數(shù)值分析--第9章常微分方程數(shù)值解(編輯修改稿)
2024-09-19 01:54 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 適的步長(zhǎng)，而這最后一次的計(jì)算結(jié)果就是滿足精度要求的。這種計(jì)算過(guò)程中自動(dòng)選擇步長(zhǎng)的方法，叫變步長(zhǎng)方法。以上所介紹的各種數(shù)值解法都是單步法，這時(shí)因?yàn)樗鼈冊(cè)谟?jì)算時(shí)，都只用到前一步的值，單步法的一般形式是 (925)其中為增量函數(shù)，例如Euler方法的增量函數(shù)為，改進(jìn)Euler法的增量函數(shù)為3 相容性、收斂性與穩(wěn)定性 相容性與收斂性上面所介紹的方法都是用離散化的手段，將微分方程初值問(wèn)題化為差分方程初值問(wèn)題求解的。這些轉(zhuǎn)化是否合理？即當(dāng)時(shí)，差分方程是否能無(wú)限逼近微分方程，差分方程的解是否能無(wú)限逼近微分方程初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解，這就是相容性與收斂性問(wèn)題。用單步法(925)求解初值問(wèn)題(91)，即用差分方程初值問(wèn)題 (926)的解作為問(wèn)題(91)的近似解，如果近似是合理的，則應(yīng)有 (927)（體會(huì)：要使得差分方程能無(wú)限逼近微分方程，我們將微分方程的精確解代人差分方程中，當(dāng)時(shí)，應(yīng)該滿足）其中為問(wèn)題(91)的精確解。因?yàn)楣视?927)得如果增量函數(shù)關(guān)于連續(xù)，則有 (928) 如果單步法的增量函數(shù)滿足條件(928)，則稱單步法(925)與初值問(wèn)題(91)相容。通常稱(928)為單步法的相容條件。滿足相容條件(928)是可以用單步法求解初值問(wèn)題(91)的必要條件。容易驗(yàn)證Euler法和改進(jìn)Euler法均滿足相容性條件。事實(shí)上，對(duì)Euler法，增量函數(shù)為自然滿足條件(928)，改進(jìn)Euler法的增量函數(shù)為因?yàn)檫B續(xù)，從而有所以Euler法和改進(jìn)Euler法均與初值問(wèn)題(91)相容。一般地，如果單步法有階精度（），則其截?cái)嗾`差為上式兩端同除以，得令，如果連續(xù)，則有所以的單步法均與問(wèn)題(91)相容。由此即得各階RK方法與初值問(wèn)題(91)相容。 一種數(shù)值方法稱為是收斂的，如果對(duì)于任意初值及任意固定的，都有其中為初值問(wèn)題(91)的精確解。如果我們?nèi)∠植炕俣?，使用某單步法公式，從出發(fā)，一步一步地推算到處的近似值。若不計(jì)各步的舍人誤差，而每步都有局部截?cái)嗾`差，這些局部截?cái)嗟姆e累就是整體截?cái)嗾`差。 我們稱為某數(shù)值方法的整體誤差。其中為初值問(wèn)題(91)的精確解，為不計(jì)舍人誤差時(shí)用某數(shù)值方法從開(kāi)始，逐步得到的在處的近似值（不考慮舍人誤差的情況下，截?cái)嗾`差的積累）。 設(shè)單步法(925)具有階精度，其增量函數(shù)關(guān)于滿足Lipschitz條件，問(wèn)題(91)的初值是精確的，即，則單步法的整體截?cái)嗾`差為證明 由已知，關(guān)于滿足Lipschitz條件，故存在，使得對(duì)任意的及，都有記，因?yàn)閱尾椒ň哂须A精度，故存在，使得從而有反復(fù)遞推得因?yàn)?，即，又，于是所以推? 設(shè)單步法具有()階精度，增量函數(shù)在區(qū)域：上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件，則單步法是收斂的。當(dāng)在區(qū)域上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件時(shí)，改進(jìn)Euler方法，各階RK方法的增量函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件，因而它們都是收斂的。