖注〗上題中的w函數(shù)是一元函數(shù)【例】設(shè)，求。 解：同理：?！纠浚哼B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，， 解：令， ∴ ， 其中： ∴ 【例】：，求 解： = =三、 全微分不變性（形式）設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，無論u,v是自變量還是中間變量，都有：證明：（1）、當(dāng)u,v為自變量時：（由定理1顯然成立）；（2）當(dāng)u,v為中間變量時：。 ∵ ， 又∵，∴ 【例891】：設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)二階可導(dǎo)，具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求。 解：?！咀鳂I(yè)】：設(shè)，其中具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求。第五節(jié) 隱函數(shù)的微分法一、內(nèi)容要點(diǎn) 1．由一個方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；由一個方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)， 2．由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求：1． 會求由一個方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2．會求由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)注意點(diǎn)：在計算由方程組確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，要注意區(qū)分哪些是自變量，哪些是因變量，一般來說，有多少個方程就可以確定多少個因變量，剩下的全是自變量。三、教學(xué)設(shè)計與安排 時間分配：（1） 一個方程確定隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（20分鐘）；（2） 例題（20分鐘）；（3） 方程組確定隱函數(shù)的求導(dǎo)法則（30分鐘）；（4） 例題（30分鐘）。說明：隱函數(shù)的求導(dǎo)雖然沒有很多難點(diǎn)，但產(chǎn)生錯誤的幾率很大。主要的原因還是運(yùn)算規(guī)則掌握得不好，最好能記住幾個求導(dǎo)的公式。四、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題一 隱函數(shù)為一個方程的形式定理1：設(shè)在（x0,y0）的某個鄰域U內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則在U內(nèi)，方程確定了唯一的具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足，且。證明：這里僅僅證明。對函數(shù)，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)得：?！佳a(bǔ)充〗：如果的二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則也存在，并且有：，其中，且因?yàn)榈亩A偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，∴ 。代入，整理可得結(jié)果。【例】方程，求。 解：顯然，且，在平面上任意一點(diǎn)都連續(xù)，且，因此依據(jù)定理1，確定了一個定義在實(shí)數(shù)域R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且有：。定理2：在U(P0)內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則由確定唯一的有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并滿足。且?！纠浚海?。 解：令∴ ，∴ ，代入已求量，得?！纠?24】：設(shè)具有連續(xù)的二