分塊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用論文(編輯修改稿)
2025-07-24 13:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ）加到另一塊行上。類似地，我們可以定義分塊矩陣的初等列變換。例 設(shè)n階矩陣分塊表示為：，其中，為方陣，且和可逆，證明：可逆。證明 先對分塊矩陣作初等變換，將其化為上三角塊矩陣。為此，根據(jù)有關(guān)結(jié)論，可左乘矩陣其中,為單位陣,其階數(shù)分別為，的階數(shù)，于是：=B ||=||||由于||=1,|A|0,| |0, 所以||=||0故可逆。分塊矩陣是矩陣的一種推廣，與普通矩陣不同，分塊矩陣的元素可以是數(shù)，也可以是小矩陣，它的引入使矩陣這一重要工具的使用更廣泛，下面舉例說明分塊矩陣的應(yīng)用：例 若A,B都可逆，=，則=。 證明 設(shè)= 于是 ==這里，分別表示k階和r階單位矩陣，則有 因此=例 設(shè)矩陣，求的逆。解 將分塊如下：=其中，，；如果可逆，可設(shè),這里,均為二階方陣，有P=有： P==則有顯然有，可逆，由上面的等式組求得：=0。==。 = =。 ==所以的逆為：例 設(shè)行列式|P|=，試展開|P|。解 把矩陣P分塊如下：=。此時(shí) 當(dāng)x0時(shí)，||=0，可逆。此時(shí)選取矩陣： 則有：P=上面等式兩邊取行列式，便有|||P|||=||||。但是||=1，||=1 =（x+）+()這樣有|P|= =當(dāng)x=0時(shí)，|P|=也可以表示為上述形式，所以行列式|P|的展開式為：|P|=。定理 設(shè)都是n階矩陣，若=0，則秩（A）+秩（B）n證明 對矩陣作分塊：=（），由于=0即（）=0,也就是=0 （i=1,2,…,n）。說明的各列都是=0的解，從而秩（）n秩（A），即證：秩（A）+秩（B）n例 如果是兩個(gè)任意的矩陣，證明：秩（）秩（A）+秩（B）證明 把矩陣按列分塊，記=,=則=；又組可由；線性表出，那么：秩（）=秩秩{，}秩{}+秩{}=秩（A）+秩（B）分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中有廣泛的應(yīng)用，欲透徹掌握達(dá)到運(yùn)用自如卻非易事。其基礎(chǔ)知識(shí)抽象，解題方法技巧性強(qiáng)，稍有不慎就會(huì)陷入困境。作為線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容和工具的矩陣，我們大家往往容易忽視矩陣的這一點(diǎn)—矩陣分塊的作用。下面就談?wù)勊诰€性相關(guān)性及矩陣的分解證明中的應(yīng)用。（行）向量線性相關(guān)性 命題1 矩陣的列線性無關(guān)的充要條件是=0只有零解。 證明 令=（,),其中（i=1,2,k)是的列向量，且（為實(shí)數(shù)i=1,2,k)即 （） =0 也即 =0若線性無關(guān)，則有，=0只有零解，反之亦成立。 例3 矩陣列線性無關(guān)， 求證：列線性無關(guān)的充分必要條件是列線性無關(guān)。 證明 充分性：要使=0，即=0，記，則=0,因?yàn)榱袩o關(guān)，須=0，即=0，又列無關(guān)，須=0，從而列無關(guān)。必要性：要使=0，兩邊左乘，則=0，即=0，因?yàn)榱袩o關(guān)，所以=0，從而列無關(guān)。 推論 設(shè)≠0（1） 的列線性相關(guān)（即r（)k）的充要條件是存在≠0，使=0；（2） 的行線性相關(guān)（即r（)m）的充要條件是存在≠0，使=0. 證明 （1）充分性：設(shè)有≠0，=（），為的列向量， j=1,2，m，且 ≠0，使=0,即（）=0，因?yàn)?≠0，由命題1,知的列線性相關(guān)。必要性：設(shè)的列線性
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