微分方程及其解定義(編輯修改稿)
2024-07-21 23:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （） 顯然，方程()是一階線性方程；方程()是一階非線性方程；方程()是二階線性方程；方程()是二階非線性方程.通解與特解 微分方程的解就是滿足方程的函數(shù)，可定義如下. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，()，得到在區(qū)間I上關(guān)于x的恒等式， 則稱為方程()在區(qū)間I上的一個(gè)解. 這樣，： 1. 函數(shù)y = x2＋Ｃ是方程()在區(qū)間(∞，+∞)上的解，其中C是任意的常數(shù). 2. 函數(shù)是方程()在區(qū)間（1,+1）上的解，()有兩個(gè)明顯的常數(shù)解y =177。１，這兩個(gè)解不包含在上述解中. 3. 函數(shù)是方程()在區(qū)間(∞，+∞)上的解，其中和是獨(dú)立的任意常數(shù). 4. 函數(shù)是方程()在區(qū)間(∞，+∞)上的解，其中和是獨(dú)立的任意常數(shù). 這里，我們僅驗(yàn)證3，在(∞，+∞)上有 所以在（－∞，＋∞）上有 從而該函數(shù)是方程()的解. 從上面的討論中，可以看到一個(gè)重要事實(shí)，那就是微分方程的解中可以包含任意常數(shù)，其中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)可以多到與方程的階數(shù)相等，()的含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)C1，C2，…，Cn的解 ，稱為該方程的通解，如果方程()的解不包含任意常數(shù)，而由隱式表出的特解稱為特積分. 由上面的定義，不難看出，函數(shù)和分別是方程()，()和()的通解，函數(shù)是方程()的通
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