微元法探究及其應(yīng)用論文(編輯修改稿)
2025-07-25 18:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 么就可以考慮通過微元法用定積分來表示這個量. 一般情況下,應(yīng)用問題的變化是非均勻的,但在局部變化的一瞬間,改變量可近似地看成是均勻變化的,這一瞬間的改變量往往正是. 但注意,用近似代替時,要求誤差是的高階無窮,即上述（3）,憑借直觀圖形得出的有時是錯誤的,檢驗是否為的高階無窮小量就是一件極為重要的事情,同時往往也不是一件容易的事,:在任一小區(qū)間,若能夠把所求量的微小增量近似表示為的線性形式： 其中為某一連續(xù)函數(shù),而當(dāng)時,這樣以來,我們只要把定積分計算出來，我們不禁會問時，為什么有，明白這個問題，：因為，所以：再根據(jù)積分第一中值定理可得:其中是介于與之間的常量,則：因為是連續(xù)的,所以：當(dāng)時,有,從而有也就是：,故,問題得證.我們在數(shù)學(xué)分析課本求旋轉(zhuǎn)曲面面積的時就對驗證過程做了詳細(xì)說明,用微元法求解問題時,對的驗證,我們必須要引起足夠的重視. 微元法實質(zhì)是把求累加量問題轉(zhuǎn)化為定積分計算的簡化,它省卻了分微段、近似求和等過程,達(dá)到使事物的整體問題得以解決的一種方法. 運用微元法, 在一定的條件下可以把變化的、運動的、物理規(guī)律不適用的整體對象或整體過程轉(zhuǎn)化為不變的、靜止的、物理規(guī)律適用的元對象或元過程,即變?yōu)槔硐氲膶ο蠡蜻^程. 微元法可以是把研究物體取微元部分進(jìn)行分析,也可以是把研究過程取微元階段進(jìn)行分析. 微元法的基本數(shù)學(xué)工具是有關(guān)近似、極限、數(shù)列知識以及幾何、微元法的集體步驟，簡而言之就是分割、近似代替、求和、取極限求積分. 具體操作就是：設(shè)想有一個函數(shù) , 所求量可以表示為: ，然后實際進(jìn)行以下三步:第一步：取 , 并確定它的變化區(qū)間。第二步：設(shè)想把分成許多個小區(qū)間, 取其中任一個小區(qū)間, 相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量 能近似地表示為與的乘積),就把稱為量的微元并記作, 即:第三步：在區(qū)間上積分, 得到這里的關(guān)鍵和難點是求,在解決具體問題時本著是的線性主部的原則,這樣計算的為精確值.明確了微元法的實質(zhì),求解步驟以及應(yīng)該注意的問題,.例1 求曲線 與區(qū)間所圍的面積. 分析：因在上連續(xù),記其分割為取為區(qū)間的右端點，然后求極限或取積分即可求解.解：所求面積：.我們在計算某些幾何圖形的面積時,往往會碰到那些不規(guī)則的幾何圖形,直接計算起來很困難甚至無從下手,這時候微元法就發(fā)揮了極大作用.對平面曲線弧長的計算,我們采取的方法就是把所給的平面曲線無線切割,切成無限個小段,這些小段可以形象稱為“微元”,然后采取微元積分法就可以將復(fù)雜問題簡單化了.例2 求曲線的弧長.解 ：由弧長公式：在平面圖形的面積計算過程
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