條件概率的性質(zhì)及其應用——畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-08 05:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，那么乙盒子中有 c+1 個白球， d 個黑球，所以 ? ?1|P A H = c+1c+d+1 ；類似得到 ? ?2|P A H = cc+d+1 。代入 ? ? ? ? ? ?2nnn = 1=|P A P H P A H?中便得到 ? ? a c + 1 b c=+a + b c + d + 1 a + b c + d + 1PA ac+bc+a= (a+b)(c+d+1) 例 2 某個工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占產(chǎn)量的 15%、 20%、 30% 和 35%，又這四條流水線的不合格品率依次為 、 、 。現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任意取一件產(chǎn)品，問恰好抽到不合格品的 概率為多少？又若該工廠規(guī)定，處了不合格的產(chǎn)品要追究有關(guān)流水線的經(jīng)濟責任，現(xiàn)在在出廠產(chǎn)品中任意取一件，結(jié)果為不合格品，但是該件產(chǎn)品是哪一條流水線生產(chǎn)的標志已經(jīng)脫落，問廠方如何處理這件不合格品比較合理？比方說，第一條（或者第二條、第三條、第四條）流水線應該承擔多大的責任？ 解 令 A=｛任取一件，恰好抽到不合格品｝ B=｛任取一件，恰好抽到第 i條流水線的產(chǎn)品｝ （ i= 4） 于是由全概率公式得到 ? ? 4 iii= 1= ( ) ( | )P A P B P A B? = 0. 15 0. 05 0. 20 0. 04 0. 30 0. 03 0. 35 0. 02? ? ? ? ? ? ? = =% 其中， i( | )PAB 分別為 、 、 、 。這是題目中告訴我們的。在實際問題中，這些數(shù)據(jù)可以從過去的生產(chǎn)的產(chǎn)品中統(tǒng)計出來。下面來解決下面的問題。 從概率論的角度考慮可以按 ? ?i |P B A 的大小來追究第 i 條（ i= 4）流水線的經(jīng)濟責任。例如，對于第四條流水線，由條件概率的定義知 ? ? 44 ()|= ()P ABP B A PA 在前面的計算當中， 已經(jīng)利用全概率公式來求得 ? ? 4 iii= 1= ( ) ( | )P A P B P A B? = 0. 15 0. 05 0. 20 0. 04 0. 30 0. 03 0. 35 0. 02? ? ? ? ? ? ?==% 而 4 4 4( ) ( ) ( | ) 5 2 07P A B P B P A B? ? ? ? 于是有 444 41( ) ( | ) 0. 00 7 2( | ) 0. 22 20. 03 15 9( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B?? ? ? ?? 由此可知，第四條流水線應該負有 %的責任。這個結(jié)果是容易理解的，雖然第四條流水線的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的 35%，但是他的不合格率卻不是很高，他生產(chǎn)的不合格品只占總不合格品的 % ，所以在來計算下 1( | )PB A 、 2( | )PB A 和3( | )PB A 1 1 1( ) ( ) ( | ) 5 5 075P A B P B P A B? ? ? ? 111 41( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B?? ? ?? 由此可知，第一條流水線應該負有 %的責任。 2 2 2( ) ( ) ( | ) 0 4 08P A B P B P A B? ? ? ? 222 41( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B?? ? ?? 由此可知，第二條流水線應該負有 %的責任。 3 3 3( ) ( ) ( | ) 0 3 09P A B P B P A B? ? ? ? 333 41( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B?? ? ?? 由此可知，第三條流水線應該負有 %的責任。 上面的計算中實際上已經(jīng)建立了一個非常有用的公式常常稱為貝葉斯公式。 概率的 貝葉斯 公式 定理 3 設 1H ， 2H ， ???為有窮或者可列多個互不相容的事件，nn()PH=1，? ?nPH 0， （ n=1， 2， 3， ???），則對任何一個事件 A， ? ?PA0 ， 有 ? ? ? ?? ? ? ?n( | )|| mmm nnP A H P HP H AP A H P H? ? 上面的式子稱為貝葉斯公式 證明 ：由條件概率的定義及全概率公式得到 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?n( | )||m m mm nnP AH P A H P HP H AP A P A H P H?? ? 例子 設甲乙丙三個盒子中 甲盒子中有 1a 個白球 1b 個黑球 乙盒子中有 2a 個白球 2b 個黑球 丙盒子中有 3a 個白球 3b 個黑球 , 1 2 3( 0)a a a? ? ? 現(xiàn)在任意取出一盒子，再從這個盒子當中取出來一個球，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這個球為白球。試在事件 A“此球為白球”的條件下，求事件 1H “這個球是屬于甲盒子的”條件概率 ? ?1 |P H A 。 解 這里 ? ? ? ? ? ?1 2 3 1= = = 03P H P H P H ?，這里 1 2 3H H H， ， 分別表示“這個球?qū)?于甲盒子” “這個球?qū)儆谝液凶印? “這個球?qū)儆诒凶印?，這三個互不相容的事件， 3nn=1 =H ?，所以 3nn=1( )=1PH。又由全概率公式 ? ? ? ? ? ?3 nnn = 1=|P A P H P A H? 121 1 2 2 3 3aa1 1 1 a= + +3 a + b 3 a + b 3 a + b0 所以可以用貝葉斯公式得到
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