【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 形屏的半徑為 x，則入射到凹面鏡的光束半徑為 3 22 xRh? 如果我們用半徑 kx 的屏代替半徑為 x 的屏，則入射光束的半徑為： 3 22 kxRhk ? 入射光的量正比于 2kh ，因此 3 22222 )2( khkxRh k ?? 本題情形是 81?k ，由此得出，落在圓形屏幕上光的量將是前者的 41 【實(shí)驗(yàn)題】桌上有三個(gè)裝在支架上的透鏡，一塊有幾何圖形的屏，一支桿和一把卷尺。僅用所給的 工具，以不同的方法測(cè)定透鏡的焦距。 解答：有幾種可能的方法。在凸透鏡情形，我們用目視觀查虛像的消失，并測(cè)定透鏡的距離。 我們注視著實(shí)像，借助于視差把桿放在實(shí)像的位置上，測(cè)量物距和像距，從而計(jì)算出焦距。 再看凹透鏡情形。我們把凹透鏡與一個(gè)強(qiáng)會(huì)聚的凸透鏡密接在一起，并用上述方法之一測(cè)量系統(tǒng)的焦距，然后算出凹透的焦距。 1,3,5 博微物理 16 歷屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽試題與解答 第 5 屆 （ 1971 年于保加利亞的索菲亞） 【題 1】質(zhì)量為 m1和 m2的物體掛在繩子的兩端，繩子跨過(guò)雙斜面頂部的滑輪，如圖 。斜面質(zhì)量 為 m，與水平面的夾角為 1 和 2。整個(gè)系統(tǒng)初態(tài)靜止。求放開(kāi)后斜面的加速度和物體的加速度。斜面保持靜止的條件是什么？摩擦可以忽略。 解：我們用 a 表示雙斜面在慣性參照系中的加速度（正號(hào)表示向右的方向）。用 a0 表示物體相對(duì)斜面的加速度（正號(hào)表示左邊物體 m下降）兩個(gè)物體在慣性系中的加速度 a1和 a2可由矢量 a 和 a0相加得到（如解 圖 圖 ）。用 F 表示繩子中的張力。 對(duì)沿斜面 方向的分量應(yīng)用牛頓第二定律。使物體m1加速下降的力是 m1gsin 1－ F 在慣性系中，沿斜面方向的加速度分量為 a0－ acos 1 所以，對(duì)此斜面分量，牛頓第二定律為： 解圖 m1（ a0－ acos 1）＝ m1gsin 1－ F 同樣，對(duì)于 m2有 m2（ a0－ acos 2）＝ F－ m2gsin 2 兩式相加：（ m1cos 1＋ m2cos 2） a＝（ m1＋ m2） a0－（ m1sin 1－ m2sin 2） g （ 1） 我們用動(dòng)量守恒原理來(lái)研究斜 面的運(yùn)動(dòng)。 斜面在慣性系中的速度為 v（向右）。物體相對(duì)斜面的速度為 v0。故斜面上兩物體在慣性系中的速度的水平分量（向左）分別為： v0 cos 1－ v 和 v0 cos 2－ v 利用動(dòng)量守恒原理： m1（ v0 cos 1－ v）＋ m2（ v0 cos 2－ v）＝ m v 對(duì)勻加速運(yùn)動(dòng)，速度與加速度成正比，因此有： m1（ a0 cos 1－ a）＋ m2（ a0 cos 2－ a）＝ m a 所以021 2211 c o sc o s ammm mma ?? ?? ?? （ 2） m 2m 1m? ? ? ?m 2m 1 m? ? ? ?a 2aaa 1a 0a 0a1,3,5 博微物理 17 上式給出了有關(guān)加速度的信息。很明顯，只有當(dāng)兩物體 都靜止，即兩個(gè)物體平衡時(shí)，斜面才靜止，這是動(dòng)量守恒原理的自然結(jié)果。 由方程（ 1）和（ 2），可得到加速度為： gmmmmmmm mmmmma 222112121 221121 )c o sc o s())(( )s i ns i n)(( ?? ?? ????? ????０ gmmmmmmm mmmma 222112121 22112211 )c o sc o s())(( )s i ns i n)(c o sc o s( ?? ???? ????? ??? 如果 m1sin 1＝ m2sin 2 即 1221 sinsin???mm 則兩個(gè)加速度均為零。 