關(guān)于單步法收斂的一般結(jié)果是： 設(shè)增量函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschitz條件，則單步法收斂的充分必要條件是相容性條件(928)。 穩(wěn)定性穩(wěn)定性與收斂性是兩個(gè)不同的概念，收斂性是在假定每一步計(jì)算都準(zhǔn)確的前提下，討論當(dāng)步長(zhǎng)時(shí)，方法的整體截?cái)嗾`差是否趨于零的問(wèn)題。而穩(wěn)定性則是討論舍人誤差的積累能否對(duì)計(jì)算結(jié)果有嚴(yán)重影響的問(wèn)題。 若一種數(shù)值方法在節(jié)點(diǎn)值上有一個(gè)大小為的擾動(dòng)，于以后各節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò)，則稱該方法是穩(wěn)定的。我們以Euler方法為例進(jìn)行討論。假設(shè)由于舍人誤差，實(shí)際得到的不是而是，其中是誤差。由此再計(jì)算一步，得到把它與不考慮舍人誤差的Euler計(jì)算公式相減，并記，就有其中。如果滿足條件， (929)則從到的計(jì)算，誤差是不增的，可以認(rèn)為計(jì)算是穩(wěn)定的。如果條件(929)不滿足，則每步誤差將增大。當(dāng)時(shí)，顯然條件(929)不可能滿足，我們認(rèn)為問(wèn)題本身具有先天的不穩(wěn)定性。當(dāng)時(shí)，為了滿足收斂性要求(929)，有時(shí)要很小，這樣步數(shù)就相當(dāng)多，這時(shí)誤差的累積可能是十分嚴(yán)重的，出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。現(xiàn)在我們考慮的初值問(wèn)題 (930)其解是。今設(shè)在的初值有誤差，實(shí)際求解的問(wèn)題是 (931)它的準(zhǔn)確解是。因此如果用很精確的方法，求出(931)的解，則它和(930)的解在處誤差為，而在處的誤差則是。它隨著的增大而增大，與所選的數(shù)值方法無(wú)關(guān)，是問(wèn)題本身固有的特性。再看一個(gè)的例子，初值問(wèn)題為其準(zhǔn)確解是。用歐拉法求解有 (932)若取，則歐拉公式的具體形式為同樣討論有初始誤差，則在的誤差是。數(shù)值不穩(wěn)定。式(932)中取，則歐拉公式的具體形式為。對(duì)初始誤差，在的誤差是。數(shù)值穩(wěn)定。以上討論表明穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長(zhǎng)的大小有關(guān)，當(dāng)然也與方程中的有關(guān)。為了只考察數(shù)值方法本身，一般只檢驗(yàn)數(shù)值方法用于求解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為 (933)其中為復(fù)數(shù)。這個(gè)方程的分析比較簡(jiǎn)單，一般的方程可以通過(guò)局部線性化為這種形式，例如在的鄰域略去高階項(xiàng)，再作變量替換就得到的形式。事實(shí)上，方程可簡(jiǎn)寫(xiě)為，作變換即可得。對(duì)于個(gè)方程的方程組，可以線性化為，其中為的Jacobi矩陣。若有個(gè)不同的特征值，則可對(duì)角化為，再作變換，得到個(gè)非耦合的方程，其中可以復(fù)數(shù)，所以一般討論(933)中的為復(fù)數(shù)。對(duì)于方程(933)，若，類似以上分析，認(rèn)為方程是不穩(wěn)定的。所以我們考慮的情形，這時(shí)不同的數(shù)值方法可能是數(shù)值穩(wěn)定或不穩(wěn)定的。當(dāng)一個(gè)單步法用于試驗(yàn)方程，從計(jì)算一步得 (934)其中依賴于所選的方法。因?yàn)橥ㄟ^(guò)
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