淺談“循環(huán)矩陣”的性質(zhì)及應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-17 01:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 環(huán)矩陣如()式定義, 則循環(huán)矩陣可逆的充要條件是方程無單位根.證明 構(gòu)造取,其中 ,.即為所有次單位根. 由于兩兩不同, 所以由范德蒙行列式的性質(zhì)知矩陣是可逆的, 從而其中 , 即矩陣可逆. 即循環(huán)矩陣可逆的充要條件是方程無單位根. 若是()所示的復數(shù)域上的階循環(huán)矩陣, 設為的生成多項式那么的行列式 , 其中,是全部次單位根, 對于任何一個階循環(huán)矩陣都存在一個階循環(huán)矩陣, 使得與相似. 證明 , 即存在可逆陣, 使得其中是矩陣的特征值. 若能得到的生成多項式, 則A就被唯一確定了. 為此令 . 即 其中. 顯然方程組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式. 由于兩兩不同, 從而此方程組的系數(shù)行列式不等于0, 則由克拉默法則知此方程組有唯一解. 從而的生成多項式被唯一確定. 此時,即, 從而,因此存在循環(huán)矩陣與矩陣相似.. 任何一個循環(huán)矩陣在復數(shù)域上都與一個對角矩陣相似.3循環(huán)矩陣的推廣第2部分主要是分析總結(jié)了循環(huán)矩陣的部分性質(zhì), 并對其性質(zhì)進行了證明. 但在實際應用中還會遇到分塊循環(huán)矩陣即準循環(huán)矩陣以及廣義循環(huán)矩陣(二重循環(huán)矩陣)等等概念, 下面就討論這些概念及其相應的性質(zhì). 廣義循環(huán)矩陣 數(shù)域上的階循環(huán)可以寫成階的分塊矩陣,且有 ,其中為矩陣, 稱矩陣為準循環(huán)矩陣. 設數(shù)域上的準循環(huán)矩陣為, 如果每一個分塊矩陣同時都是循環(huán)矩陣, 那么稱此矩陣為廣義循環(huán)矩陣.對于上面提到的廣義循環(huán)矩陣, 利用廣義范德蒙矩陣來求廣義循環(huán)矩陣求行列式的計算方法. 設是階單位的矩陣,都是階方陣且兩兩可以交換, 令矩陣 ()稱矩陣為廣義范德蒙矩陣. 它的行列式叫做廣義的范德蒙行列式.. , 則矩陣行列式為.證明 用數(shù)學歸納法來證明: 當時, 由于,所以.而 ,所以. 即當時, 結(jié)論成立.假設當時, 結(jié)論也成立, 則當時, 由于兩兩可交換, 則 由以上等式可知, 兩邊同時取行列式且可由假設歸納得 即結(jié)論亦同時成立. . 設階數(shù)量方陣,其中,即為所有次單位根. 稱,為廣義次單位根. 階廣義循環(huán)矩陣可逆的充要條件是方陣確定的矩陣多項式無廣義單位根. 證明 取, , 由于兩兩不同, . 顯然,其中為階方陣. 因此以上等式通過矩陣可以表示為因此.其中矩陣
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1