畢業(yè)論文_多元函數(shù)條件極值的解法與應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-07 21:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 1 14 ( ) ( )x y zx y z? ? ? ? ? 4 ( 3 )x y y z x zy x z y z x? ? ? ? ? ? ? 4 ( 3 2 2 2 ) 3 6? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 6x y z? ? ? 時，等號成立 . 利用柯西不等式 柯西不等式：對于任意實數(shù) 12, , , na a a 和 12,nb b b ，總有 21 1 2 2()nna b a b a b? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) ( )nna a a b b b? ? ? ? ? ? ,iia R b R??,當(dāng)且僅當(dāng)實數(shù) 12, , , na a a 與 1, 2, nbb b 對應(yīng)成比例時，等號成立 .運用柯西不等式，主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形，進(jìn) 而“配、湊”成柯西不等式的左邊或者右邊的形式，最終求得極大值或極小值 . 例 已知 2 2 2( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) 9x y z? ? ? ? ? ?，求 ( , , ) 2 2f x y z x y z???的最值 . 解 首先將 ( , , ) 2 2f x y z x y z??? 變形為 7 ( , , )f x y z ? 2( 2) 2( 1 ) ( 4) 10x y z? ? ? ? ? ?； 再設(shè) ( , , ) 2( 2) 2( 1 ) ( 4)g x y z x y z? ? ? ? ? ?， 于是，根據(jù)柯西不等式及已知條件，有 ? ?22 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 4 )x y z? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 22 ( 2 ) 1 ( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) 8 1x y z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 即： 9 2( 2) 2( 1 ) ( 4) 9x y z? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 2 2 22 1 42 2 1( 2) ( 1 ) ( 4) 9x y z kx y z? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? 時，等號成立； 即當(dāng) 1435kxyz?????????? ??時， max( , , ) 9g x y z ? ； 當(dāng) 1013kxyz???? ??? ??? ??時， min( , , ) 9g x y z ??， 所以， max( , , ) 19f x y z ? ， min( , , ) 1f x y z ? . 二次方程判別式符號法 例 [5] 若 2 2 2 1x y z? ? ? ,試求 22f x y z? ? ? 的極值 . 解 因為 1 ( 2 )2y x z f? ? ?, 代入 2 2 2 1x y z? ? ? 得 2 2 21 ( 2 ) 1 04x x z f z? ? ? ? ? ? 即 2 2 25 ( 4 2 ) ( 8 4 4) 0x z f x z f zf? ? ? ? ? ? ? (1) 這個關(guān)于 x 的二次方程要有實數(shù)解 , 必須 2 2 2( 4 2 ) 20( 8 4 4) 0z f z f zf? ? ? ? ? ? ? ? 即 224 9 5 0f zf z? ? ? ? 解關(guān)于 f 的二次不等式 ,得 : 222 5 ( 1 ) 2 5 ( 1 ) 1 1z z f z z z? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 顯然 ,求函數(shù) f 的極值 , 相 當(dāng)于求 22 5 (1 ) 1 1f z z z? ? ? ? ? ? (2) 或 22 5 (1 ) 1 1f z z z? ? ? ? ? ? (3) 的極值 . 由 (2)得 229 4 5 0z fz f? ? ? ? (4) 這個關(guān)于 z 的二次方程要有實數(shù)解 ,必須 2216 36( 5 ) 0ff? ? ? ? ?, 即 290f?? 解此關(guān)于 f 的二次不等式 ,得 33f? ? ? . 所以 max 3f ? , min 3f ?? . 把 3f? 代入 (4),得 23z? 再把 3f? , 23z? 代入 (1),得 13x? , 最后把 3f? , 23z? , 13x? 代入 1 ( 2 )2y x z f? ? ?,得 23y?? . 所以 ,當(dāng) 13x? , 23y?? , 23z? 時 ,函數(shù) f 達(dá)到極大值 3. 同理可得 ,當(dāng) 13x? , 23y? , 23z?? 時 ,函數(shù) f 達(dá)到極小值 3. 也可以從 (3)作類似討論得出 f 的極大值 3 和極小值 3. 梯度法 [6] 用梯度法求目標(biāo)函數(shù) 12( , , )nf x x x 在條件函數(shù)時 12( , , , ) 0inx x x? ? ( 1, 2 , , , )i m m n??組限制下的極值，方程組 1 2 1 2112( , , , ) ( , , , )( , , , ) 0 , ( 1 , 2 , , )mn i i niingradf x x x grad x x xx x x i m????? ???????? 的解 ,就是所求極值問題的可能極值點 . 其中 gradf 表示目標(biāo)函數(shù) 12( , , )nf x x x 的梯度向量12( , , , )nf f fx x x? ? ?? ? ?， 9 igrad? 表示條件函數(shù) 12( , , , )inx x x? 的梯度向量12( , , , )i i inx x x? ? ?? ? ?? ? ? 例 從斜邊之長為 l 的一切直角三角形中 ,求最大周長的直角三角形 . 解 :設(shè)兩條直角邊為 ,xy,本題的實質(zhì)是求 ( , )f x y x y l? ? ?在條件 2 2 2xyl?? 下的極值問題 . 根據(jù)梯度法 ,列出方程組 2 2 22 2 2( ) ( )g r a d x y l g r a d x y lxyl?? ? ? ? ? ??????? 進(jìn)一步求解得 ? ? ? ?2 2 21,1 2 , 2xyxyl????????? 容易解出2lxy?? 根據(jù)題意 ,22ll??????是唯一的極大值點 ,也是最大值點 . 所以，當(dāng)兩條直角邊都為2l時 ,直角三角形的周長最大 . 數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如直線的截距，點到直線的距離，圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標(biāo)的條件極值 . 例 設(shè) 2219x xy y? ? ? ，求 22xy? 的最值 . 解法一 數(shù)形結(jié)合法 [7] 解 設(shè) ,
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