高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法三微元法(編輯修改稿)
2025-02-10 09:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ③由②、③解得：T =將④式代入①式得：n =例10：粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R和r的兩圓環(huán)相切。若在切點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn)m ，恰使兩邊圓環(huán)對(duì)m的萬(wàn)有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件？解析：若要直接求整個(gè)圓對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬(wàn)有引力比較難，當(dāng)若要用到圓的對(duì)稱性及要求所受合力為零的條件，考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點(diǎn)對(duì)稱的微元與質(zhì)量m的相互作用，然后推及整個(gè)圓環(huán)即可求解。如圖3—10所示，過(guò)切點(diǎn)作直線交大小圓分別于P 、Q兩點(diǎn)，并設(shè)與水平線夾角為α ，當(dāng)α有微小增量時(shí)，則大小圓環(huán)上對(duì)應(yīng)微小線元：ΔL1 = R2Δα ，ΔL2 = r2Δα其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為：Δm1 = ρ1Δl1 =ρ1R2Δα ，Δm2 = ρ2Δl2 =ρ2r2Δα由于Δα很小，故Δm1 、Δm2與m的距離可以認(rèn)為分別是：r1 = 2Rcosα ，r2 = 2rcosα所以Δm1 、Δm2與m的萬(wàn)有引力分別為：ΔF1 ==，ΔF2 ==由于α具有任意性，若ΔF1與ΔF2的合力為零，則兩圓環(huán)對(duì)m的引力的合力也為零， 即：=解得大小圓環(huán)的線密度之比為：=例11：一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是多少？解析：火箭噴氣時(shí)，要對(duì)氣體做功，取一個(gè)很短的時(shí)間，求出此時(shí)間內(nèi)，火箭對(duì)氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率。選取在Δt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為研究對(duì)象，設(shè)火箭推氣體的力為F ，根據(jù)動(dòng)量定理，有：FΔt = Δmv因?yàn)榛鸺o止在空中，所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有：F = Mg即：MgΔt = Δmv ，或者：Δt =對(duì)同樣這一部分氣體用動(dòng)能定理，火箭對(duì)它做的功為：W =Δmv2所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率：P ===Mgv例12：如圖3—11所示，小環(huán)O和O′分別套在不動(dòng)的豎直桿AB和A′B′上，一根不可伸長(zhǎng)的繩子穿過(guò)環(huán)O′，繩的兩端分別系在A′點(diǎn)和O環(huán)上，設(shè)環(huán)O′以恒定速度v向下運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)∠AOO′= α?xí)r，環(huán)O的速度。解析：O 、O′之間的速度關(guān)系與O 、O′的位置有關(guān)，即與α角有關(guān)，因此要用微元法找它們之間的速度關(guān)系。設(shè)經(jīng)歷一段極短時(shí)間Δt ，O′環(huán)移到C′，O環(huán)移到C ，自C′與C分別作為O′O的垂線C′D′和CD ，從圖中看出。OC =，O′C′=，因此：OC + O′C′= ①因Δα極小，所以EC′≈ED′，EC≈ED ，從而：OD + O′D′≈OO′－CC′ ②由于繩子總長(zhǎng)度不變，故：OO′－ CC′= O′C′ ③由以上三式可得：OC + O′C′=，即：OC = O′C′(－1)等式兩邊同除以Δt得環(huán)O的速度為：v0 = v(－1)例13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出），過(guò)圓餅軸線的豎直截面如圖3—12所示，為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180176。計(jì)算。已知水銀密度ρ = 103kg/m3 ，水銀的表面張力系數(shù)σ = 。當(dāng)圓餅的半徑很大時(shí)，試估算其厚度h的數(shù)值大約為多少？（取1位有效數(shù)字即可）解析：若以整個(gè)圓餅狀水銀為研究對(duì)象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液體的體積不是h的簡(jiǎn)單函數(shù)，而且支持力N和重力mg都是未知量，方程中又不可能出現(xiàn)表面張力系數(shù)，因此不可能用整體分析列方程求解h ?，F(xiàn)用微元法求解。在圓餅的側(cè)面取一個(gè)寬度為Δx ，高為h的體積元，如圖3—12—甲所示，該體積元受重力G 、液體內(nèi)部作用在面積Δxh上的壓力F ，則：F =S =ρghΔxh =ρgh2Δx還有上表面分界線上的張力F1 = σΔx和下表面分界線上的張力F2 = σΔx 。作用在前、后兩個(gè)側(cè)面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個(gè)彎曲分界上的表面張力的合力，當(dāng)體積元的寬度較小時(shí)，這兩個(gè)力也是平衡的，圖中都未畫(huà)出。由力的平衡條件有：F－F1cosθ－F2 = 0即：ρgh2Δx－σΔxcosθ－σΔx = 0解得：h == 10－3由于0＜θ＜，所以：1＜＜，故：10－3m＜h＜10－3m題目要求只取1位有效數(shù)字，所以水銀層厚度h的估算值為310－3m或410－3m 。例14：把一個(gè)容器內(nèi)的空氣抽出一些，壓強(qiáng)降為p ，容器上有一小孔，上有塞子，現(xiàn)把塞子拔掉，如圖3—13所示。問(wèn)空氣最初以多大初速度沖進(jìn)容器？（外界空氣壓強(qiáng)為p0 、密度為ρ）解析：該題由于不知開(kāi)始時(shí)進(jìn)入容器內(nèi)分有多少，不知它們?cè)谌萜魍馊绾畏植迹膊恢諝夥肿舆M(jìn)入容器后壓強(qiáng)如何變化，使我們難以找到解題途徑。注意到題目中“最初”二字，可以這樣考慮：設(shè)小孔的面積為S ，取開(kāi)始時(shí)位于小孔外一薄層氣體為研究對(duì)象，令薄層厚度為ΔL ，因ΔL很小，所以其質(zhì)量Δm進(jìn)入容器過(guò)程中，不改變?nèi)萜鲏簭?qiáng)，故此薄層所受外力是恒力，該問(wèn)題就可以解決了。由以上分析，得：F = (p0－p)S ①
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