【題 2】在一個(gè)帶活塞的圓筒內(nèi)裝配著著名的托里拆利裝置。在水銀柱上方有氫氣，在圓筒內(nèi)有空氣。第一步，水銀柱高度 h1＝ 70cm，空氣壓強(qiáng) pk1＝ ＝ ＝ 100cmHg，溫度為 00C＝273K。第二步，向上提升活塞，直至水銀柱高度降為 h2＝ 40cm，這時(shí)空氣壓強(qiáng)為 pk2＝ ＝80kPa＝ 60cmHg。第三步，保持體積不變，提高溫度到 T3，此時(shí)水銀柱的高度為 h3＝ 50cm。最后，第四步，溫度為 T4，水銀柱的高度為 h4＝ 45cm，空氣壓強(qiáng)沒(méi)有改變。求出最后一步中氫氣的溫度和壓強(qiáng)。 解：我們將空氣和氫氣的數(shù)據(jù)列成表。兩者溫度是相同的。玻璃管的長(zhǎng)度用 L 表示。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們以裝有氫氣的管子長(zhǎng)度的厘米數(shù)來(lái)度量氫氣的體積。壓強(qiáng)全部用 cmHg 為單位給出（見(jiàn)解圖 第一步至第四步）。 L70 c m 40 c m 50 c m 45 c m 次 數(shù) 1 2 3 4 博微物理 18 氫氣壓強(qiáng) ph1 ph2 ph3 ph4 氫氣體積 V h1 V h2 V h3 V h4 空氣壓強(qiáng) 100cmHg 60cmHg pk3 ＝ pk4 空氣體積 V k1 V k2 ＝ V k3 V k4 兩者溫度 273K 273K T3 T4 解圖 從第一步到第二步，對(duì)氫氣應(yīng)用玻意耳定律：（ L－ 70）（ 100－ 70）＝（ L－ 40）（ 60－ 40） 由此式求得玻璃管的長(zhǎng)度 L＝ 130cm， 因此，氫氣在第一步至第四步中體積分別為： V h1＝ 60cm， V h2＝ 90cm， V h3＝ 80cm， V h4＝ 85cm 從第二步到第三步，氫氣的狀態(tài)方程為：33 80)50(273 90)4060( Tp h ????? 對(duì)空氣應(yīng)用蓋呂薩 克定律：2736033 ?Tpk 從第三步到第四步，我們只有向上提升活塞，以便使空氣壓強(qiáng)保持不變。氫氣的狀態(tài)方程為：4433 85)45(80)50( TpTp kk ????? 解以上方程組，得： pk3＝ pk4＝ 80cmHg， T3＝ 364K， T4＝ 451K， 所以氫氣的壓強(qiáng)為： ph3＝ 30cmHg ph4＝ 35cmHg 算出空氣的體積比為： V k1:V k2:V k4＝ 6:10: （注： cmHg為實(shí)用單位，應(yīng)轉(zhuǎn)換成國(guó)際單位 Pa） 【題 3】四個(gè)等值電阻 R、四個(gè) C＝ 的電 容器以及四個(gè)電池分別在立方體的各邊連接起來(lái)，如圖 所示。各電池的電壓為 U1＝ 4V， U2＝ 8V， U3＝ 12V， U4＝ 16V，它們的內(nèi)電阻均可忽略。（ a）求每個(gè)電容器的 電 壓 和 電 量 ，（ b）若 H點(diǎn)與 B 點(diǎn)短路，求電容器 C2上的電量。 解：（ a）將這個(gè)網(wǎng)絡(luò)展開(kāi)成平面圖（如解圖 ）。 由 于 電 流 不 能通 過(guò) 電 容 器 ，所 以 只 在 圖 圖 解圖 中 ABCGHEA回路的導(dǎo)線中有電流。在這個(gè)回路中，電壓為 12V，電阻為 4R。 ABCDEFGHC 2U 2C 3U 3C 1U 1C 4U 4RRRR+_+_+_+_RR C 4C 3U 2+_U 3+_RRC 1C 2U 1+_U 4+_ABCDEFGH博微物理 19 因此電流為： RUUI 4 14 ?? 于是就知道了電阻和電源兩端的電壓。設(shè) A 點(diǎn)的電勢(shì)為零，就能很容易地算出各點(diǎn)的電勢(shì)。 