微分法在幾何上的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-06-20 04:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 00000 zzyyyxfxxyxf yx ?????曲面在 M處的法線方程為 .1),(),( 0000000?????? zzyxfyyyxfxxyx,),(),( zyxfzyxF ??令 ))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 的全微分在點(diǎn)函數(shù) ),(),( 00 yxyxfz ?因?yàn)榍嬖?M處的切平面方程為 全微分的幾何意義),( yxfz ? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),( 000 zyx 處的切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量 . 若 ? 、 ? 、 ? 表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它與 z軸的正向所成的角 ? 是銳角，則法向量的 方向余弦 為,1c o s 22yxxfff?????,1c o s 22yxyfff?????.1 1c o s 22yx ff ???? ),( 00 yxff xx ? ),(00 yxff yy ?其中 例 3 求旋轉(zhuǎn)拋物面 122 ??? yxz 在點(diǎn) )4,1,2(處的切平面及法線方程 .解 ,1),( 22 ??? yxyxf)4,1,2()4,1,2( }1,2,2{ ?? yxn? },1,2,4{ ??切平面方程為 ,0)4()1(2)2(4 ?????? zyx,0624 ????? zyx法線方程為 .1 42 14 2 ?????? zyx例 4 求曲面 32 ??? xyez z 在點(diǎn) )0,2,1( 處的切平面及法線方程 .解 ,32),( ???? xyezzyxF z,42 )0,2,1()0,2,1( ??? yF x ,22 )0,2,1()0,2,1( ??? xF y,01 )0,2,1()0,2,1( ???? zz eF令 切平面方程 法線方程 ,0)0(0)2(2)1(4 ??????? zyx,042 ???? yx.0 01 22 1 ????? zyx例 5 求曲面 2132 222 ??? zyx 平行于平面064 ??? zyx 的各切平面方程 .解 設(shè) 為曲
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