條件概率的性質(zhì)及其應(yīng)用——畢業(yè)論文(文件)
【正文】 ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 配對(duì)問題 例 有 n 張信紙，分別標(biāo)號(hào)為 1， 2， 3， ? ， n，另外有 n 個(gè)信封也同樣標(biāo)號(hào)，今將每一張信紙任意的裝入每一個(gè)信封中，試求“沒有一個(gè)配對(duì)”的概率 0q及“恰有 r 個(gè)配對(duì)成功”的概率 rq （ rn? ），這里說的“ r 個(gè)配對(duì)”是指的是有 r張信紙，分別裝入同號(hào)碼的信封。 如果第一個(gè)球是黑色的球，則第二次取出的球的顏色任然為黑色的概率是 ( ) ( )b c b r c d? ? ? ?因此黑黑的概率為 ()( ) ( )b b cb r b r c d??? ? ? ? 黑黑黑的概率為 ( ) ( 2 )( ) ( ) ( 2 2 )b b c b cb r b r c d b r c d????? ? ? ? ? ? ? 顯然這樣的方法可以計(jì)算出每一個(gè)樣本點(diǎn)的概率 概率的顯式表達(dá)式不是很容易得到的，除非在下面介紹的一個(gè)重要的而且著名的特殊情形： 波利亞管子模型，其特征是 d=0， c0。 C和 d可以取為負(fù)數(shù)，不過在這種情形下經(jīng)過有限次取球之后會(huì)因?yàn)闆]有了球而停止。 下面來(lái)介紹幾個(gè)條件概率的應(yīng)用 用條件概率所定義的概率 —— 波利亞罐子模型 罐子模型。 解 先求對(duì)立事件的概率，事件 B：“取出的全部是黑球”的概率是 bnqabn??????? ??????? 所以 ( 1 ) ( 1 )11 ( ) ( 1 ) ( 1 )b b b npq a b a b a b n? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 還可以用另一個(gè)讓發(fā)求得 p ：同時(shí)取出 n個(gè)球可以看 成不還原地連續(xù)取出 n次，每次取出一個(gè)球。以 1p 、 2p 的值代入并且簡(jiǎn)化后，得到等式 ( 1 )1 1 ( 1 ) ( 2 )b b b a ba b a b a b a??? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? 于 是我們附帶地用概率的方法證明了上面的恒等式 。結(jié)果他是遲到了，試問在此條件下，他乘坐的是火車的概率是多少？ 解 以事件 A 表示“遲到”， 1 2 3 4H H H H ， ， ，分別表示“乘坐火車”“乘船”“乘坐飛機(jī)”，這樣于是 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?111 1 1 2 2 3 3 4 4( | )|= ( | ) + ( | ) + ( | ) + ( | )P H P A HP H A P H P A H P H P A H P H P A H P H P A H 3110 4= 3 1 1 1 1 1 2+ + + 110 4 5 3 10 12 5?? ? ? ? 注意 ? ?1 1|=2P H A 與 ? ?1 3=10PH是不同的。又由全概率公式 ? ? ? ? ? ?3 nnn = 1=|P A P H P A H? 121 1 2 2 3 3aa1 1 1 a= + +3 a + b 3 a + b 3 a + b0 所以可以用貝葉斯公式得到 ? ?1111121 1 2 2 3 3a13 a + b|=aa1 1 1 a++3 a + b 3 a + b 3 a + bP H A =3 1 12 1 11 2 2 1 3 31 (+(+1 ( + ) ( + )a a ba a ba a b a a b?? ）） 貝葉斯公式通常用在下列實(shí)際問題中：設(shè)只可能出現(xiàn) 1 2 3H H H， ， ???共有有窮個(gè)或者可列多種不同的情況，而事件 A 只能伴隨著這些情況之一發(fā)生。 上面的計(jì)算中實(shí)際上已經(jīng)建立了一個(gè)非常有用的公式常常稱為貝葉斯公式。例如，對(duì)于第四條流水線，由條件概率的定義知 ? ? 44 ()|= ()P ABP B A PA 在前面的計(jì)算當(dāng)中， 已經(jīng)利用全概率公式來(lái)求得 ? ? 4 iii= 1= ( ) ( | )P A P B P A B? = 0. 15 0. 05 0. 20 0. 04 0. 30 0. 03 0. 35 0. 02? ? ? ? ? ? ?==% 而 4 4 4( ) ( ) ( | ) 5 2 07P A B P B P A B? ? ? ? 于是有 444 41( ) ( | ) 0. 00 7 2( | ) 0. 22 20. 03 15 9( ) ( | )iiiP B P A BP B AP B P A B?? ? ? ?? 由此可知，第四條流水線應(yīng)該負(fù)有 %的責(zé)任。這是題目中告訴我們的。 解 以 ? ?12HH表事件“自甲盒子中取出的球?yàn)榘祝ê冢┣颉?，顯然 12HH =? ，12=HH??，所以 ? ?12P H H? =1，又 ? ?1 a= a+bPH 0 ? ?2 b= a+bPH 0 ，由全概率公式 ? ? ? ? ? ?2 nnn = 1=|P A P H P A H? 。這個(gè)公式中的條件概率不要從定義出發(fā)來(lái)求，而應(yīng)從該條件所限制的一個(gè)較小樣本空間內(nèi)來(lái)求古典概率。 如已知前二次都是得到的白球，則 3? 由 a2 個(gè)白球 b 個(gè)黑球構(gòu)成，所以 3 1 2( | )P A AA = a2a2 +b（ ） 。 于是由概率的乘法公式得 1 2 3 a a 1 a 2( ) = a + b a + b 1 a + b 2P A A A ?? 注： 這個(gè)例子中隨機(jī)試驗(yàn) ~E 是復(fù)合的： ~E = 1 2 3E E E?? 。 證 由于 1()PA ? 12()PAA ? ??? ? 1 2 n1()P A A A??? 0 ，故 1 2 n()P AA A??? = 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n 1( ) ( | ) ( | ) ( | )P A P A A P A A A P A A A A??? ???右方 出現(xiàn)的條件概率都有意義；由條件概率的定義有
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