微分方程在經(jīng)濟(jì)方面應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-25 18:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （1）的方程。其中,分別為的連續(xù)函數(shù)。將（1）式寫成的形式，兩邊同時(shí)積分得到 （2）例：求解方程解 將變量分離，得： 兩邊積分，既得 因而，通解為 這里是任意常數(shù)。齊次微分方程：形如 （3）的方程。其中為的連續(xù)函數(shù)。作變量變換 （4）即，于是 （5）將（4），（5）代入（3）中，原方程變?yōu)檎砗?，得? （6）是個(gè)變量分離方程。可按變量分離的方法求解得到結(jié)果。例：解 令，以代入。則原方程變?yōu)?，即兩邊同時(shí)積分，得到將代入得到通解一階線性微分方程：稱為一階齊次線性微分方程。其通解為其中是任意常數(shù)。其中，稱為一階非齊次線性微分方程。其通解為?！《A常系數(shù)線性微分方程的求解形如（其中為常數(shù)）的方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其求解步驟如下：（1）求解方程的特征方程；（2）根據(jù)特征方程根的不同分為如下三種情形：1） 當(dāng)時(shí)，兩特征值為，則原方程的通解為；2） 當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則原方程的通解為；3） 當(dāng)時(shí)，特征方程有兩個(gè)共軛虛根，則原方程的通解為.例1：求的通解.解 方程的特征方程為，特征值為，原方程的通解為.例2：求的通解.解 方程的特征方程為，特征值為，原方程的通解為.例3: 求的通解.解 方程的特征方程為，特征值為，原方程的通解為.2. 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形如（其中為常數(shù)）的方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，根據(jù)的不同形式可將求特解方程分為如下兩種情況：（1）情形一：若非特征值，：，令；情形二：若與一個(gè)特征值相同，：，令；情形三：若與兩個(gè)特征值都相同，：，令.代入原方程整理后的式子為：，特別地，若與一個(gè)特征值相同，則；若與兩個(gè)特征值相同，則.（2） 令， 情形一：若不是特征值，則令； 情形二：若是特征值，則令. 例：設(shè)，求該方程的特解形式. 解 由得特征值，因?yàn)榍覟樘卣髦?，所以該方程的特解形式? 第3章 三個(gè)經(jīng)濟(jì)模型微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，有關(guān)經(jīng)濟(jì)量的變化、變化率問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為微分方程的定解問(wèn)題．一般應(yīng)先根據(jù)某個(gè)經(jīng)濟(jì)法則或某種經(jīng)濟(jì)假說(shuō)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，經(jīng)濟(jì)模型從狀態(tài)上分一般有兩類,靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型。靜態(tài)模型涉及均衡狀態(tài),就是一旦達(dá)到均衡狀態(tài)就會(huì)保持住這種狀態(tài)。在動(dòng)態(tài)模型中,時(shí)間或明顯地成為一個(gè)變量,或隱含地成為滯后變量的形式。我們?cè)谶@里討論的是動(dòng)態(tài)模型，建立動(dòng)態(tài)模型的數(shù)學(xué)工具就是微分方程和差分方程。下面就介紹幾個(gè)用微分方程求解的經(jīng)濟(jì)模型。 價(jià)格調(diào)整模型在完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)條件下，商品的價(jià)格由市場(chǎng)的供求關(guān)系決
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