第六節(jié)多元函數(shù)的極值(編輯修改稿)
2024-08-16 20:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 的極值 . )2(e),( 22 yxyxf yx ?? ?的一切實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn) (0,0)， (–4,–2). 解 求方程組 ??????????????????0e4)2(e),(,0e2)2(e),(2222yxyxyyxyxxyyxyxfxyxyxf求函數(shù) f的二階偏導(dǎo)數(shù)， ),242(e),( 22 ???? ? xyxyxf yxxx),422(e),( 22 yxxyyxf yxxy ???? ?).482(e),( 22 ???? ? yyxyxf yxyy由極值的充分條件知，知 (0,0)不是極值點(diǎn)，f(0,0)=0不是函數(shù)的極值 . 在 (–4,–2)點(diǎn)處，有 而 A0，由極值的充分條件，知點(diǎn) (–4,–2)為極大值點(diǎn)， f(–4,–2)=–8e–2是函數(shù)的極大值 . .e12 ,e8 ,e6 222 ??? ????? CBA,0e87 2ee64 4442 ?????? ???ACB在 (0,0)點(diǎn)處，有 A=2， B=0， C= –4. B2–AC=80 如何求函數(shù) z=f(x,y)在區(qū)域 D上的最大值、最小值呢？如果 f(x,y)在 D上可微，可先求出函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)的一切駐點(diǎn)處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大值與最小值 .在這些函數(shù)值中的最大的就是函數(shù)在 D上的最大值，最小的就是函數(shù)在 D上的最小值 . 二、多元函數(shù)的最大值與最小值 例 5 要用鐵板做一個(gè)體積為常數(shù) a的有蓋的長(zhǎng)方體水箱，問水箱各邊的尺寸多大時(shí)，用材料最省 . 解 設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 x， y， z，于是體積a=xyz，表面積 A為 A=2(xy+xz+yz). 將 代入 A的表達(dá)式中，得 xyaz ?.2),( ?????? ???yaxaxyyxA由第一個(gè)方程，得 ，將其代入第二個(gè)方程，得 2xay ?04 ?? xax 0?x? 3 ax ??，于是 3 ay ?).,(),( 33 aayxA 的唯一駐點(diǎn)得函數(shù)求函數(shù) A(x,y)的駐點(diǎn) . ?????????????????????????
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