A 0 V B (U4－ U1)/4 3 V C (U4－ U1)/2 6 V G (U4－ U1)/2＋ U1 10 V H (U4－ U1)/2＋ U1＋ (U4－ U1)/4 13 V E (U4－ U1)/2＋ U1＋ (U4－ U1)/2 16 V D (U4－ U1)/2＋ U1＋ (U4－ U1)/4－ U3 1 V F (U4－ U1)/4－ U3＋ U2 11 V 從每個(gè)電容器兩端的電勢(shì)差，可以算出其電量如下： C1 （ 11－ 10） V＝ 1V， 1106C。 C2 （ 16－ 11） V＝ 5V， 5106C。 C3 （ 6－ 1） V＝ 5V， 5106C。 C4 （ 1－ 0） V＝ 1V， 1106C。 我們可以算出各電容器的儲(chǔ)能量 CU 2/2。電容器 C1 和 C4 各有106 J，電容器 C2和 C3各有 106 J。 （ b） H 點(diǎn)與 B 點(diǎn)連接，我們得到兩個(gè)分電路。如解圖 。在下方的分電路中，電流為 RU24 ， E 點(diǎn)相對(duì) A 點(diǎn)的電勢(shì)是 U4＝ 16 V， H 點(diǎn)與B 點(diǎn)的電勢(shì)是 U4／ 2＝ 8 V。 F 點(diǎn)的電勢(shì)為242 UU ?＝ 16 V 于是，電容器 C2兩 極板的電勢(shì)均為 16 V，結(jié)果 C2上無(wú)電量。 解圖 【題 4】在直立的平面鏡前放置一個(gè)半徑為 R 的球形玻璃魚(yú)缸，缸壁很薄，其中心距離鏡面 3R，缸中充滿水。遠(yuǎn)處一觀察者通過(guò)球心與鏡面垂直的方向注視魚(yú)缸。一條小魚(yú)在離鏡面最近處以速度 v 沿缸壁游動(dòng)。求觀察者看到的魚(yú)的兩個(gè)像的相對(duì)速度。水的折射率為 34?n 。如圖 （ a）， （ b） 解：魚(yú)在 1 秒鐘內(nèi) v2 v ABK 1 T 1 OvT 2BC DE F OK 2r??RR RRU 1+_U 4+_ABCEGHU 2+_C 2博微物理 20 游過(guò)的距離為 v。 圖 （ a） 我們把這個(gè)距離當(dāng)作 物，而必須求出兩個(gè)不同的像。在計(jì)算中，我們只考慮近軸光線和小角度，并將角度的正弦用角度本身 圖 （ b） 去近似。 在 T1 點(diǎn)游動(dòng)的魚(yú)只經(jīng)過(guò)一個(gè)折射面就形成一個(gè)像，如圖 （ a）所示。從 T1 點(diǎn)以角度 r＝ ∠ A T1O 發(fā)出的光線，在 A 點(diǎn)水中的入射角為 r，在空氣中的折射角為 n r。把出射光線向相反方向延長(zhǎng)，給出虛像的位置在 K1，顯然 ∠ K1A T1＝ n r－ r＝（ n－ 1） r 從三角形 K1 T1 A，有： 1)1(111 ???? nr rnAK TK 利用通常的近似： K1A≈K1O＋ R， K1AT1≈K1O－ R 于是 111 ???? nROK ROK 所以這個(gè)虛像與球心的距離為 RnnOK ?? 21 水的折射率 34?n ，從而 K1O＝ 2R。若折射率大于 2，則像是實(shí)像。有像距與物距之商得到放大率為nnOT OK ?? 211 對(duì)水來(lái)說(shuō)，放大率為 2。 以與速度 v 相應(yīng)的線段為物，它位于在 E 處的平面鏡前的距離為 2R 處，它在鏡后 2R 遠(yuǎn)的 T2處形成一個(gè)與物同樣大小的虛像。 T2離球心的距離為 5R。在一般情形 下，我們假設(shè) T2O＝ kR。 T2處的虛像是我們通過(guò)球作為一個(gè)透鏡觀察時(shí)的（虛）物。因此，我們只要確定 T2 的實(shí)像而無(wú)需再去考慮平面鏡。如圖 （ b）所示。 我們需要求出以 r 角度從 T2發(fā)出的光線在 C 點(diǎn)的入射角 β，其中 r＝ ∠ CT2F。 在三角形 T2OC 中， kRkRCOOTr ??? 2? β＝ k r 玻璃中的折射角為： C D OD C Onkrn ?????? 需要算出 ∠ DOB。 因?yàn)椋?∠ COF＝ β－ r＝ k r－ r＝ r（ k－ 1） 而且 ∠ COD 與 C 點(diǎn)和 D 點(diǎn)的兩角之和相加，或與 ∠ COF 和